Dämpfung in der Quantenmechanik: Quanten-Langevin-Gleichung Seminar Quantenoptik und nichtlineare Optik Vortrag von Christian Cop
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- Siegfried Bachmeier
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1 Dämpfung in der Quantenmechanik: Quanten-Langevin-Gleichung Seminar Quantenoptik und nichtlineare Optik Vortrag von Christian Cop 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 1
2 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 2
3 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 3
4 Klassische Langevin-Gleichung Gleichung zur Beschreibung der Brownschen Molekularbewegung (aus: Wikipedia: 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 4
5 Klassische Langevin-Gleichung Langevin-Gleichung für ein Teilchen der Masse m und der Geschwindigkeit v: geschwindigkeitsabhängige Dämpfung γ, fluktuierende Kraft F (stochastisch) Mittelwert <F>=0, kurze Korrelationszeiten 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 5
6 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 6
7 Grundlagen der Quantenmechanik physikalisch messbare Größen: Erwartungswerte von Observablen Zustände sind zeitabhängig -> Schrödinger-Gleichung Operatoren sind zeitabhängig -> Heisenberg-Gleichung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 7
8 Grundlagen der Quantenmechanik Zeitentwicklung des Erwartungswertes a) im Schrödinger-Bild b) im Heisenberg-Bild Beschreibung der Dämpfung in der Quantenmechanik im Heisenberg-Bild => Quanten-Langevin-Gleichung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 8
9 Grundlagen der Quantenmechanik Ort und Impuls nicht gleichzeitig messbar Harmonischer Oszillator Erzeugungs- und Vernichtungsoperator 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 9
10 Grundlagen der Quantenmechanik Kommutatorrelation Transformierter Hamiltonoperator Teilchenzahloperator 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 10
11 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 11
12 Gedämpfter Hohlraumresonator Spiegel Spiegel 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 12
13 Gedämpfter Hohlraumresonator Spiegel Kopplung von innerem und äußerem elektrischen Feld abhängig von Transmissions- und Reflektionseigenschaften des Spiegels Transmissions- und Reflektionskoeffizienten sind frequenzabhängig -> beschrieben durch Kopplung W Δ 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 13
14 Gedämpfter Hohlraumresonator Hamilton-Operator Hamilton-Operator in Rotating Wave Approximation (RWA) mit 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 14
15 Gedämpfter Hohlraumresonator Heisenberg-Gleichungen mit, 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 15
16 Gedämpfter Hohlraumresonator Lösung der Differentialgleichung für b: Einsetzen in Differentialgleichung für a: mit 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 16
17 Markov-Näherung Funktion K ist Fourier transformierte von W Δ Näherung: schwache Variation von W Δ 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 17
18 Markov-Näherung Markov-Näherung: Variablentransformation K nun um den Ursprung zentriert, t-> 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 18
19 Markov-Näherung Integration über halbe Delta-Funktion nicht definiert Funktion wird in den Integrationsbereich geschoben 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 19
20 Gedämpfter Hohlraumresonator Quanten-Langevin-Gleichung mit Quanten-Langevin-Kraft Lösung für a 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 20
21 Gedämpfter Hohlraumresonator Kommutator-Relation bleibt erhalten 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 21 00
22 Gedämpfter Hohlraumresonator Zeitentwicklung der mittleren Photonenzahl der Resonator- Mode Beispiel: Zustand des Reservoirs im thermodynam. Gleichgewicht mittlere Photonenzahl einer einzelnen Mode der Frequenz Δ im thermodynam. Gleichgewicht 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 22
23 Gedämpfter Hohlraumresonator mittlere Photonenzahl der Resonator-Mode 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 23
24 Quantenregressionstheorem in Experiment oft notwendig, Mehrzeiten-Zeitenkorrelationsfkt. zu messen, z.b. Intensitätsspektrum 2-Zeiten-Korrelationsfkt. des Hohlraumresonators Ziel: Bewegungsgleichungen für diese Korrelations-Fkt. ableiten 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 24
25 Quantenregressionstheorem hinterer Term verschwindet 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 25
26 Quantenregressionstheorem Bewegungsgleichung hat nun gleiche Form wie Quanten- Langevin-Gleichung: => Quantenregressionstheorem für einen Hohlraumresonator 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 26
27 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 27
28 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 28
29 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld Hamilton-Operator in Dipolwechselwirkung Dipoloperatoren Kopplung W Δ hier durch Rabi-Frequenz 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 29
30 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld Rabi-Frequenz nicht durch Laser getrieben! Unendlich viele Moden im thermischen Feld, die (schwach) an das Atom koppeln Hamiltonoperator im Wechselwirkungsbild und RWA 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 30
31 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld Heisenberg-Gleichungen mit, 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 31
32 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld analog zum Hohlraumresonator, Lösung für b bestimmen: einsetzen in Heisenberg-Gleichungen 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 32
33 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld Ziel: Berechnung der Erwartungswerte Problem: unbekannt Ansatz: Integration analog für 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 33
34 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld Iteration der allgemeinen Gleichung Dekorrelationsnäherung Umgebung im thermodynamischen Gleichgewicht 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 34
35 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld man erhält Zerfallsrate des Dipolmoments des Atoms erhöht um den Faktor 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 35
36 Zwei-Niveau-Atom im thermischen Feld kein Dipolmoment für stationäre Lösung Besetzungsinversion für stationäre Lösung Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustands Für T=0 K keine Besetzung, für sehr hohe Temperaturen maximal eine Besetzung von ½ möglich 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 36
37 Emissions-Spektrum des Zwei-Niveau-Atoms im thermischen Feld Thermisches Feld erzeugt Dipolstrahlung des Atoms (aus: Massachusetts Institute of Technology: 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 37
38 Emissions-Spektrum des Zwei-Niveau-Atoms im thermischen Feld Elektrisches Feld der Dipolstrahlung Gemessene Intensität am Detektor gegeben durch Mehrzeitenkorrelationsfunktion der elektrischen Felder 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 38
39 Emissions-Spektrum des Zwei-Niveau-Atoms im thermischen Feld Intensitätsspektrum in Abhängigkeit der Verstimmung Δ Zwischenergebnis 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 39
40 Emissions-Spektrum des Zwei-Niveau-Atoms im thermischen Feld Normiertes Resonanzfluoreszenzspektrum Für T=0 natürliche Linienbreite des Atoms, für größere T Linien- Verbreiterung und Abnahme des Intensitätsmaximums 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 40
41 Inhalt 1. Klassische Langevin-Gleichung 2. Grundlagen der Quantenmechanik 3. Dämpfung in der Quantenmechanik 3.1 Hohlraumresonator 3.2 Zwei-Niveau-Atom 4. Zusammenfassung 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 41
42 Zusammenfassung Klassische Langevin-Gleichung -> Differentialgleichung mit Dämpfungs- und Fluktuationsterm Quantenmechanik im Heisenberg-Bild Beschreibung des Hohlraumresonators im Heisenberg-Bild -> Quanten-Langevin-Gleichung Quantenregressionstheorem Beschreibung des Zwei-Niveau-Atoms im Heisenberg-Bild -> Emissions-Spektrum im thermischen Feld 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 42
43 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 43
44 Literatur/Quellen Titelbild: Physical Review Focus S. Barnett, P. Radmore, Methods in Theoretical Quantum Optics, Claredon Press, Oxford (1997) R. Loudon, The quantum theory of light, Claredon Press, Oxford (1985) Vorlesung Prof. Dr. Walser, Theoretische Quantenoptik, TU Darmstadt (2010) 2. Februar 2011 Prof. Dr. Halfmann, Prof. Dr. Walser Quantenoptik und nichtlineare Optik Christian Cop 44
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