Kombinatorik BEISPIEL: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES, EINE DREISTELLIGE ZAHL MIT DEN ZIFFERN 3

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1 Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich damit, verschiedene mögliche Auswahlen und Anordnungen von Elementen aus endlichen Mengen zu untersuchen. Insbesondere wird die Anzahl dieser berechnet. BEISPIEL: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES, EINE DREISTELLIGE ZAHL MIT DEN ZIFFERN 3 UND 7 ZU BILDEN? Es gibt verschiedene, diese Aufgabe zu lösen. Erster Lösungsansatz: Aufzählen Insgesamt gibt es also 8, dreistellige Zahlen mit den Ziffern 3 und 7 zu bilden. Diese Methode macht aber natürlich nur Sinn, wenn die Anzahl der Lösungen nicht allzu groß ist. Eine weitere, sehr effiziente Methode besteht darin, dass man das gestellte Problem mithilfe eines Baumdiagramms darstellt. Zweiter Lösungsansatz: Baumdiagramm Erste Ziffer: 3 Erste Ziffer: 7 Zweite Ziffer: 3 Zweite Ziffer: 7 Zweite Ziffer: 3 Zweite Ziffer: 7 Es gibt also (zwei bei jeder Verästelung). Das Baumdiagramm ist ein wichtiges Hilfsmittel, nicht nur in der Kombinatorik! Es stellt Zusammenhänge grafisch übersichtlich dar. Wenn das Diagramm zu groß wird, kann es auch abgekürzt dargestellt werden. Betrachten Sie hierzu die folgende Übung.

2 ÜBUNG: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES, 6 AUTOS AUF 6 FREIE PARKPLÄTZE ZU STELLEN? LÖSUNG: 720 Produktregel Wir haben k Plätze, welche wir besetzen wollen. Für den Platz 1 gibt es n1, für den Platz 2 gibt es n 2 usw., für den Platz k gibt es n k. Es bestehen dann insgesamt n1 n 2 n 3 n k, die k Plätze zu belegen. Variationen mit Wiederholungen Wenn bei k Plätzen für jeden (mit Wiederholung!) n Elemente zur Verfügung k stehen, gibt es gemäß Produktregel n, diese Elemente auf die Plätze zu verteilen. ÜBUNG: EIN VELOZAHLENSCHLOSS IST VIERSTELLIG UND BESTEHT AUS DEN ZIFFERN 1 BIS 6. WIE VIELE KOMBINATIONEN MUSS EIN ALLFÄLLIGER DIEB MAXIMAL AUSPROBIEREN, WENN ER SEINE ZANGE ZUHAUSE VERGESSEN HAT? LÖSUNG: 1296 Variationen ohne Wiederholungen Wir wollen die folgende Grundaufgabe lösen: Es seien n verschiedene Elemente auf k Plätze zu verteilen. Wie viele gibt es?

3 1. Platz 2. Platz 3. Platz k -ter Platz n n 1 n 2 n k 1 Insgesamt gibt es also n ( n 1) ( n 2) ( n 3) ( n k 1). Damit wir das schöner schreiben können, führen wir die folgende Notation ein: Notation: n (gelesen: n Fakultät ). Außerdem gilt, dass 0! 1 ist. Somit können wir den Term n ( n 1) ( n 2) ( n 3) ( n k 1) schreiben als. ( n k)! ÜBUNG: LÖSUNG: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES, 12 PERSONEN AUF 10 VORHANDENE STÜHLE ZU SETZEN? 239' Permutationen Ein Spezialfall von Variationen ohne Wiederholungen ist der Fall n k. Das heißt, es sind n verschiedene Elemente auf n Plätze zu verteilen. Logischerweise gibt es dafür n!. ÜBUNG: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES, 7 AUTOS AUF 7 FREIE PARKPLÄTZE ZU STELLEN? LÖSUNG: Kombinationen (k-elementige Teilmengen)

4 Zu lösen ist die folgende Aufgabe: Gegeben sei eine Menge bestehend aus n Elementen. Wie viele Teilmengen mit k Elementen kann man daraus bilden? Wir lösen diese Aufgabe in zwei Schritten, in welchen wir Resultate der vorhergehenden Aufgabentypen verwenden und dann kombinieren. 1. Schritt: Angenommen, die Reihenfolge innerhalb einer Teilmenge würde eine Rolle spielen, das heißt, dass zum Beispiel 1,3,7 und 3,1,7 zwei verschiedene Mengen wären (was ja nicht so ist!), so gäbe es ( n k)! mögliche Teilmengen (Variationen ohne Wiederholungen). 2. Schritt: Da zum Beispiel 1,3,7 und 1,,7 3 aber nur einmal gezählt werden sollen, haben wir jetzt zu viele erhalten, und zwar genau um den Faktor zu viele wie man die k Elemente in einer solchen Teilmenge anordnen kann, also k! -mal. Das heißt, die Formel aus Schritt 1 muss noch durch k! dividiert werden. Somit erhält man für die Anzahl der k -elementigen Teilmengen aus einer Menge mit n Elementen. k!( n k)! Für diesen Term gibt es eine abkürzende Schreibweise: Notation: k!( n k )! n k (gelesen: n tief k ). n k heißt Binomialkoeffizient. Für Binomialkoeffizienten gelten folgende Regeln: n k n n k n k k n 1 n k 1 1

5 ÜBUNG: WIE VIELE MÖGLICHKEITEN GIBT ES BEIM ZAHLENLOTTO 6 AUS 45? LÖSUNG: 8' Zusammenfassung Reihenfolge Wiederholungen Typ Formel Beispiel wesentlich wesentlich gestattet nicht gestattet Variationen mit Wiederholungen k n Variationen ohne Wiederholungen ( n k)! unwesentlich nicht gestattet Kombinationen n k Zahlenschloss Autos auf Parkplätzen Zahlenlotto Bei Anordnungsaufgaben braucht man Variationen, bei Auswahlaufgaben Kombinationen.