Der Binomialkoeffizient (Einführung):

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Markus Beltz
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1 Der Binomialoeffizient (Einführung): ) Wie viele Kombinationsmöglicheiten gibt es, Kugeln in Kästchen anzuordnen? Lösung: ) Beispiel: Fragen sollen beantwortet werden. Die Antwort ann richtig (r) oder falsch (f) sein. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, genau Fragen richtig ( und somit Fragen falsch ) zu beantworten? Baumdiagramm (n = Stufen ; die Stufe Nr. muss noch ergänzt werden): Aufgabe: Ergänze den Baum um die.stufe und berechne die Wahrscheinlicheit für genau Fragen richtig Lösung: Beide Probleme hängen mit dem so genannten Binomialoeffizienten Was versteht man unter diesem Begriff bzw. dem Term?? n ( lies: n über ) zusammen.

Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, genau Fragen richtig ( und somit Fragen falsch ) zu beantworten? Baumdiagramm (n = Stufen ; die Stufe Nr.

2 Zu ) Es gibt 0 Kombinationsmöglicheiten, wenn man die Reihenfolge der beiden Kugeln nicht beachtet (sonst 0). 0 ergibt sich als Lösung von 4 = Warum? (Baum betrachten! ) Zu ) Es gibt auch hier 0 Kombinationsmöglicheiten ( 4 = ) Das Abzählergebnis (0 Möglicheiten) ann mithilfe des Pascalschen Dreiecs verdeutlicht werden: n = n = n = n = n = = 0 = = = = 4 = Wie man sieht, steht hier für die Anzahl der richtigen Fragen. Die Zahlen im Pascal-Dreiec ( ; ; 0; usw) geben die Anzahl der Kombinationsmöglicheiten für Richtige an. Prüfe im Baumdiagramm: Die Wahrscheinlicheit entlang eines Pfades mit Treffern: P(X=) = n Dann gilt bei Kombinationsmöglicheiten: P(X=) = n = 0 = = = = 4 = Fazit: n wird unter anderem verwendet als Kurzschreibweise für die Anzahl der Pfade, die bei n Wiederholungen zu Treffern führen.

= Wie man sieht, steht hier für die Anzahl der richtigen Fragen. Die Zahlen im Pascal-Dreiec ( ; ; 0; usw) geben die Anzahl der Kombinationsmöglicheiten für Richtige an.

Interpretationen zum Binomialoeffizienten n ( lies: n über ) Bedeutung: Anzahl der Möglicheiten, aus insgesamt n Elementen Elemente auszuwählen.

3 Interpretationen zum Binomialoeffizienten n ( lies: n über ) Bedeutung: Anzahl der Möglicheiten, aus insgesamt n Elementen Elemente auszuwählen. Beispiele: a) Von n Kästchen werden Kästchen angereuzt und (n-) Kästchen nicht angereuzt. Es gibt für jedes Kästchen Möglicheiten, entweder Kreuz oder ein Kreuz. Dann gibt es für das Anreuzen n das Nichtanreuzen n n Kombinationsmöglicheiten. und für b) In einem Wegenetz hat man an jeder Wegegabelung genau Möglicheiten, nämlich vorwärts (nach unten) oder nach rechts zu gehen. Start A Ziel B Man muss immer den ürzesten Weg vom Startpunt A zum Zielpunt B nehmen! Es gibt n Wegegabelungen und -mal die Möglicheit, vorwärts (nach unten) zu gehen. Also gibt es (n-)-mal die Möglicheit, nach rechts zu gehen. Dann hat man n bzw. n n Kombinationsmöglicheiten, von A nach B zu ommen. c) In einem n-stufigen Baumdiagramm mit je Ästen auf jeder Stufe (Bernoulli-Kette der Länge n) soll die Anzahl der Pfade bestimmt werden, auf denen genau -mal der rechte Ast gewählt wird ( und somit (n-)-mal der line Ast). Hierfür gibt es n Pfade. d) Ein GALTON-Brett besitze n Nagelreihen und somit n+ Fächer ( die Fachnummern werden von 0 bis n und von lins nach rechts beschriftet) zum Einsammeln der Kugeln. Wie groß ist für jede Kugel die Anzahl der Wege bzw. Möglicheiten, in dem Fach Nummer ( von 0 bis n) zu landen. Lösung: Es gibt n Nummer zu landen. Wege bzw. Möglicheiten, im Fach e) Im Pascal-Dreiec mit den Zeilennummern n=0, n=, n=, und den Spaltennummern von 0 bis n (siehe Grafi) steht n in der Zeile Nummer n und der Spalte Nummer. Dies ermöglicht u.a. eine schnelle Berechnung von Binomischen Formeln der Art ( a + b) n bzw. (a b) n. n = 0 n = n = n = n = n = 0 4 -Werte

