Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Kapitel 7 Wahrscheinlicheitsrechnung 7.1 Kombinatori Def :a) Für eine beliebige natürliche Zahl m bezeichnet man das Produt aus den Zahlen von 1 bis m mit m Faultät: m! : m, 0! : 1. Beispiele: 3! , 5! , 1! 1 b) Für zwei beliebige ganze Zahlen n und mit 0 n ist durch n! :! (n )! der Binomialoeffizient n über definiert. Für diesen Binomialoeffizienten gilt für 1 n: n (n 1) (n + 1) (7.1.1). 1 2 Diese Darstellung ist für die zahlenmäßige Auswertung oft günstiger als die Formel, durch die der Binomialoeffizient definiert ist. Darüberhinaus liefert die formale Anwendung von (7.1.1) die sinnvolle Definition: (7.1.1 ) : 0 für,n Z,0 n <. (7.1.2) (m + 1)! m! (m + 1). Beispiele für die Bildung des Binomialoeffizienten: ( ) 5 5! 2 2! 3! oder ( ) 5 2 ( ) ,

2 Satz (Binomischer Lehrsatz): Für a, b IR und n Z, n 0 gilt: (a + b) n n 0 a b n. Dabei setzt man x 0 : 1, wobei die Funtion von x gemeint ist. 0 0 für sich genommen bleibt undefiniert. Einige Eigenschaften des Binomialoeffizienten, die z.t. im Beweis des Binomischen Lehrsatzes (vergl. Sriptum zur Mathemati I, S. 22f) benötigt, werden, aber auch sonst nützlich sind: (7.1.3) n n! (n )! (n (n ))! n!! (n )! ( ) n n! n 0 0! (n 0)! n! 1 n! 1 n 1 1 n! (n 1)! n n 1! (n 1)! 1 n! ( ) ( ) ( ) n n n Urnenmodell: Urne mit n Kugeln; Kugeln werden nacheinander aus der Urne gezogen und in einer Stichprobe zusammengestellt. I) Regeln des Ziehens a) Ohne Zurüclegen (Ab.: o.z.) Jede gezogene Kugel wird nicht wieder in die Urne zurücgelegt, sondern ommt in die Stichprobe. b) Mit Zurüclegen (Ab.: m.z.) Jede gezogene Kugel wird in der Stichprobe registriert und wieder in die Urne zurücgelegt. Modell für das Registrieren : Ein Dupliat der gezogenen Kugel ommt in die Stichprobe. II) Regel des Zusammenstellens a) Ohne Berücsichtigung der Anordnung (Ab.: o.b.d.a) Jede gezogene Kugel bzw. ihr Dupliat ommt in eine Stichprobenurne. Die Reihenfolge der Ziehungen ist also nachher nicht mehr feststellbar. b) Mit Berücsichtigung der Anordnung (Ab.: m.b.d.a) Jede gezogene Kugel bzw. ihr Dupliat ommt in dasjenige Fach eines Stichprobenfächerbretts, das die Nummer der Ziehung trägt. Bem.: m. bzw. o. Wiederholung m. bzw. o. Z. Beispiel 7.1.2: Aus einer Urne mit den 3 Buchstaben A, B und C wird eine Stichprobe vom Umfang 2 gezogen. Wieviele verschiedene Möglicheiten gibt es? Wir listen alle Kombinationen auf: Kombinationen m.z.m.b.d.a.: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, Kombinationen m.z.o.b.d.a.: AA, AB, AC, BB, BC, CC, Kombinationen o.z.o.b.d.a.: AB, AC, BC, Kombinationen o.z.m.b.d.a.: AB, AC, BA, BC, CA, CB. 55

3 n verschiedene Kugeln in der Urne, Kugel in die Stichprobe: Kombination -ter Ordnung aus n (verschiedenen) Elementen (ergänzt durch Regeln aus I) und II), z.b. m.z.o.b.d.a.) K (n) : Anzahl aller möglichen verschiedenen Kombinationen der jeweils beschriebenen Art. K (n) m.b.d.a. o.b.d.a. + 1 m.z. n ( IN bel.) (n + 1) (n + 2) n 1 2 o.z. n! (n )! ( IN und n) n (n 1) (n + 1) n (n 1) (n + 1) 1 2 Sonderfall n bei der K.o.Z.m.B.d.A.: Permutation der Menge {1,2,...,n} : Anordnung der Zahlen 1,2,...,n in willürlicher Reihenfolge. Anzahl: P n : K n (n)(o.z.m.b.d.a.) n! Bem.: Statt {1,2,...,n} ann jede beliebige Menge mit n verschiedenen Elementen verwendet werden. Beispiel 7.1.3: Ein Vertreter möchte an einem Tag die 6 Kunden A, B, C, D, E und F besuchen. Wieviele verschiedene Tourenpläne gibt es? Jedem Tourenplan entspricht eine Festlegung der Reihenfolge der Kundenbesuche, also eine Permutation von {A,B,C,D,E,F }. 1. Permutation: A,B,C,D,E,F 2. Permutation: A,B,C,D,F,E 3. Permutation: A,B,C,F,E,D. Es gibt P 6 6! 720 Permutationen, also 720 verschiedene Tourenpläne, die wir hier nicht alle aufzählen werden. Herleitung der Formel für die Anzahl der Kombinationen m.z.o.b.d.a.: Aus einer Urne mit n Kugeln wird mal eine Kugel m.z. gezogen und die Dupliate werden in einer Stichprobenurne gesammelt. Statt nun diret mit dem Urnenmodell zu arbeiten, verwenden wir ein anderes Modell: Zunächst reihen wir die n Kugeln in der Urne auf: n 1 n Bei jeder Ziehung setzen wir dann einen Strich in den Zwischenraum vor die gezogene Kugel: n 1 n 56

