Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

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1 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Binominalverteilung [] S. [] S. ORIGIN Wahrscheinlicheitsverteilung Die umultative Binominalverteilung geht auf den Binomischen Satz zurüc. n n n n n n n n n n n n n n! ( a + b) a b ab + a b + a b +... ab n!( n )! für die wahrscheinlicheitstheoretische Deutung des Binomischen Satzes werden die n a und b als Wahrscheinlicheit p und q zweier sich gegenseitig ausschließender Elementarereignisse aufgefasst mit der Summe p+q. n n n n n n n n n n n n n n! ( p + q) pq pq + pq + pq +... pq n!( n )! Bevor die theoretische Betrachtung begonnen wird, soll zuerst die "Abzählmethode" mit Hilfe des Urnenexperimentes (Gedanenexperiment) unter Verwendung des Binomischen Satzes angewandt werden. Die folgende Tabelle zeigt einen Bernoulli-Versuch von bis n Ziehungen mit Zurüclegen. Die möglichen Umstellungen der erzielten Treffer (rote Kugel: R) und Niete (weiße Kugel:W) sind nicht im Einzelnen angegeben. Aber die Zahl der Umstellungen (Kombinationen) ist in der Tabelle aufgeführt. Die Wahrscheinlicheit als Elementarereignis eine weiße Kugel zu ziehen ist p, eine rote zu entnehmen q. Auswertung des Versuchs Zahl der Wahrschein- Zahl der Um- Anordnung n n- Kombina- lichet stellungen der Treffer R tonen und Nieten W q W p R q WW p q RW p RR q WWW p q RWW p q RRW p RRR q WWWW p q RWWW p q RRWW p q RRRW p RRRR q WWWWW p q RWWWW p q RRWWW p q RRRWW p q RRRRW p RRRRR q WWWWWW p q RWWWWW p q RRWWWW p q RRRWWW p q RRRRWW p q RRRRRW p RRRRRR.. Disret.mcd

2 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Die Binomische Verteilung, Binominalverteilung oder Bernoulliverteilung ann mit Hilfe eines Urnenexperiments erlärt werden. Das Experiment besteht in Ziehen einer Kugel, eines Loses oder dergleichen und Zurüclegen. Parameter und In einer Urne liegen zwei Sorten Gegenstände z.b. Kugeln von unterschiedlicher Anzahl. Die eine Kugelsorte, z.b. rote Kugeln besteht aus r : Kugeln. Die andere Sorte, z.b. weiße Kugeln weist w : Kugeln auf. Die Gesamtzahl der Kugeln beträgt r + w. Die Wahrscheinlicheit dafür, dass man bei einem Griff in die Urne eine rote Kugel erwischt, beträgt r p : p. r + w Die Wahrscheinlicheit dafür, dass man bei einem Griff in die Urne eine weiße Kugel erwischt, beträgt w q : q. p + q r + w Die frei wählbare Anzahl der Experimente (Entnahme und Rücgabe einer Kugel) soll im vorliegenden Fall n : betragen. Die Anzahl der Fälle, bei der das Ereignis "Entnahme einer roten Kugel" (Einzelwahrscheinlicheit p) oder "Entnahme einer weißen Kugel" (Einzelwahrscheinlicheit q) eintreten soll, beträgt :,.. n Zufallsvariable. Der Boolesche Operator n muss für alle Zufallsvariablen gleich sein. Die Beziehung zur Ermittlung der Binominalverteilung (Wahrscheinlicheitsdichte) wird in der folgenden Betrachtung wenn auch nicht bewiesen so doch plausibel gemacht. n! f binom (, n, p) : p ( p) n! ( n )! n Der Term p (-p) n- gibt gemäß der Multipliationsregel an, wie groß die Wahrscheinlicheit ist, dass bei Versuchen -mal die rote Kugel und bei den restlichen (n-) Versuchen (n-)-mal die weiße Kugel gezogen wird, wobei noch die Anzahl der möglichen Anordnungen der.. n Ereignisse (Ziehen einer roten oder weißen Kugel) durch Anwendung der Additionsregel berücsichtigt werden muss. Die Berücsichtigung dieser Anordnungsanzahl geschieht durch die ombinatorische Anzahl P om_a combin(n,) (), die hier zusätzlich als ganzzahliger Fator auftritt. Die Wahrscheinlicheitsverteilung dafür, dass bei einer n-maligen Ausführung des Urnenexperiments die rote Kugel -mal entnommen wird, beträgt in mathematischer Schreibweise n! f binom (, n, p) : p ( p) n! ( n )! n M, : f binom (, n, p) Matrix.. Disret.mcd