Dann gibt es für das Anreuzen n das Nichtanreuzen n n Kombinationsmöglicheiten.

4 Die Bernoulliformel mit P(X=): Lässt sich ein Problem als Bernoulli-Versuch deuten (Zufallsversuch mit genau Ausgängen) und wird der Versuch n-mal unter gleichen Bedingungen (gleich bleibende Wahrscheinlicheiten p und q=-p auf jeder Stufe) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Dafür lässt sich ein n-stufiges Baumdiagramm mit je Ästen zeichnen. Die Wahrscheinlicheit p auf dem rechten Ast steht für Erfolg oder Treffer, die Wahrscheinlicheit q=-p auf dem linen Ast steht für Misserfolg oder Niete. Wir haben eine Bernoulli-Kette mit n Stufen und einer Erfolgswahrscheinlicheit (Trefferwahrsch.) p. Dann ist die Misserfolgswahrscheinlicheit (Nietenwahrscheinlicheit) q=-p. p (und damit auch q) bleibt auf jeder Stufe gleich. gibt immer die Anzahl der Erfolge (Treffer) an. P(X=) berechnet die Gesamtwahrscheinlicheit dafür, dass bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch Erfolge vorommen, d.h. dass -mal p und (n-)-mal q=-p vorommen. Es gilt: P(X=) = n p p n Anmerung: Die Zufallsgröße X ist eine Funtion (Zuordnung), die den Ergebnissen eines Zufallsversuchs bestimmte Zahlen zuordnet. Z.B. X = Anzahl der Sechsen beim 4-fachen Würfeln. Für dieses Beispiel bedeutet dann P(X=): Wahrscheinlicheit für Sechsen! Einige Beispiele, bei denen die Bernoulliformel anzuwenden ist: a) GALTON-Brett mit n=7 Nagelreihen (n+ Fächern) und p = 0,. Mit welcher Wahrsch. P landet die Kugel im Fach Nummer ( von 0 bis n )? Ansatz: Die Zufallsgröße X sei die Nummer des Faches (Auffangbehälters). Lösungsformel: P(X = ) = 7 0, 0, 7 b) -mal hintereinander telefonieren. Die Wahrsch., durchzuommen, betrage 8%. Wie groß ist die Wahrsch. P, jedesmal (genau -mal) durchzuommen? Ansatz: X = Anzahl der erfolgreichen Wahlversuche. Lösungsformeln: P( jedesmal durchommen ) = P(X = ) = 0,8 0, 0 P( genau -mal durchommen ) = P(X = ) = 0,8 0, c) Rausommen beim Mensch-ärgere-dich-nicht. Jeder darf zunächst -mal hintereinander würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit P, herauszuommen? Hier gilt: n = und p = /6 (für das Würfeln einer 6 ) und q = /6 (eine 6 ). X = Anzahl der Sechsen beim -fachen Würfeln. Gefragt ist nach P(mindestens eine 6 ), d.h. P(mindestens einmal Erfolg) = P(X ) Lösungsformel: P(mindestens eine 6 ) = P(-mal 6 ) + P(-mal 6 ) + P(-mal 6 ) = /6 /6 + /6 /6 + /6 /6 0 Anmerung: Noch einfacher löst man dieses Beispiel mit der Gegenwahrscheinlicheit P(0-mal 6 ). Es gilt dann; P(X ) = P(X = 0) = 0 /6 0 /6

Die Wahrscheinlicheit p auf dem rechten Ast steht für Erfolg oder Treffer, die Wahrscheinlicheit q=-p auf dem linen Ast steht für Misserfolg oder Niete.

