Rekursive Folgen im Pascalschen Dreieck

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1 Reursive Folgen im Pascalschen Dreiec Holger Stephan, Tag der Mathemati,. Juni Zusammenfassung Viele Probleme aus den unterschiedlichsten Teilgebieten der Mathemati (z.b. Analysis, Kombinatori, Zahlen-, Spiel- und Chaostheorie) führen früher oder später auf das Pascalsche Dreiec. Jeder weiß, dass die horizontale Summe (die Summe einer Zeile) im Pascalschen Dreiec die Zweierpotenzen ergibt. Schon wenigen ist beannt, dass gewisse schiefe Summen die Fibonaccizahlen ergeben. Diese sind ebenfalls so ein zentrales Objet der Mathemati, auf das man laufend stößt. Sie sind das typische Beispiel einer linearen reursiven Folge, also einer Folgen, bei der ein Folgeglied eine Linearombination vorangehender Glieder ist (für die Fibonaccifolge gilt f(n) f(n ) f(n )). Und noch weniger wissen, dass jede schiefe Summe im Pascalschen Dreiec eine reursive Folge bildet. Auch das ist ein Grund dafür, warum viele ombinatorische Aufgaben auf reursive Folgen führen. Lineare reursive Folgen spielen in fast allen Teilgebieten der Mathemati eine wichtige Rolle (z.b. bei Iterationsverfahren, rationalen Approximationen, Pseudoprimzahlen,...) und sind ein elementarer Einstieg in die Analysis (Differenzialgleichungen). Am Beispiel schiefer Summen im Pascalschen Dreiec wird auf den Zusammenhang zwischen reursiver und expliziter Darstellung von Folgen eingegangen und ein Verfahren (das Quotienten-Differenzen-Schema) vorgestellt, mit dem man bei einer durch ihre Anfangswerte gegebenen Folge feststellen ann, ob sie reursiv ist und wie man ihre allgemeine Bildungsvorschrift herleiten ann. Schüler, die diesen Vortrag hören wollen, sollten arithmetische Folgen, das Pascalsche Dreiec und die Fibonaccifolge ennen und möglichst auch schon von ihrer expliziten Darstellungsform gehört haben.

2 Zahlenfolgen Wie setze ich eine Folge fort? Wie bestimme ich das Bildungsgesetz einer Folge? a n, 5, 8,, 4,,,,... a n n b n,, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64,... b n n c n,, 4, 8, 6,, 64, 8,... c n n Kombinatori Wieviele Diagonalen hat ein n-ec? Wieviele Möglicheiten gibt es, n als Summe von Einsen und Zweien darzustellen? Wieviele Dreiece mit ganzzahligen Seitenlängen gibt es, deren Umfang n ist?

3 Das Pascalsche Dreiec n (n ) (n ) ( )

4 Das Pascalsche Vierec B n ( ) n n ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 5 6

5 Arithmetische Folgen : 4 5 Differenzen- 6 5 schema 4 5 arithmetische Folge -ter Ordnung ( ) n n(n )(n ) n 6 n n n 4 : n 4? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n(n )(n )(n ) n(n )(n ) n(n ) n 4 6 n(n )(n )(n ) 6n(n )(n ) n(n ) n ( n 4 6n n 6n ) ( 6n 8n n ) ( n n ) n n 4 Arithmetische Folge -ter Ordnung Polynom -ten Grades -te Differenzenfolge ist onstant Linearombinationen von Binomialoeffizienten 4

6 Anzahl d n der Diagonalen im n-ec d d 4 d 5 5 d 6 9 d 4 d 8 d 9 d 5 d 44 d 54 d n : d n n(n ) n n n n n(n ) Lösungsmethode: ) Folgenanfang experimentell bestimmen. ) Differenzenschema bilden. Arithmetische Folge? ) Wenn ja: Allgemeines Glied bilden ( als ) n Linearombination von s. 4) Formel interpretieren und beweisen. 5

7 Anzahl F n der Möglicheiten, n als Summe von Einsen oder Zweien darzustellen Beispiel: 6 Hilfsaufgabe: Anzahl der Möglicheiten, n als Summe von Einsen oder Zweien darzustellen 6 n Einsen {}}{... n } {{... } n Einsen ( ) Anzahl der Möglicheiten, n als Summe n von Einsen oder Zweien darzustellen Probe am Beispiel: n 6, 4 ( ) ( ) Lösung der Aufgabe: Summe über alle F n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n 6

8 Schiefe Summen von Binomialoeffizienten I ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) 4 8 F n ( ) ( ) ( ) n n n ( ) n ( ) n,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89,...

