Kombinatorik. ÖMO-Fortgeschrittenen-Kurs an der TU Graz. Jan Pöschko. 6. März Grundlegendes 2. 2 Zählen mit Binomialkoeffizienten 3

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1 Kombinatori ÖMO-Fortgeschrittenen-Kurs an der TU Graz Jan Pöscho 6. März 009 Inhaltsverzeichnis Grundlegendes Zählen mit Binomialoeffizienten 3 3 Inlusions-Exlusions-Prinzip 4 4 Schubfachschluss 6 Zählen mit Folgen 6 Einführung Kombinatori (enumerative combinatorics) beschäftigt sich mit dem Zählen von Objeten mit bestimmten Eigenschaften. Im weiteren Sinn geht es auch um die Konstrution entsprechender Objete (combinatorial design), das Finden von größten, leinsten oder optimalen Objeten (combinatorial optimization) bzw. um das Finden entsprechender algebraischer Struturen (algebraic combinatorics). Die Anfänge der Kombinatori gehen auf Indien um 300 v. Chr. zurüc, wo es u. a. um die Anzahl von bestimmten Tatmustern in der Rhythmuslehre ging (vgl. Beispiel.). Mathematier in China, Ägypten und im Mittleren Osten beschäftigten sich ebenfalls sehr früh mit ombinatorischen Fragestellungen. Nach Europa am die Kombinatori im 3. Jh. mit Leonardo Fibonacci (vgl. Definition 0) und Jordanus de Nemore (Entdecer des Pascalschen Dreiecs, vgl. Bemerung 6). Weitere bedeutende Mathematier auf dem Gebiet waren u. a. Pascal, Leibniz, De Moivre und Euler. eigentlich Leonardo da Pisa

2 Grundlegendes Das Zählen von Objeten entspricht der Bestimmung der Größe (Kardinalität) von entsprechenden (meist endlichen) Mengen. Definition und Bemerung. Sind A und B Mengen, dann bezeichnet A B die Vereinigung, A B den Durchschnitt und A \ B die Differenz (sprich A ohne B ) von A und B. Wenn A und B disjunt sind (also eine gemeinsamen Elemente haben, d. h. A B ), gilt für die Kardinalität der Vereinigung A B A + B. Mit A B wird das (Kreuz-) Produt von A und B geschrieben, also die Menge aller Paare mit einem Objet aus A und einem aus B: Für die Kardinalität gilt dann einfach A B {(a, b) a A, b B}. A B A B. Entsprechendes lässt sich natürlich auf eine beliebige Anzahl an Mengen A, A,..., A n verallgemeinern. Beispiel.. Wie viele verschiedene KFZ-Kennzeichen im Grazer Raum sind prinzipiell möglich? Der Einfachheit halber betrachten wir nur Kennzeichen der Form G-999ZZ und G-99ZZZ, also Kombinationen von entweder einer dreistelligen Zahl (soll nicht mit 0 beginnen!) mit zwei Buchstaben (A Z ohne Umlaute) oder einer zweistelligen Zahl mit drei Buchstaben. G-999ZZ : Die Menge der entsprechenden Kennzeichen ist {,..., 9} {0,..., 9} {0,..., 9} {A,..., Z} {A,..., Z}, ihre Kardinalität also G-99ZZZ : Die Menge der entsprechenden Kennzeichen ist {,..., 9} {0,..., 9} {A,..., Z} {A,..., Z} {A,..., Z}, ihre Kardinalität also Die Gesamtmenge ist die disjunte Vereinigung der beiden Mengen, daher ist die gesuchte Anzahl

3 Definition. Sei n eine natürliche Zahl. Dann ist ihre Faultät definiert als n! : n 3 n. Bemerung 3. Die Anzahl der Permutationen ( Umordnungen ) einer Menge mit n Elementen ist n!. Beweis. Es gibt n Möglicheiten, das erste Element einer Permutation auszuwählen, n Möglicheiten für das zweite Element, usw. Zählen mit Binomialoeffizienten Satz 4. Der Binomialoeffizient ( ) n n! n(n ) (n + ) :!(n )!! ist die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ( Kombinationen ohne Wiederholung ). Beweis. Es gibt n(n ) (n +) Möglicheiten, Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen, wenn die Reihenfolge berücsichtigt wird. Dividiert man durch!, also die Anzahl der möglichen Permutationen dieser Elemente, erhält man die gewünschte Anzahl. Beispiel.. Wieviele verschiedene Tate gibt es, die n Halbnoten und Viertelnoten enthalten? Insgesamt sind n + Positionen zu besetzen, davon müssen n bzw. ausgewählt werden. Die gesuchte Anzahl ist also ( ) ( ) n + n +. n Bemerung. Der Name Binomialoeffizient ommt daher, dass er in der Entwiclung eines auspotenzierten Binoms auftritt (Binomischer Lehrsatz): (x + y) n n 0 ( ) n x y n. Das Zusammenfassen entsprechender Summanden ann man sich als Auswählen von Fatoren aus dem Produt vorstellen. (x + y) n (x + y)(x + y) (x + y) }{{} n 3

4 Bemerung 6. Es gilt die Reursionsformel ( ) ( n + n + ) + ( ) n. + Somit ann ( n ) mit dem sog. Pascalschen Dreiec ermittelt werden: Beispiel.. Für ein Parlament mit n Sitzen stehen politische Parteien auf dem Wahlzettel. Wieviele Mandatsverteilungen gibt es im Parlament? Wir schreiben die aufzuteilenden n Mandate als Folge von Nullen. Dazwischen setzen wir Trennwände in Form von Einsen. Die Mandate bis zur ersten Trennwand gehören dann der ersten Partei, von der ersten bis zur zweiten der zweiten Partei, usw. Beispielsweise önnte die Folge so aussehen: 000 }{{} Partei }{{} Partei } 0.{{.. 0} }{{} Partei 3 Partei 4 Natürlich önnen einzelne Parteien evtl. eine Mandate erhalten, wie hier Partei 4, was durch diret aufeinanderfolgende Einsen ausgedrüct wird. Die Anzahl der möglichen Mandatsverteilungen ist also genau die Anzahl solcher Folgen von n Nullen und Einsen. Dies entspricht der Anzahl der Möglicheiten, Einsen (bzw. n Nullen) auf n + Plätze zu verteilen, somit ( ) ( ) n + n + n ( Kombinationen mit Wiederholung ). Definition 7. Ein Tupel (a,..., a ) positiver ganzer Zahlen heißt Komposition von n, wenn j a n. 3 Inlusions-Exlusions-Prinzip Das Inlusions-Exlusions-Prinzip auch Einschluss-Ausschluss-Verfahren, Einschalt- Ausschalt-Prinzip oder Siebformel genannt liefert eine Möglicheit, die Kardinalität der Vereinigung von Mengen zu bestimmen, wenn es einfacher ist, Kardinalitäten von entsprechenden Durchschnitten zu ermitteln. 4

5 Satz 8. Für endliche Mengen A, B, C gilt bzw. A B A + B A B A B C A + B + C ( A B + B C + C A ) + A B C. Allgemein geschrieben bedeutet das für endliche Mengen A, A,..., A n n A j ( ) J +. A j j J {,...,n},j Beweis (Spezialfall). Wir beweisen vorerst den Spezialfall von n Mengen. Ein Beweis der allgemeinen Aussage folgt später. Die Menge A ann als disjunte Vereinigung A (A \ B) (A B) geschrieben werden (zuerst alle Elemente, die in A, aber nicht in B vorommen, dann alle, die sowohl in A als auch in B vorommen). Dementsprechend gilt A A \ B + A B und analog B B \ A + A B. Weiters ann die Vereinigung von A und B als j J A B (A \ B) (B \ A) (A B) geschrieben werden, und somit gilt insgesamt A B A \ B + B \ A + A B ( A A B ) + ( B A B ) + A B A + B A B. Beweis (allgemein). Sei x ein beliebiges Element, o.b.d.a. in Mengen A,..., A m enthalten, 0 m n. Auf der linen Seite ommt x genau dann einmal vor, wenn m (sonst 0-mal). Auf der rechten Seite wird x so oft gezählt: ( ) J + ( ) + J {,...,m},j ( ) m ( ) + J {,...,m}, J Für m 0 ist das wie auf der linen Seite gleich 0; für m ann hingegen der Summand ( ) m 0 für 0 ergänzt (und wieder abgezogen werden), und dann gilt nach Binomischem Lehrsatz ( ) m ( ) m ( ) + ( ) + + ( ) m +. 0 Für m wird x also auch auf der rechten Seite genau einmal gezählt.

6 Beispiel 3.. Wie viele Zahlen M : {,, 3,..., 000} gibt es, die durch 3, oder 7 teilbar sind? Wir bezeichnen mit A die Menge der Zahlen M, die durch teilbar sind. Gesucht ist also A 3 A A 7. Dann enthält A 3 genau jede dritte Zahl aus M, also Zahlen (. bedeutet größte ganze Zahl leiner oder gleich ). Analog folgt A 00 und A 7 4. Die Vereinigung von A 3 und A enthält genau jene Zahlen, die durch 3 und durch, also durch teilbar sind. Davon gibt es in M genau viele. Entsprechend ann man die Kardinalitäten der anderen Durchschnitte berechnen. Gemäß Inlusions-Exlusions-Prinzip folgt insgesamt A 3 A A 7 A 3 + A + A 7 ( A 3 A + A 3 A 7 + A A 7 ) + A 3 A A ( ) Schubfachschluss Satz 9 (Schubfachschluss, Taubenschlagprinzip, Pigeonhole principle, Prinzip von Dirichlet). Verteilt man n + Objete auf n Schubladen, müssen in mindestens einer Lade zwei oder mehr Objete sein. Oder: Wenn sich n + Tauben auf n Nester setzen, müssen in mindestens einem Nest zwei oder mehr Tauben sein. Bzw. allgemeiner: Verteilt man n Objete auf Mengen (n > > 0), so gibt es mindestens eine Menge, in der sich mehr als n Objete befinden. Beweis. Angenommen, es wären in allen Mengen maximal n Objete. Dann ann es aber insgesamt nicht mehr als n n Objete geben, was im Widerspruch zur Annahme von n Objeten steht. Beispiel 4.. An der TU Graz studieren 6 Studenten Technische Mathemati. Zeige, dass mindestens 6 von ihnen die selbe Note in Kombinatori beommen. Die Aussage folgt unmittelbar mittels Schubfachschluss für 6 Objete (Studenten) und Mengen (entsprechend den Noten bis ): Damit gibt es mindestens eine Menge an Studenten, die mehr als 6 und somit mindestens 6 Studenten enthält. Zählen mit Folgen Beispiel.. Wie viele Möglicheiten gibt es, ein n-feld mit Dominosteinen der Form und auszulegen? Sei a n die gesuchte Anzahl. Für die Belegung n-feld gibt es prinzipiell zwei Möglicheiten:. Das Feld endet mit einem vertialen Stein für die es a n mögliche Belegungen gibt.. Es verbleiben n Spalten davor, 6

7 bzw. nach Definition durch q n q q 0.. Das Feld endet mit. Es verbleiben n Spalten davor, also a n Möglicheiten. Insgesamt ergibt das die Reursion a n a n + a n für n. Weiters ann man sich einfach überlegen, dass es für ein -Feld Möglicheit gibt ( ) und für ein -Feld Möglicheiten, also a und a. Definition 0. Die Zahlen der reursiv definierten Folge heißen Fibonacci-Zahlen. F 0 0, F, F + F + F für Im vorherigen Beispiel gilt mit dieser Definition a n F n+. Es verbleibt eine explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen zu finden. Mit dem Ansatz F n q n folgt die sog. charateristische Gleichung der Folge q n+ q n + q n Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen q, ± 4 + ±. Damit haben die Folgenglieder die allgemeine Form ( + ) n ( ) n F n A + B mit noch zu bestimmenden Koeffizienten A und B. Diese önnen aus den Anfangsbedingungen F 0 0 und F gewonnen werden und sind A bzw. B. Damit folgt die explizite Darstellung (( F n + ) n ( ) n ). Die Fibonacci-Zahlen sind nach Leonardo Fibonacci benannt, der damit 0 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb: Beispiel.. Betrachte folgendes (theoretisches) Modell einer Kaninchenpopulation:. Zu Beginn gibt es ein Kaninchenpärchen.. Jedes Kaninchenpärchen beommt ab dem. Lebensmonat jedes Monat Nachwuchs in Form eines weiteren Kaninchenpärchens. 3. In unserem Modell sterben eine Kaninchen und es ommen weder Kaninchen von außen hinzu noch verlassen Kaninchen die Population. Unter diesen Annahmen entspricht die Anzahl der Kaninchen zu Beginn des n-ten Monat genau der n-ten Fibonacci-Zahl F n. 7