5 Anmerung zum Rausommen beim Mensch-ärgere-dich-nicht In der Realität wird nicht immer -mal gewürfelt. Sobald nämlich eine Sechs gewürfelt wurde, wird gestoppt. Dies ann bereits nach dem ersten oder nach dem zweiten Wurf der Fall sein. Die folgenden Äste im Baumdiagramm werden dann nicht mehr eingezeichnet! Aufgabe: Zeichne ein solches verürztes Baumdiagramm und bestimme dann P(X ). Was fällt auf? Wie ann man sich das erlären? Weiterführende Aufgaben ) Ein Würfel wird 0-mal (0-mal) geworfen. Wie groß ist P(X )? ) Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, damit mindestens eine 6 mit mindestens 90%- iger (99%-iger) Wahrscheinlicheit auftritt? Gesucht ist eine analytische Lösung, eine Probierlösung! Tipp: Verwende den Term für P(X ) und überlege, wie man mindestens 90% schreiben ann.

Aufgabe: Zeichne ein solches verürztes Baumdiagramm und bestimme dann P(X ). Was fällt auf? Wie ann man sich das erlären? Weiterführende Aufgaben ) Ein Würfel wird 0-mal (0-mal) geworfen.

6 Lösung zum Rausommen-Problem Das vollständige Baumdiagramm sieht so aus ( Anm.: n6 bedeutet: eine 6 ): Für den rechten Ast muss man nur die Wahrscheinlicheit P = /6 berechnen (Stopp bei der ersten 6 ). Für den linen Ast rechnet man P = /6*/6 (Stopp) und P = /6*/6*/6. Addiert man diese Wahrscheinlicheiten (Additionssatz), so erhält man P(X ) = /6+/6+/6 = 9/6 4,% Dies ist das gleiche Ergebnis wie bei der ompletten Berechnung mit P=/6*/6*/6 + /6*/6*/6 + /6*/6*/6 + /6*/6*/6 P = /6*/6*/6 + /6*/6*/6 P siehe oben! Die Ergebnisse sind gleich, weil die jeweils nachfolgenden weggelassenen Wahrscheinlicheiten im Baum einen Gesamtsumme von ergeben, was nach dem Multipliationssatz mit den vorherigen Wahrscheinlicheiten multipliziert werden müsste ( nachprüfen!). Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben ) P(X ) = P(X=0) = (/6) 0 8,8%. P(X ) = P(X=0) = (/6) 0 97,4%. ) Ansatz für n Würfe: P(X ) 90% - P(X=0) 0,9 - (/6) n 0,9 Umformen: - 0,9 (/6) n - 0,9 (/6) n 0, (/6) n Eponent unbeannt, daher ein Logarithmusproblem: n log(0,) log (0,) =, 6 6 log( ) 6 Also muss man einen Würfel mindestens -mal werfen, damit mindestens eine 6 mit mindestens 90%- iger Wahrscheinlicheit auftritt. Für den Ansatz mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlicheit erhält man: n 6

Addiert man diese Wahrscheinlicheiten (Additionssatz), so erhält man P(X ) = /6+/6+/6 = 9/6 4,% Dies ist das gleiche Ergebnis wie bei der ompletten Berechnung mit P=/6*/6*/6 + /6*/6*/6 + /6*/6*/6 +

7 Verwendung des grafifähigen Taschenrechners TI8 n über (ncr) findet man im Menü MATH PRB : z.b. ncr = 0 P(X=) (binompdf) findet man im Menü DISTR 0: z.b. binompdf(7,0.) liefert die folgende Liste(Zahlen gerundet!): Diese Liste ann man zur besseren Betrachtung z.b. in L abspeichern ( STO L ). Die zugehörigen -Werte gibt man in die Liste L ein. Aufgaben ) Erstelle die oben genannten Listen und lasse den Rechner ein Histogramm zeichnen. Übertrage die Zeichnung ins Heft. ) Eine Binomialverteilung sei gegeben durch die Tabelle der P(X = )-Werte: 0,7 0,6 0, 0, 0,0 0 (Werte gerundet) Bestimme p! Überprüfe deine Lösung.

Die zugehörigen -Werte gibt man in die Liste L ein. Aufgaben ) Erstelle die oben genannten Listen und lasse den Rechner ein Histogramm zeichnen.

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