5 Kombinatorik. 5.1 Permutationen. Übungsmaterial 1

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1 Übungsmaterial 1 5 Kombinatorik In der Kombinatorik gibt es eine Reihe von odellen. Im Folgenden werden diese jeweils an einem Beispiel erklärt, im nschluss wird eine allgemeine Formel hergeleitet. 5.1 Permutationen Permutationen ohne Wiederholung Bei einem Fuÿballspiel müssen die pieler ndreas (), atthias () und tefan () leider aussetzen und nehmen auf der Ersatzbank Platz. Wieviele öglichkeiten gibt es für die Verteilung der Plätze auf der Bank? Es gibt folgende nordnungsmöglichkeiten:,,,,, Durch diese uistung kann man erkennen, dass es sechs öglichkeiten gibt. Diese Vorgehensweise, das ufschreiben aller öglichkeiten, wird allerdings äuÿerst mühsam, sobald es um mehr Personen geht. Durch das Zeichnen eines Baumdiagramms (siehe bb. 1 unterer Teil) lässt sich eine nützliche Formel für die nzahl der nordnungsmöglichkeiten herleiten. Ersatzbank bb. 1: Baumdiagramm zum Ersatzbankbeispiel Die gesuchte nzahl der nordnungsmöglichkeiten berechnet sich, indem die nzahlen der Besetzungsmöglichkeiten für die einzelnen drei Plätze multipliziert werden: = = 3! = 6. Diese rt von nordnungen, bei denen alle Objekte jeweils einmal verwendet werden und die Reihenfolge beachtet wird, nennt man Permutationen. Für die nzahl der Permutationen, der nordnungsmöglichkeiten von n unterscheidbaren Elementen, gilt: = n! (1)

2 Übungsmaterial Permutationen mit Wiederholung Wieviele öglichkeiten gibt es, die zehn Buchstaben des Wortes FFENTLL anzuordnen? Hier tritt folgendes Problem auf: Die Buchstaben, F und L sind jeweils doppelt vorhanden. Es gibt demnach nordnungsmöglichkeiten, die sich nicht voneinander unterscheiden lassen. Wenn man nun die Zahl der möglichen nordnungen nach Formel (1) zu = 10! bestimmen würde, hätte man einige doppelt gezählt. us diesem Grund muss die nzahl 10! durch die nzahl der nordnungen geteilt werden, die nicht voneinander zu unterscheiden sind. Diese berechnen sich nach Formel (1) zu 2! = 2 nordnungen, bei denen sich die s nicht unterscheiden lassen, und auch jeweils 2! = 2 nordnungen, bei denen dies für die F s und die L s gilt. Es ergibt sich insgesamt die nzahl = 10! 2! 2! 2! = llgemein gilt für die nzahl der Permutationen von n Elementen wobei je n i untereinander gleich sind (i = {1, 2,..., k}, k i n i = n): = n! n 1! n 2!... n k!. (2) 5.2 Kombinationen Bei Kombinationen werden im Gegensatz zu Permutationen nicht mehr alle Elemente gezogen und angeordnet, sondern nurmehr ein Teil davon und zwar ohne Beachtung der Reihenfolge, in der sie gezogen wurden Kombinationen ohne Wiederholung Beim Lotto werden aus 49 nummerierten Kugeln sechs Gewinnkugeln gezogen und anschlieÿend der Reihenfolge ihrer Nummern nach geordnet. Welche Kugel hierbei als erste, welche als zweite etc. gezogen wird, spielt keine Rolle. Wie viele öglichkeiten gibt es bei diesem Zufallsexperiment für eine Reihe von sechs Kugeln? Die erste Kugel kann aus 49 möglichen Kugeln gezogen werden, die zweite aus 48, etc. nschlieÿend lassen sich die sechs gezogenen Kugeln noch beliebig permutieren (schlieÿlich wird nicht auf die Reihenfolge des Ziehens geachtet); das bedeutet, dass durch die nzahl dieser Permutationsmöglichkeiten geteilt werden muss. Es ergibt sich die nzahl der öglichkeiten für eine Reihe von sechs Kugeln zu = ! = 49! 43! 6!.

