Zusammenfassung Performancegesetze
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- Hannah Siegel
- vor 7 Jahren
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1 Zusammenfassung Performancegesetze Utilization Law Forced Flow Law Service Demand Law Little s Law Response Time Law 0 i i X V X Z X M/ A 0 i i i S X U 0 i i i i X / U S V D X A N
2 Leistungsmodelle System- und Komponentenebene
3 Modell auf Systemebene bestimmen (zeithomogene) Markovkette mit Übergangswahrscheinlichkeiten oder stochastische Prozesse Allgemeine Lösungen mit Hilfe von Übergangswahrscheinlichkeiten Performancemetriken Inhalt
4 Vergleich von Modellen Modelle können in unterschiedlichen Genauigkeitsstufen hergestellt werden Systemebene im Vergleich zur Komponentenebene Durchsatz X 0 (k) [Anfragen/s] Ein Webserver #Anfragen k an das System Systemebene Komponentenebene
5 Modelle auf Systemebene System wird als black box betrachtet Interne Details der Box werden nicht explizit modelliert Nur Ein- und Ausgabemerkmale zählen Eingabe: Eintreffen von Anfragen Ausgabe: Durchsatz
6 Leistungsmodell Beispiel: Webserver
7 Beispiel: Webserver Angabe Situationsbeschreibung Arbeitslast: Ein Webserver erhält 10 Anfragen/s. Maximale Anzahl an Anfragen im Server ist 3. Anfragen, die eintreffen, wenn bereits drei verarbeitet werden, werden abgelehnt. Gemessener Durchsatz Anzahl der Anfragen Durchsatz [Anfragen/s]
8 Beispiel: Webserver Fragen Nun ergeben sich einige Fragen Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine eintreffende Anfrage abgelehnt wird? Frage 2: Wie hoch ist die durchschnittl. Anzahl von Anfragen im Webserver? Frage 3: Wie hoch ist der durchschnittliche Durchsatz des Webservers? Frage 4: Welche durchschnittliche Zeitdauer verbringt eine HTTP Anfrage im Webserver?
9 Beispiel: Webserver Annahmen Beschreibung des Systems durch dessen Zustand z.b.: Zustand k k Anfragen im System (Web Server) Annahmen (für stochastische Prozesse) Homogene Arbeitslast: alle Anfragen sind gleichwertig Markoveigenschaft ( ohne Gedächtnis ): Zustand des Systems zum nächsten Zeitpunkt m+1 hängt nur vom momentanen Zustand (Zeitpunkt m) ab Wie das System diesen Zustand m erreicht hat, ist irrelevant Operatives Gleichgewicht: # Anfragen zu Beginn = # behandelte Anfragen am Ende
10 Beispiel: Webserver Modell Zustand: k Anfragen im Webserver Eintreffen von Anfragen 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s Anfragen / s 15 Anfragen / s 16 Anfragen / s Verarbeitung von Anfragen
11 Beispiel: Webserver Annahme Angenommen, es wäre möglich, Werte für P k = Zeitanteil, in dem sich k Anfragen im Webserver befinden zu finden. Frage: Können nun die vorher gestellten Fragen als Funktion der P K beantwortet werden?
12 Beispiel: Webserver Frage 1 Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine eintreffende Anfrage abgelehnt wird? Antwort: Sie ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Anfrage eintrifft, wenn bereits drei Anfragen behandelt werden = P 3
13 Beispiel: Webserver Frage 2 Frage 2: Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl von Anfragen im Webserver? Antwort: Nach der Definition des Erwartungswertes erhält man n Anfragen = 0 x P x P x P x P 3 mögliche Anzahl an Anfragen im Webserver
14 Beispiel: Webserver Frage 3 Frage 3: Wie hoch ist der durchschnittliche Durchsatz des Webservers? Anwort: Es wird wiederum der Erwartungswert berechnet X = 0 x P x P x P x P 3 Durchsatz in jedem möglichen Zustand
15 Beispiel: Webserver Frage 4 Frage 4: Wie lange ist die durchschnittliche Zeit, die eine HTTP Anfrage im Webserver verbringt? Antwort Es handelt sich um eine Funktion, die von der durchschnittlichen Anzahl an Anfragen n Anfragen und dem durchschnittlichen Durchsatz X abhängt ( Little s Law!). Später wird diese Frage genauer beantwortet!