3 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Binominalverteilung f binom (, n, p) dbinom(, n, p) Die Wahrscheinlicheitsverteilung f binom (,n,q) in mathematischer Schreibweise gibt die Wahrscheinlicheit dafür an, dass bei der n-maligen Ausführung des Urnenexperiments die weiße Kugel -mal entnommen wird. f binom (, n, q) : n! q ( q) n! ( n )!. Wahrscheinlicheitsverteilung q. N, : f binom (, n, q) Matrix Binominalverteilung f binom (, n, p).. f binom (, n, q) Binominalverteilung bei der Entnahme der roten Kugeln (p,) f binom (, n, q)... Binominalverteilung bei der Entnahme der weißen Kugeln (q,) Die wahrscheinliche Anzahl der Ereignisse (Entnahme einer roten bzw. weißen Kugel) in dem angeführten beträgt, wenn die Wahrscheinlicheit als relative Häufigeit gedeutet wird,.. Disret.mcd

4 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung A(, n, p) : n f binom (, n, p) A(, n, q) : n f binom (, n, q). Da die Anzahl der Ereignisse nur durch eine ganze Zahl angegeben werden ann, wird der ganzzahlige Anteil von A(,n,p) noch mit Hilfe von trunc () bestimmt. trunc( A(, n, p) ) trunc( A(, n, q) ) Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung Die umulative Wahrscheinlicheitsverteilung gibt die Wahrscheinlicheit an, bei der mehrere Zufallsvariable zugelassen sind. Die umulative Wahrscheinlicheitsverteilung ergibt sich aus der Summation der Wahrscheinlicheitswerte der Binominalverteilung. (Additionsregel) f binom (, n, p) Die Summe der Wahrscheinlicheiten über den gesamten Bereich der Zufallsvariablen von bis ist gleich. Parameter und n : Anzahl der Experimente :,.. n Zufallsvariable Auswertung Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung pbinom(, n, p) pbinom(, n, q) f binom (, n, p) f binom (, n, q).. Disret.mcd

5 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung pbinom(, n, q). pbinom(, n, p). Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung für die Entnahme von weißen Kugeln (q,) Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung für die Entnahme von roten Kugeln (p,) Inverse umulative Wahrscheinlicheitsverteilung Die inverse umulative Binominalverteilung oder inverse Wahrscheinlicheitsfuntion gibt die wahrscheinliche Anzahl erfolgreicher Experimente (Zufallsvariable) an, die bei einer vorgegebenen Wahrscheinlicheit m und der Einzelwahrscheinlicheit p bzw. q - p zu erwarten sind. Auswertung Parameter und p :. q : p m :. n : qbinom( m, n, p) qbinom( m, n, q) Zufallszahlengenerator der Binominalverteilung Der Zufallsgenerator liefert eine vorgegebenen Anzahl von Zufallszahlen, die eine entsprechende Wahrscheinlicheitsverteilung aufweisen. In diesem Fall sind die Zahlen binominal verteilt. Parameter und Anzahl der binominal zu verteilenden Zufallszahlen Charateristische Größen der Binominalverteilung z : h :,.. z Bereich der Zufallszahlen n : Einzelwahrscheinlicheit p. Auswertung R binom : rbinom( z, n, p) Zufallszahlen Mathematische Schreibweise Zufallszahlen Matrix h R binom Zufallszahl R binomh Zufallszahlen Die erzeugten Zufallszahlen sind einmalig. Jeder neue Aufruf des Zufallszahlengenerators führt in MathCad zu einer anderen Zahlengruppe. h.. Disret.mcd

6 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Geometrische Verteilung Wahrscheinlicheitsverteilung Parameter und :,.. (ganze Zahl) p :. Einzelwahrscheinlicheit f geom ( ) : p ( p) Wahrscheinlicheitsverteilung Auswertung Wahrscheinlicheitsverteilung Mathematische Schreibweise dgeom(, p) dgeom(, p).. Wahrscheinlicheitsverteilung Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung Mathematische Schreibweise Funtion f geom : p ( p) Matrix, f geom. p ( p)... pgeom(, p) Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung.... Hypergeometrische Wahrscheinlicheitsverteilung [] S. Das Experiment besteht in der Auswahl und dem Zurüclegen eines Elements aus einem Kolletiv, wobei eine besondere Eigenart, Eigenschaft oder Mermal dieses Elements festgestellt wird. Parameter und.. Disret.mcd