3 Übungsmaterial 3 llgemein gilt für die nzahl der Kombinationen von k Elementen aus einer enge von n unterscheidbaren Elementen: = n! (n k)! k! =: ( ) n k (3) ( n ) k (sprich: k aus n) heiÿt Binomialkoezient Kombinationen mit Wiederholung Zwei mseln können sich bei der uswahl ihres Nistplatzes zwischen vier Bäumen entscheiden. Die mseln sind nicht zu unterscheiden und können auch zu zweit auf einem Baum nisten. Wie viele Verteilungsmöglichkeiten gibt es? Die Lösung kann durch bzählen gefunden werden: Es gibt 10 Verteilungsmöglichkeiten, nämlich , , , , , , , , , Die im Folgenden dargestellte Vorgehensweise führt nicht nur ebenfalls zur richtigen ntwort, sondern auch zu einer allgemeinen Formel. Betrachte die in Tab. 1 dargestellten Verteilungsmöglichkeiten: Baum 1 Baum 2 Baum 3 Baum Tabelle 1: Verteilung der mseln Nun verwendet man eine chreibweise ohne Tabelle. Zur Kennzeichnung der verschiedenen Bäume wird die Zier 0 verwendet: diese kennzeichnet die Lücken zwischen den Bäumen. Obige Tabelle lässt sich somit folgendermaÿen schreiben: 1. Zeile: Zeile: Zeile: Zeile: uf diese Weise reduziert sich das Problem: Gesucht ist nun die nzahl einer fünfstelligen Permutation mit Wiederholungen der Elemente: Das eine Element, 1, tritt zweimal auf, das andere, 0, dreimal. 1 Die chreibweise k1-k 2-k 3-k 4 bedeutet, dass auf dem i-ten Baum k i mseln nisten (i {1, 2, 3, 4}, k i {0, 1, 2}).

4 Übungsmaterial 4 Hierfür verwenden wir die Formel (2) und gelangen auf diese Weise zur selben nzahl der Verteilungsmöglichkeiten wie durch bzählen: = 5! ( ) 5 = = 10 2! 3! 2 Da man bei dieser rt von ufgaben in jeder tichprobe k Einser und n 1 Lücken (Nuller) hat, ist der Umfang der tichprobe immer n 1 + k. llgemein gilt für die nzahl der Kombinationen von k Elementen aus einer enge von n unterscheidbaren Elementen mit Wiederholung der Elemente: ( ) (n 1 + k)! n 1 + k = = (n 1)! k! k (4) 5.3 Variationen uch bei Variationen werden aus der betrachteten enge von Elementen nicht alle angeordnet. Im Unterschied zu den Kombinationen kann man die Elemente hier jedoch unterscheiden. an kann die Permutation ansehen als einen pezialfall einer Variation, bei der alle Elemente gezogen werden Variationen ohne Wiederholung der Elemente Ein schwarzer Porsche, ein roter Golf und ein weiÿer ercedes fahren hintereinander auf einen Parkplatz mit 20 freien tellplätzen. Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es? Der Fahrer des Porsches kann sich einen von 20 tellplätzen zum Parken aussuchen, der Lenker des Golfs einen von 19 und der ercedesfahrer einen von 18 noch freien Parkplätzen. Es ergibt sich die nzahl der Parkmöglichkeiten zu = = 20! 17! = 6840 Generell berechnet sich die nzahl der Variationen von k Elementen aus einer enge von n unterscheidbaren Elementen ohne Wiederholung folgendermaÿen: ( ) n! n = (n k)! = k! k (5)

5 Übungsmaterial Variationen mit Wiederholung der Elemente Bei den meisten Handys ist zum Einschalten die Eingabe eines vierstelligen Pins notwendig. Wie viele öglichkeiten gibt es für diese vierstellige Nummer, wenn jede telle unabhängig von den anderen tellen mit einer der Ziern i = 0, 1,..., 9 belegt werden kann? Es gibt für jede der vier tellen dieselben zehn öglichkeiten, eine Zier auszuwählen. Es folgt = = 10 4 Für die nzahl der Variationen von k Elementen aus einer enge von n Elementen gilt: = n k (6) 5.4 ufgabe 1 1) Ein Koer hat ein Ziernschloss mit vier Ringen mit den Ziern 1, 2 und 3. a) Um welches kombinatorische odell handelt es sich? b) Wieviele Ziernkombinationen sind möglich? 2) Bei einem Einstellungstest müssen drei ufgaben aus zwei achgebieten mit je vier bzw. fünf ufgaben zur uswahl bearbeitet werden, wobei aus jedem Gebiet mindestens eine ufgabe stammen muss. Wieviele öglichkeiten der Bearbeitung gibt es? Lösung 1a) Es handelt sich um eine Permutation mit Wiederholung (Handypin) b) Es gibt 3 3 = 27 öglichkeiten. 2) Es kann entweder eine ufgabe des ersten und zwei ufgaben des zweiten achgebiets oder zwei ufgaben des ersten und eine ufgabe des zweiten achgebiets bearbeitet werden. Es gibt also ( 4 1) ( 5 2) + ( 4 2) ( 5 1) = = 70 öglichkeiten.

6 Übungsmaterial ufgabe 2 1) Wieviele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziern 0, 1, 2, 3 und 4 bilden? Welche ist die höchste? 2) Zehn gleiche Tafeln chokolade sollen auf vier Kinder verteilt werden. a) Um was für ein kombinatorisches odell handelt es sich? b) Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es? Lösung 1) Es gibt = 100 dreistellige Zahlen (die Null darf nicht vorne stehen, sonst wird es keine dreistellige Zahl!). Die höchste dieser Zahlen ist die a) Es handelt sich um eine Kombination mit Wiederholung (mseln). b) Es gibt ( ) ( = 13 ) 3 = 286 öglichkeiten.