Wahrscheinlichkeiten beim Doppelkopf

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1 Wahrscheinlichkeiten beim Doppelkopf Carsten Wieneke 14. März 2015 Zusammenfassung Die folgenden Seiten geben zunächst einen Überblick über theoretische Grundlagen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von für das Doppelkopfspiel relevanten Kartenverteilungen. Anschließend werden zu einigen konkreten Situationen die Wahrscheinlichkeiten berechnet. Diese Abhandlung ist also kein Lehrbuch zum Erlernen und Verbessern des eigenen Doppelkopfspiels. 1 Es stellt für den ambitionierten Doppelkopfspieler vielmehr eine wahrscheinlichkeitstheoretisch basierte Entscheidungshilfe für bestimmte Spielsituationen dar. 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Allgemeines Beim Doppelkopfspiel werden n Karten auf k Leute verteilt, wobei n und k je nach angewendeten Regeln variieren. Ich behandle die Doppelkopfvariante mit 40 Karten (Blatt ohne Neunen) und vier Mitspielern. Die meisten Fragestellungen lassen sich mit elementarer Kombinatorik beantworten, wobei immer wieder die Anzahl der möglichen Verteilungen einiger Karten auf die Spieler eine Rolle spielt. Die Reihenfolge in der die Spieler die Karten erhalten hat hierbei keine Bedeutung. Dieses Problem ist eigentlich nicht schwer zu lösen und kann in jedem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung nachgelesen werden: k verschiedene Karten können auf ( ) n k = n! Arten aus n Karten ausgewählt werden k!(n k)! (Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge der Mächtigkeit n). Wären alle 40 Karten eines Doppelkopfblattes zu unterscheiden, so gäbe es ( ) ( ) ( ) = verschiedene Kartenverteilungen auf die vier Mitspieler. Beim Doppelkopf sind allerdings alle Karten zweimal im Spiel. Dies führt dazu, dass der Spieler nicht mehr alle Blätter 1 Einige meiner Spielpartner werden sogar behaupten, dass ich zum Schreiben eines solchen Ratgebers denkbar ungeeignet bin.

2 1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN mit derselben Wahrscheinlichkeit (WK) erhält. Dies soll an einem vereinfachten Beispiel klargemacht werden. Wir gehen von 6 Karten aus. Sind diese Karten unterscheidbar, so kann man drei Karten auf ( 6 3) = 20 Arten auswählen. Jedes Blatt tritt also mit der WK 1 auf. 20 Sind nun jeweils zwei Karten gleich, so gibt es nur noch 7 unterscheidbare Blätter und es ist keine Gleichverteilung mehr gegeben. Die WK etwa drei verschiedene Karten zu erhalten ist größer, als die WK zwei gleiche Karten des ersten Typs zu erhalten. Im ersten Fall gibt es acht Möglichkeiten der Auswahl (also ist die WK für dieses Blatt 2 ), im 5 zweiten Fall lediglich vier(wk 1 ). Die folgende Grafik verdeutlicht dies: Wie die WK für ein bestimmtes Blatt beim Doppelkopf berechnet wird behandelt der nächste Abschnitt. 1.2 Die Wahrscheinlichkeit für ein Blatt beim Doppelkopf Als Beispiel soll hier zunächst die Berechnung der WK erfolgen, dass der Spieler 2 Pärchen erhält. Aus 20 Pärchen können auf ( 20 2) Arten 2 Pärchen ausgesucht werden. Es bleiben neben den Pärchenkarten Karten als einzelne Karten aus noch 20 2 = 18 Pärchen zu wählen. Dies geht auf ( ) ( = 18 ( 6) Arten. Also gibt es ) ( 6) = verschiedene Blätter mit 2 Pärchen. Ähnlich berechnet man für kein, für ein, für 3, für 4 und verschiedene Blätter für fünf Pärchen (schon mal 5 Pärchen gehabt?). Insgesamt gibt es also unterschiedliche Blätter. Ein Spieler braucht bei angenommenen 5 Minuten pro Spiel immerhin gut 76 Jahre, um alle diese Blätter zu spielen (wenn er denn immer unterschiedliche bekommt). Die Wahrscheinlichkeiten für kein Paar, ein Paar, zwei, drei, vier bzw, fünf Paare sind also