9 Die Fibonaccifolge F n ( ) ( ) n n ( ) n ( ) n,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89,... Differenzenschema: F n : F n ist eine arithmetische Folge, also auch ein Polynom! F n F n F n, F, F F n ist eine reursive Folge -ter Ordnung F n Anzahl der Möglicheiten, n als Summe von Einsen oder Zweien darzustellen Frage: Wie erennt man reursive Folgen? 8

10 Das Quotienten Differenzen Schema N F n : W X O S X N S O W S X O W N 5 5 F n : S X O W N ( ) 8 -te Quotienten Differenzen Folge ist Reursive Folge -ter Ordnung f n c f n c f n... c f n 9

11 Schiefe Summen von Binomialoeffizienten II ( ) 5 ( ) ( ) 9 6 ( ) 9 ( ) ( ) f n ( ) ( ) ( ) n n 4 n n,, 6, 9, 6, 89, 595, 8, 5896, 856,...

12 Das Quotienten Differenzen Schema für f n N f n : W X O S S X O W N te Quotienten Differenzen Folge ist Null! f n ist reursive Folge -ter Ordnung f n af n bf n cf n 9 6a b c 6 9a 6b c a 4, b, c 89 6a 9b 6c f n 4f n f n f n 595?

13 Andere schiefe Summen F n n ( ) ( ) ( ) n n n... F n F n f n n ( ) ( ) ( ) n n 4 n f n f n f n a n n... a n n s n (i, j) n i j ( ) ( ) ( ) n i n i n i... j j j s n (i, j, m, z) n i m z j Zum Beispiel c n s n (,,, z) n ( ) ( ) n n c n z z z i j i m z... j ( ) ( ) n n z z... c n (z )c n ( 6z)c n z( z)c n 4 z c n 5 z c n 6

14 Explizite Darstellung der Fibonaccifolge F n F n F n, F, F,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89,... a n,, 4, 8, 6,,... n... Ansatz: F n x n x n x n x n charateristische Gleichung: x x ) ( ) Lösungen: x ( 5 und x 5 n a n n ( ( ) ) n ( ( ) ) n F n a 5 b 5 ( ( ) ) ( ( ) ) F a 5 b 5 a b ( ( ) ) ( ( ) ) F a 5 b 5 a b 5(b a) ( ( ) n ( ) ) n Lösung: F n 5 5 n 5 ( ( ) 5 ( ) ) 5 F ( ( ) ( )) 5 ( )

15 Explizite Darstellung anderer reursiver Folgen f n ( ) ( ) ( ) n n 4 n n,, 6, 9, 6, 89, 595, 8, 5896, 856,... Reursive Bildungsvorschrift: f n 4f n f n f n charateristische Gleichung: x 4x x Lösungen: x 6 ( ( 8 4 ) 9 ( 4 ) ) x 4 6 x 4 6 ( i ( i ) ( 4 9 ) ( 4 9 ) ) 6 6 ( i ( i ) ( 4 9 ) ( 4 9 ) ) x, ± i f n n ( i)( i) n ( i)( i) n n n cos( n) n sin( n) sinnlos!!! 4

16 Die Anzahl t n der Dreiece mit ganzzahliger Seitenlänge und gegebenem Umfang n n a b c a b c > a < b c (Dreiecsungleichung) n t n t n t n t n 4 4 t 4 n 5 5 t 5 n 6 6 t 6 n t n 8 8 t 8 n t 9 n t n t 4 n t n t 5 n t 4 4 n t 5 t n,,,,,,,,,,, 4,, 5, 4,, 5, 8,,, 8,,... 5

17 Die Anzahl t n der Dreiece mit ganzzahliger Seitenlänge und gegebenem Umfang n t n,,,,,,,,,,, 4,, 5, 4,, 5, 8,,, 8,,... t n t n t n t n 4 t n 5 t n 6 t n t n 9 charateristische Gleichung: x 9 x x 6 x 5 x 4 x x (x 4 )(x )(x ) t n ( 6n 8n 8( ) n n ( ) n 88 ) 6 cos(9 n) 64 cos( n) 6 sin(9 n) Probe für ein Beispiel: t 5 ( ( ) 5 ( ) 88 ) 6 cos(5 9 ) 64 cos(5 ) 6 sin(5 9 ) ( ) ( ) 88 ( )

18 Zusammenfassung Lineare reursive Folgen -ter Ordnung sind solche mit einer Bildungsvorschrift der Form f n c f n c f n... c f n ; f, f,..., f Viele ombinatorische Aufgaben und fast alle Spielereien mit dem Pascalschen Dreiec führen auf reursive Folgen. Mit dem Quotienten Differenzen Schema erennt man reursive Folgen. Die Koeffizienten c,..., c ann man aus den ersten Folgegliedern durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen. Jede reursive Folge hat eine explizite Bildungsvorschrift der Form (nur wenn x i verschieden, sonst omplizierter!!) f n a x n... a x n dabei sind x,..., x die Lösungen der charaterist. Gleichung x c x c x... c x c Die Koeffizienten a,..., a ann man aus den ersten Folgegliedern durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen.