Kombinatorik. LSGM Leipziger Schülergesellschaft für Mathematik. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Klasse 11/12. Inhaltsverzeichnis

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1 LSGM Leipziger Schülergesellschaft für Mathemati Kombinatori Toscho Mathecamp 1. Juli 1. Juli 008 Klasse 11/1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Aufgaben 3 3 Politi in der Mathemati 3 4 Olympiadeaufgaben 4 1

2 1 Grundlagen Im ersten Zirel wurden die Grundlegenden Begriffe der Kombinatori wiederholt. Diese waren zum größten Teil beannt, geschadet hat es aber trotzdem nicht: Permutation ohne Wiederholung: P n n! Permutation mit Wiederholung (die einzelnen Elemente tauchen n i mal auf: P n 1,...,n r n n! n 1! n!... n r! Variation ohne Wiederholung: V n n! (n! Variation mit Wiederholung: V n n Kombination ohne Wiederholung: C n Kombination mit Wiederholung: C n + 1 Satz 1 (Kombination mit Wiederholung Für die n-elementigen Menge M {1,..., n} gibt es C n ( n+ 1 Möglicheiten ungeordnete -Tupel (a1,..., a mit a i M i auszuwählen. Beweis Man ann diese Tupel wie folgt bijetiv odieren: Ordnen der Tupel. Da die Tupel ungeordnet sind, spielt die Reihenfolge der Einträge eine Rolle. Es ann also eine bestimmte Reihenfolge beliebig gewählt werden, ohne das Tupel zu beeinflussen. Einsetzen von Wänden zwischen Gruppen der Einträge: (1, 1, 1,,, 3, 5, 6,... (1, 1, 1,,,,, 3,,, 5,, 6,.... Dieser Vorgang ist offensichtlich bijetiv. Nimmt man die Wände wieder weg hat man das Ausgangstupel. Es werden insgesamt n 1 Wände gesetzt. 1 Ersetzen sämtlicher Zahlen durch. Die Wände tragen jetzt die Information, welche Zahl zwischen ihnen steht: zwischen der ersten und der zweiten Wand steht die Zahl, zwischen der dritten und der vierten Wand steht die Zahl 4 usw. Es muss also nur noch verzeichnet werden, wie häufig diese Zahlen da stehen. Also: (1, 1, 1,,,,, 3,,, 5,, 6,... (,,,,,,,,,,,,,... Die odierten Tupel bestehen aus Sternchen und n 1 Wänden. Jedes solche Tupel wiederum lässt zurüc zu einem ungeordnete -Tupel aus M odieren. D. h. die Anzahl dieser beiden Arten von Tupel ist gleich. Von den Sternchen-Wände-Tupeln gibt es Stüc. P n 1, (n + 1! n+ 1 (n 1!! Umgeehrte Zaunpfahlregel

3 Aufgaben 1. Wie viele verschiedene Färbungen hat ein Würfel, wenn jede Seite anders gefärbt sein soll?. Wie viele verschiedene Positionierungen von n Leuten an einem runden Tisch gibt es? (Zwei Positionieren seien gleich, wenn sie dieselben Nachbarschaftsrelationen haben. 3. Berechne, und 3! Zwei Personen werden jeweils 3n Kleidungsstüce gegeben. Diese Kleidungsstüce stammen aus einem Vorrat von n Hosen, n T-Shirts und n Schuhen. Wie viele Möglicheiten gibt es dafür, wenn man Kleidungsstüce derselben Art nicht voneinander unterscheiden ann? (Wie viele, wenn man sie unterscheiden ann? 5. Von 3n + 1 Objeten sind n ununterscheidbar und die restlichen n + 1 sind unterscheidbar. Wie viele Möglicheiten gibt es, n Objete aus dieser Menge auszuwählen? 6. Beweise: 1 n 1 ( ( ( ( n r n n r r ( ( ( n n n i n i n ( ( ( n n n r ( ( n + i n + r + 1 i r i0 0 i0 7. Wie viele Möglicheiten gibt es, die alle Ecen eines n-ecs paarweise und überschneidungsfrei durch Strecen zu verbinden? 3 Politi in der Mathemati Oben wird folgende Aufgabe genannt: Berechne! Diese Aufgabe ann durch Politi 0 gelöst werden, d. h. ombinatorische Interpretation der Formel und Zählung der Möglicheiten auf anderem Weg. Stellen wir uns ein Parlament mit n Abgeordneten als Grundmenge vor. gibt die Anzahl der Möglicheiten an, aus diesem Parlament einen Ausschuss mit Leuten zu besetzen. ( 1 gibt im Allgmeinen die Anzahl Möglicheiten an, aus Elementen eins auszuwählen, also aus dem Ausschuss mit Leuten einen Vorsitzenden zu wählen. Also gibt die Anzahl Möglicheiten an, aus den Abgeordneten des Parlaments einen Ausschuss mit Leuten zu bilden, von denen einer der Ausschussvorsitzende ist. Die Summierung über bedeutet, dass die Anzahl der Sitze irrelevant ist. Also suchen wir nach der Anzahl der Möglicheiten, aus dem Parlament einen Ausschuss mit Vorsitzendem zu bilden. 3

4 Diese Möglicheiten ann man auch anders zählen. Zuerst sucht man sich den Vorsitzenden des zu bildenden Ausschuss. Dafür hat man n Möglicheiten. Nun muss man nur noch alle anderen Abgeordneten fragen, ob sie in den Ausschuss wollen. Für jeden Abgeordneten gibt es zwei mögliche Antworten, also insgesamt n 1 (Variation mit Wiederholung. Somit gilt n n 1 0 Analog ann man die anderen Aufgaben dieses Typs lösen. 4 Olympiadeaufgaben Die erste Olympiadeaufgaben besteht im Kern aus folgender Aufgabe: Aufgabe Wie viele n-tupel aus der Menge M {1,, 3, 4} gibt es, in denen die 1 in gerader Anzahl auftritt? Beweis ommt die 1 in dem Tupel mal vor, wobei so gibt es für die Position der 1 also ( n Möglicheiten. Sind diese festgelegt gibt es für den Rest des Tupels noch 3 n Möglicheiten. Also gibt es insgesamt: 3 n 0 Möglicheiten. Diese Summe ann mithilfe des binomischen Lehrsatzes wie folgt berechnet werden: 4 n (3 + 1 n 3 n 1 0 n (3 1 n 0 4 n + n n ( 1 3 n n ( 1 + ( 1 3 n ( 1 + ( n n 0 3 n ( n ( 1 4

5 Also 4 n + n 0 3 n Die zweite Aufgabe reduziert sich im Kern auf folgende Frage: Aufgabe 3 Wie viele Involutionen gibt es in der Menge S n der Permutationen auf der Menge M (1,..., n? Beweis (Reursionsformel Sei T n die gesuchte Zahl der Involutionen in S n. Dann ergibt sich wie folgt eine Reursionsformel: Man betrachte das letzte Element n. Für dieses gibt es zwei Möglicheiten: Es wird auf sich selbst abgebildet. Für die Anordnung der restlichen Elemente gib es dann T n 1 Möglicheiten. Es wird auf eines der ersten n 1 Elemente abgebildet. Dafür gibt es n 1 Möglicheiten und für die Anordnung der restlichen Elemente T n. Also T n T n 1 + (n 1T n Beweis (Summenformel Man wählt aus M zuerst einmal die Elemente aus, die nicht auf sich selbst abgebildet werden. Diese Elemente müssen in Paaren auftreten um die Involution zu gewährleisten. Seien es Paare, also Elemente, die nicht auf sich selbst abgebildet werden. Die Aufteilung dieser Elemente auf die Paare geschieht wie im Sportunterricht: Alle stellen sich in einer Reihe auf und es wird in Paaren abgezählt. Für die Anordnung dieser Elemente gibt es (! Möglicheiten. Die Reihenfolge der Paare ist irrelevant, also muss durch! dividiert werden. Desweiteren ist die Reihenfolge der beiden Mitglieder jedes Paares ebenfalls irrelevant, es muss also noch durch dividiert werden. Für die restlichen Elemente, die auf sich selbst abgebildet werden, gibt es nur eine Möglicheit: sie werden auf sich selbst abgebildet. Also gibt es insgesamt Möglicheiten. n/ 0 (!! Literatur [1] Problem Solving Strategies, Arthur Engel, Springer, Berlin,