4 Beispiele: a) liefert die Stichprobe 1, 3, 3, 5. b) liefert die Stichprobe 2, 3, 6, 6, 6. Jeder Kombination m.z.o.b.d.a. ter Ordnung aus n Elementen entspricht eine Verteilung von Strichen und (n 1) Kugeln auf (+(n 1)) Plätze. Auf Platz (+n) ommt immer die Kugel n, also ein Strich. Deshalb wird nicht auf ( + n) Plätze verteilt und deshalb wird nur (n 1) Kugeln ein Platz zugewiesen. Jeder Kombination m.z.o.b.d.a. ter Ordnung aus n Elementen entspricht daher eine Auswahl von Plätzen (für die Striche) aus ( + (n 1)) Plätze (mit der Wahlmöglicheit Kugel oder Strich ), also eine Kombination o.z.o.b.d.a. ter Ordnung aus ( + (n 1))( n + 1) Elementen. In Beispiel a) haben wir folgende Verteilung: Auf Platz 1 ist ein Strich, auf Platz 2 ist ist die Kugel 1, auf Platz 3 ist ist die Kugel 2, auf den Plätzen 4 und 5 sind Striche, auf Platz 6 ist die Kugel 3, auf Platz 7 ist die Kugel 4, auf Platz 8 ist ein Strich, auf Platz 9 ist die Kugel 5. Der letzte Platz ist immer für die letzte Kugel, also in Beispiel a) für die Kugel 6 reserviert. Wir erhalten schließlich: + 1 K (n) m.z.o.b.d.a. K (n + 1) o.z.o.b.d.a.. Satz (Stirling Formel): Für große natürliche Zahlen m ist die folgende Näherung verwendbar: ( m ) m m! 2πm e Für die Genauigeit der Näherung gilt: (m/e) m 2πm m! m 9 prozentualer Fehler : m! m 85 prozentualer Fehler 0.1(%) 100 1(%) Bem : a) Wir haben gleichartige Mengen von je n Elementen. Ziehen wir aus jeder Menge je ein Element, so ist die Formel für Kombinationen m.z....-ter Ordnung aus n Elementen anzuwenden. Ein Urnenmodell ist dazu nicht mehr nötig. 57

5 b) Wenn es auf die Reihenfolge der Auswahl (oder Ziehung) anommt, ist die Formel m.b.d.a ist anzuwenden, und wenn nicht (z.b. wenn gezogene Zahlen in natürlicher Reihenfolge beanntgegeben werden) die Formel o.b.d.a. Beispiel 7.1.6: Für die 60 Sitze eines Parlamentes bewerben sich 3 Parteien A, B und C. Wieviele Möglicheiten der Sitzverteilung gibt es? Die Wahl einer Partei für Sitz j, ann man dabei als j te Ziehung auffassen. Pro Sitz ist eine Partei auszuwählen, d.h. ein Element aus der Menge {A, B, C}. Jede Partei ann mehrfach ausgewählt werden. Wir haben also Kombinationen m.z. 60. Ordnung aus 3 Elementen zu bilden. Offen ist zunächst, ob m.b.d.a. oder o.b.d.a. a) Wir nehmen an, dass einem Sitz ein Wahlreis entspricht wie z.b. beim Mehrheitswahlrecht. Dann ist es wichtig, welcher Wahlreis von welcher Partei vertreten wird, und damit ist die Reihenfolge der Ziehungen wesentlich, also m.b.d.a. Die Anzahl der möglichen Sitzverteilungen ist damit K 60 (3) m.z.m.b.d.a b) Wir nehmen an, dass nur von Wahllisten gewählt werden, wie z.b. beim reinen Verhältniswahlrecht. Dann ist Reihenfolge der Ziehungen unwesentlich, also o.b.d.a. Die Anzahl der möglichen Sitzverteilungen ist damit ( ) K 60 (3) m.z.o.b.d.a. 60 ( 62 2 )