16 Beispiel: Webserver P K berechnen Das operative Gleichgewicht wird verwendet 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s Anfragen / s 15 Anfragen / s 16 Anfragen / s # Anfragen zu Beginn = # behandelten Anfragen am Ende incoming 12 x P 1 = 10 x P 0 outgoing
17 Beispiel: Webserver P K berechnen Gleichung für Bereich 1 wird aufgestellt 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s Anfragen / s 15 Anfragen / s 16 Anfragen / s #Anfragen zu Beginn = # behandelten Anfragen am Ende incoming 15 x P 2 = 10 x P 1 outgoing
18 Beispiel: Webserver P K berechnen Gleichung für Bereich 2 wird aufgestellt 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s 10 Anfragen / s Anfragen / s 15 Anfragen / s 16 Anfragen / s #Anfragen zu Beginn = # behandelten Anfragen am Ende incoming 16 x P 3 = 10 x P 2 outgoing
19 Beispiel: Webserver P K berechnen Somit erhaltene Gleichungen 12 x P 1 = 10 x P 0 15 x P 2 = 10 x P 1 16 x P 3 = 10 x P 2 P 1 = 10 / 12 x P 0 P 1 = 10 / 12 x P 0 P 2 = 10 / 15 x P 1 P 2 = 10 x 10 / (12 x 15) P 0 P 3 = 10 / 16 x P 2 P 3 = 10 x 10 x 10 / (12 x 15 x 16) P 0
20 Beispiel: Webserver P K berechnen Die Summe der Zeitanteile (Wahrscheinlichkeiten) aller möglichen Zustände ist gleich 1 P 0 + P 1 + P 2 + P 3 = 1 Nun werden die vorher berechneten Werte von P 1, P 2, P 3 in diese Gleichung eingesetzt k P K 0 0, , , ,127
21 Beispiel: Webserver Antworten Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine eintreffende Anfrage abgelehnt wird? Antwort: P 3 = 0,127 Frage 2: Wie hoch ist die durchschnittl. Anzahl von Anfragen im Webserver? Antwort: n Anfragen = 1 x 0, x 0, x 0,127 = 1,092 [Anfragen]
22 Beispiel: Webserver Antworten Frage 3: Wie hoch ist der durchschnittliche Durchsatz des Webservers? Antwort: X = 12 x 0, x 0, x 0,127 = 8,737 [Anfragen pro Sekunde] Frage 4: Wie lange ist die durchschnittliche Zeit, die eine HTTP Anfrage im Webserver verbringt?
23 Beispiel: Web Server Antworten Web Server X = 8,737 N = n Anfragen = 1,092 N A X A =? Bekannt sind N = n Anfragen und X. Daraus folgt A = N / X = 1,092 / 8,737 = 0,125 [Sekunden]
24 Verallgemeinerung des Beispiels Modellierungsvorgang Zustände des Systems festlegen/bestimmen Numerieren der Zustände: Zustandsvektor Übergangsraten festlegen Gleichungen mit Hilfe des operativen Gleichgewichts aufstellen Gleichungssystem lösen: stationäre Verteilung P k Auf Leistungsmetriken schließen
25 Systemmodelle Typen
26 Typen von Systemmodellen Bevölkerungsgröße Unendlich (Internet) oder endlich Servicerate Fix oder variabel Maximale Größe der Warteschlange Unbegrenzt: keine Ablehnung Begrenzt: Verwerfung, wenn bereits W Anfragen in der Warteschlange sind
27 Leistungsmodell Unendliche Bevölkerung
28 (A) Unbegrenzte Warteschlange Unendliche Bevölkerung # der Clients wird als unendlich angenommen Ankunftsrate hängt nicht von der Anzahl der Anfragen im System ab z.b. Anfragen, die vom Internet zu einem öffentlichen Webserver gelangen Birth Ankunftsrate Anfragen/s SERVER Birth-Death Prozess Death ausgeführte Anfragen
29 Unbegrenzte Warteschlange λ λ λ λ λ k μ μ μ μ μ Eingabefluss = Ausgabefluss μ P 1 = μ P 2 = μ P k = λ P 0 λ P 1 λ P k-1 P 1 = λ / μ P 0 P 2 = (λ / μ) 2 P 0 P k = (λ / μ) k P 0 Σ i P i = 1
30 Lösung 0, 1,2,... k k k P P k P j j 0 P k = Zeitanteil, wo sich k Anfragen im Server befinden wobei
31 Beispiel: Unendliche Bevölkerung unbegrenzte Warteschlange Ein DB Server erhält 30 Anfragen pro Sek. Eine Anfrage wird in 0,02 Sek. verarbeitet Zu untersuchen: Wie ist die durchschnittl. Aufenthaltszeit der Anfragen im DB Server? Wie ist die durchschnittliche Antwortzeit bei gegebenem DB Server wenn der Server doppelt so schnell ist wenn der Server doppelt so schnell ist und doppelt soviele Anfragen eintreffen
32 (B) Begrenzte Warteschlange λ λ λ λ W μ μ μ μ Erreichen Anfragen den Server im Zustand W, so werden sie verworfen.