7 Gesamte Anzahl der Elemente, Größe des gesamten Kolletivs z z : Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft m m : Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Anzahl der Elemente, denen die bestimmte Eigenschaft fehlt z-m z m n Anzahl der durchgeführten Experimente n n : Anzahl der eingetretenen Ereignisse :,.. n ( n ) ( z m) combin( m, ) combin[ ( z m), ( n ) ] f hyper : combin(m,) Binominalzahl combin( z, n) Die Funtion combin(m,) gibt die ombinatorische Anzahl der möglichen Kombinationen an, die sich bei der Auswahl von Elementen in leinen Gruppen aus einer größeren Ausgangsmenge von m Elementen ohne Berücsichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen, ergeben. Die Zahl der Möglicheiten aus den m Elementen, die mit einer bestimmten, abfragbaren Eigenschaft behaftet sind, Elemente auszuwählen, beträgt combin(m,). Die Zahl der Möglicheiten aus den z-m Elementen, die nicht mit dieser Eigenschaft behaftet sind, n- Elemente auszuwählen, beträgt combin(z-m,n-). Die Kombination der Möglicheiten Elemente mit der besonderen Eigenschaft und Elemente ohne diese Eigenschaft zu finden ist gleich dem Produt dieser Möglicheiten. Die Zahl der Möglicheiten aus den z Elementen der gesamten Ausgangsmenge n Elemente auszuwählen, beträgt combin(z,n). Gemäß der nachgewiesenen "Stabilität der relativen Häufigeit" bei der Durchführung umfangreicher Zufallsexperimente ann die rechnerisch ermittelte Häufigeit zur Berechnung der Wahrscheinlicheit herangezogen werden. Auswertung z m Wahrscheinlicheitsdichte f hyper f hyper. Wahrscheinlicheitsdichte Mathem. Schreibweise Wahrscheinlicheitsdichte dhypergeom(, m, z m, n) dhypergeom(, m, zm, n) Disret.mcd

8 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Wahrscheinlicheitsdichte Kumulative hypergeometrische Wahrscheinlicheitsverteilung Parameter und Auswertung Parameter und n : Anzahl der durchgeführten Experimente p :. Wahrscheinlicheit des Einzelereignisses µ : n p Mittelwert µ :,.. Zufallsvariable Auswertung f pois (, µ ) Die vorgegebenen Daten sind die gleichen wie bei der hypergeometrischen Wahrscheinlicheitsverteilung. Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung phypergeom(, m, z m, n) Poisson-Verteilung n Wahrscheinlicheitsverteilung [] S., S. phypergeom(, m, zm, n) f hyper µ : e µ Wahrscheinlicheitsdichte Mathematische Schreibweise!. Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung Die Poisson-Verteilung geht aus der Bernoulli-Verteilung hervor. Sie gilt bei einer großen Zahl von n Elementen bei einer geringen Wahrscheinlicheit p und einer geringen Zahl eingetretener Ereignisse. Wahrscheinlicheitsdichte dpois(, µ ) f pois (, µ ) Disret.mcd

9 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung Wahrscheinlicheitsdichte Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung Parameter und Die vorgegebenen Daten sind die gleichen wie bei der Poisson-Verteilung. Auswertung Kumulative Wahrschvtg. ppois(, µ ) ppois(, µ )..... Wahrscheinlicheitsdichte Kumulative Wahrscheinlicheitsverteilung :,.. µ :. f pois (, µ ) : µ! e µ µ : f pois (, µ ) : µ! e µ µ : f pois (, µ ) : µ! e µ µ : f pois (, µ ) : µ! e µ µ : f pois (, µ ) : µ! e µ µ : f pois (, µ ) : µ! e µ.. Disret.mcd

10 Disrete Wahrscheinlicheitsverteilung. f pois (, µ ) f pois (, µ ) f pois (, µ ) f pois (, µ ) f pois (, µ ) f pois (, µ ) Wahrscheinlicheitsdichte der Poisson-Verteilung.. Disret.mcd