3 2 BERECHNUNG SPEZIELLER WAHRSCHEINLICHKEITEN 0,023, 0,189, 0,441, 0,272, 0,073 und 0,002. Mit Abstand am häufigsten hat man also zwei Paare. Dieser Fall tritt in nahezu jedem zweiten Spiel ein. 2 Berechnung spezieller Wahrscheinlichkeiten 2.1 Ausspiel einer Fehlfarbe Vorhand kann den Fehlstich machen, wenn die anderen Spieler mindestens drei Karten der Fehlfarbe halten. Vorhand macht den Stich, wenn jeder Mitspieler mindestens eine Karte der Farbe hält. Dies sei bei n Karten auf der Hand der Gegner das Ereignis A n. Angenommen die Mitspieler halten vier Karten der Fehlfarbe. Dann gibt es 3 4 = 81 Möglichkeiten, die anderen vier Fehlkarten der Farbe auf die Mitspieler zu verteilen. Das As überlebt, wenn jeder Spieler mindestens eine Karte der Fehlfarbe besitzt. Der erste Spieler kannauf ( 4 2) Artenzwei Karten aus den 4 Kartenerhalten. Der zweite Spieler kann noch auf zwei Arten seine Karte erhalten. Aus Symmetriegründen muss das Produkt mit drei multipliziert werden, denn jeder Spieler kann Besitzer der zwei Karten sein. Insgesamt erhält man für die WK von p(a 4 ) 3 2 (4 ) 2 p(a 4 ) = 3 4 Also geht das As nur mit WK = 0.44 durch. Die Berechnung von p(a 5) ist etwas schwieriger. 2 Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die jeweiligen Chancen den Fehlstich zu bekommen, dabei sei n die Anzahl der fehlenden Karten der Fehlfarbe: n p(a n ) Selbst ein blankes As überlebt also nur in etwa 6 von 10 Fällen. 2.2 Ausspiel beim Solo Die Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt lassen sich auf einige Situationen beim Ausspiel im Rahmen eines Solos übertragen, bzw. auf die Frage, ob man ein bestimmtes Solo riskieren soll. Hält der Solospieler etwa fünf Trümpfe eines Buben- oder Damensolos und ist er auf eine 1:1:1-Verteilung der übrigen Trümpfe angewiesen, so wird dies nur in etwa 2 von 10 Fällen (WK=0,222) der Fall sein. Die WK, dass der höchste Trumpf 2 Die Berechnung findet sich im Anhang

4 2 BERECHNUNG SPEZIELLER WAHRSCHEINLICHKEITEN blank sitzt, ist höher und liegt bei 0.444, denn die günstigen Verteilungen sind auch diejenigen, bei denen ein Spieler den Trumpf blank hält und die beiden anderen Trümpfe auf einer Hand sitzen. Also gibt es insgesamt 12 günstige Kartenverteilungen und man erhält WK = 12 = Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die jeweiligen 27 Wahrscheinlichkeiten, dass der höchste Trumpf beim Gegner blank sitzt. Dabei sei A n das Ereignis, dass der höchste Trumpf bei n fehlenden Karten in der Trumpffarbe blank sitzt. 3 n p(a n ) Bei 5 Trümpfen beim Gegner, ist der höchste Trumpf nur noch in zwei von zehn Fällen blank. 3 Die ausführliche Berechnung findet sich im Anhang

5 LITERATUR Literatur [1] KRENGEL, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeit und Statistik. Vieweg, 1988.

6 A Ausspiel einer Fehlfarbe Berechnung von p(a 3 ): Es gibt 3 3 = 27 Möglichkeiten, die restlichen drei Fehlkarten der Farbe auf die Mitspieler zu verteilen. Davon sind alle 3! = 6 Permutationen günstig, bei denen jeder der Mitspieler ein Karte hält. Es ergib sich: p(a 3 ) = 6 27 = 0.2 Berechnung von p(a 5 ): Es gibt 3 5 = 243 Möglichkeiten, die fünf restlichen Karten der Fehlfarbe auf die Mitspieler zu verteilen. Die ungünstigen Möglichkeiten sind diejenigen, bei denen ein Mitspieler keine Karte der Farbe hält. Angenommen der erste Mitspieler hat keine Karte der Farbe. Dann gibt es 2 5 = 32 Möglichkeiten die 5 Karten auf die anderen zwei Mitspieler zu verteilen. Aus Symmetriegründen gibt es also = 93 ungünstige Möglichkeiten. Die drei Möglichkeiten, die subtrahiert werden müssen, ergeben sich aus den dabei doppelt gezählten Situationen, bei denen alle fünf Karten auf einer Hand sind. Es ergib sich: p(a 5 ) = = B Ausspiel beim Solo Dem Solospieler fehlen n Trümpfe. Diese können auf 3 n Arten auf die übrigen Spieler verteilt werden. Dabei sind nur die Verteilungen für den Solospieler günstig, bei denen der höchste Trumpf blank sitzt, dies sei das Ereignis A n. Der höchste Trumpf sei also der einzige Trumpf auf einer Hand. Dann bleiben n 1 Trümpfe auf die beiden anderen Hände zu verteilen. Hierfür gibt es 2 n 1 Möglichkeiten. Diese Zahl muss aus Symmetriegründen mit drei multipliziert werden, denn jeder der drei Spieler kann den höchsten Trumpf halten. Dies ergibt an günstigen Möglichkeiten 3 2 n 1. Die gesuchte WK p(a n ) ist also Für n = 5 ergibt dies beispielsweise p(a n ) = 3 2n 1 3 n p(a 5 ) = =