33 Lösung 0, 1,2,..., k k k P P k W 1 W 1 1 W 1 W 1 j j P P k = Zeitanteil, wo sich k Anfragen im Server befinden wobei
34 Beispiel: Unendliche Bevölkerung begrenzte Warteschlange Ein DB Server erhält 30 Anfragen pro Sek. Eine Anfrage wird in 0,02 Sek. verarbeitet Die Warteschlange umfaßt höchstens 4 Anfragen Zu untersuchen: Wie ist die durchschnittl. Aufenthaltszeit der Anfragen im DB Server? Wie ist die durchschnittliche Antwortzeit im gegebenen DB Server wenn der Server doppelt so schnell ist wenn der Server doppelt so schnell ist und doppelt so viele Anfragen kommen
35 Verallgemeinerung (variable Service-/Ankunftsrate) λ 0 λ 1 λ 2 λ μ 1 μ 2 μ 3 μ 4 Wieder mithilfe des operativen Gleichgewichts Eingabefluss = Ausgabefluss gelöst
36 Lösung der Verallgemeinerung P k = Zeitanteil, wo sich k Anfragen im Server befinden wobei k 1 P j k j0 j1 P 0 k1 P k1 j0 j1 j 0 1
37 Lösung der Verallgemeinerung 0 1 U P Serverauslastung: 1 k k k X P ø Durchsatz: 1 1 k k k k k k P N A X P ø Anzahl an Anfragen im Server: 1 k k N k P ø Aufenthaltszeit im Server:
38 Variable Servicerate Der Durchsatz hängt von der Anzahl an zu bearbeitenden Anfragen ab Durchsatz Lineare Steigung Saturierung Geringe Arbeitslast (kein Stau ) Hohe Arbeitslast Anfragen im System
39 Beispiel Angabe: Ein Webserver erhält 30 Anfragen pro Sek. Die Warteschlange ist mit 5 Anfragen begrenzt Der Durchsatz ist gegeben durch: Fragen: #Anfragen Durchsatz [Anfragen/Sek.] oder mehr 50 Wie hoch ist die Auslastung? Der ø Durchsatz? Die ø Anzahl an Anfragen? Die ø Antwortzeit? Der Anteil an abgelehnten Anfragen?
40 Resultate Lösungsformeln der Verallgemeinerung (variable Servicerate Menasce, S. 337) Bei der Berechnung von P 0 wird eine endliche Summe berechnet (max. Warteschlange = 5) Durchschnittliche Anzahl an Anfragen 1,85 Server Auslastung (1 P 0 ) x 100 = 82,7% Durchschnittlicher Durchsatz 28,4 Anfragen pro Sekunde Anteil an verworfenen Anfragen P 5 = 0,05343 Aus Little s Law erhält man ø Antwortzeit = ø Anzahl an Anfragen / ø Durchsatz = 1,85 / 28,4 = 0,065 Sekunden
41 Variation der Warteschlangengröße Ziel: Wie verhalten sich die Parameter, wenn man die Größe der Warteschlange verändert? Max. Warteschlangengröße Durchschnittliche Anzahl an Anfragen 1,433 1,85 2,212 2,264 Server Auslastung 79,81% 82,7% 83,9% 83,96% Durchschnittl.Durchsatz (Anfragen/s) 24,8 28,4 29,9 30 Anteil an verworfenen Anfragen 0, , ,0039 0,0003 Durchschnittliche Antwortzeit (s) 0,058 0,065 0,074 0,075
42 Variation der Warteschlangengröße Wie verhält sich der Anteil verworfener Anfragen in Bezug auf die Warteschlangengröße? Anteil verworfener Anfragen 0,2 0,15 0,1 0,05 Warteschlangengröße
43 Leistungsmodell Endliche Bevölkerung
44 Endliche Bevölkerung Anzahl der Clients ist beschränkt Die Ankunftsrate der Anfragen ist daher von der Anzahl der bereits angekommenen Anfragen abhängig z.b.: Intranet Webserver mit einer bekannten Anzahl an Clients
45 Endliche Bevölkerung Endliche Bevölkerung 1 2 SERVER Verarbeitete Anfragen M Mehr später
46 Zusammenfassung Arten von Modellen auf Systemebene Bevölkerung Service-/Ankrate Warteschlange unendlich fix unbegrenzt unendlich fix begrenzt unendlich variabel unbegrenzt unendlich variabel begrenzt endlich fix unbegr./ begrenzt endlich variabel unbegr./ begrenzt
47 Zusammenfassung Modelle auf Systemebene fassen einen Server/Netzwerk als eine black box auf. Nur die Ankunftsrate und der Durchsatz dieser black box sind relevant. Verwendung von Übergangswahrscheinlichkeiten für die Berechnung des Zeitanteils, in welchem sich genau k Anfragen im System befinden. Man setzt Eingabefluss = Ausgabefluss (operatives Gleichgewicht). Die Aufenthaltszeit/Antwortzeit läßt sich mithilfe von Little s Law berechnen. SysMod.xls von
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