X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

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1 Hamiltonian des freien em. Feldes 1 X. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 1. Hamiltonian des freien elektromagnetischen Feldes Elektromagnetische Feldenergie (klassisch): Modenentwicklung (Moden ):! Analog zur Lasertheorie kann das Feld in Moden entwickelt werden. sind dann die zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten. Moden können in Wellenleiter oder Resonatorgeometrie bestimmt werden. " Im freien Raum sind die Hier wird ein einfaches Bsp. berechnet: durch ebene Wellen # $ ) &(' gegeben. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1/14

2 Hamiltonian des freien em. Feldes 2 Eindimensionaler Resonator (Amplitude) (Moden) (Eigenfrequenz) Heuristische Quantisierung: mit Bosonvertauschungsregel: ) in z polarsiert: für eine Mode ( Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2/14

3 Hamiltonian des freien em. Feldes 3 in den eindimensionalen ( B findet man so, weil Maxwellgleichungen erfüllt sein muß.) Einsetzen der Felder in den Hamiltonian: Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.3/14

4 Hamiltonian des freien em. Feldes 4 Der Hamiltonian einer Lichtmode entspricht dem eines harmonischen Oszillators mit den Erzeugern und Vernichtern und der Quantisierungsenergie. Sprechweise: erzeugt ein Photon in der Mode, vernichtet ein Photon in der Mode. erfüllen als Photonoperatoren bosonischen Vertauschungsregeln. ist der Anzahloperator für die Photonzahl in der quantisierten Mode. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.4/14

5 Schrödingergleichung für das em. Feld 5 2. Quantenzustände des Strahlungsfelds im freien Raum 2.1 Schrödingergleichung für das em. Feld erzeugt ein Photon, vernichtet ein Photon in der vorgegebenen Mode. stationäre Schrödingergleichung: -Eigenenergien, -Eigenfunktionen : sind zu bestimmen. Lsg. erfolgt analog zum harmonischen Oszillator der Quantenmechanik (ohne Beweis), dortige Ergebnisse sind: a) Energie: n: Anzahl der Photonen, die in Mode vorhanden sind. b) Eigenfunktion: #, c) beschreibt einen Zustand mit n Photonen in der betrachteten Mode. Photonzahloperator (unterstrichen) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.5/14

6 Erwartungswert und Schwankung 6 d) Allg. Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung n Photonen vorzufinden. 2.2 Erwartungswert und Schwankung falls Feld in Zustand, so gilt für das Feld : ebenso für die Photonzahl : beschreibt das mittlere Meßergebnis und dessen statistischen Schwankung um den Mittelwert die Ergebnisse sind abhängig vom Zustand Strahlungsfeld befindet., in dem sich das Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.6/14

7 Der Photonzahlzustand Der Photonzahlzustand Zustand mit n Photonen. ein solcher Zustand entsteht bei der spontanen Emission (Übergang eines Atoms von angelegten in den Grundzustand Photonen werden emittiert.) Experiment: Zeitpunkt und Energie der Emission ist statistische Grösse im quantenmechanischen Sinn. n 2> n=3 gesucht: 1> Mittelwert: n Photonen sind Mittel im Zustand. Photonzahlzustand: Schwankung um den Mittelwert von n Photonen verschwindet. Es liegen genau n Photonen vor. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.7/14

8 # # Der Photonzahlzustand 8 mit orthogonal. Photonzahlzustand: =0, (überraschend), aber Energie Bei einer Messung verschwindet der Mittelwert des Felds. Ebenso die Erwartungswert von usw. (Interpretation unten) Intensität berechnen mit Offensichtlich verschwindet das Feldmittel, nicht das Intensitätsmittel (Meßgröße!). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.8/14

9 Der Photonzahlzustand 9 klassisches Analogon: Feld mit statistisch verteilten Phasen (QM-Simulation mit klassischem Analogon) wird emittiert Phasenmittel: Statistisch verteilte Phase mitteln Feld zu null, aber die Intensität ist ungleich null. Quantenmech. Analogie: Wenn die Photonzahl (Intensität) genau bestimmt ist, so ist die Phase unbestimmt. Es existiert eine Unschärfe zwischen beiden (analog Ort/Impuls). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.9/14

10 Der kohärente Zustand Der kohärente Zustand (ÜA) Quantenmechanik: Eine allg. Lsg. der Schrödingergleichung kann durch Superposition von Photonenzahlzustände aufgebaut werden: wählen # Dieser Zustand heißt kohärenter Zustand, da er einen endlichen Erwartungswert des Felds mit definierter Phase erzeugt. a) Kohärente Zustände beschreiben Laserfelder weit oberhalb der Schwelle, ebenso Felder, die von klassischer Quelle abgestrahlt werden. # Es gilt: Frequenz der betrachteten Mode. ist Eigenfunktion des Vernichtungsoperators. ist aber kein hermitischer Operator (ohne Beweis). bei Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.10/14

11 Der kohärente Zustand 11 Berechnung des E-Felds eines kohärenten Zustands: Das ist eine Feldmode mit Amplitude. Die Feldstärke eines kohärenten Zustands hat also einen endlichen Erwartungswert. Bedeutung von? Intensität des Felds Klassisch erwartetes Ergebnis: Intensität ist proportional zur Photonenzahl. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.11/14

12 # Der kohärente Zustand 12 b) Aber auch der kohährente Zustand unterliegt Quantenrauschen: ist die Wahrscheinlichkeit, ein Zustand mit n Photonen zu messen. In einer Messung werden Photoelektronen detektiert. Diese Photoelektronen unterliegen der obigen (Poisson- ) Statistik: läßt auf die Statistik der Photonen zurück schließen. C n 2 thermisches Licht (Lampe) feste Photonzahl gemessene Verteilung der Photoelektron n Photonen für gilt Je höher n, desto besser ist klassische Näherung! Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.12/14

13 Der kohärente Zustand 13 c) Ein kohärenter Zustand wird von ein klass. Strom erzeugt (Rechtfertigung für klassische E-Dynamik). zugehörige Lagrangefunktion ww ww freie Anteil em.felds quantisiertem em. Feld (siehe: beschreibt die Wechselwirkung zw. klass. Strom ), und denn Bei einer Messung (Photodetektor) wird Eigenzustand von mit : gemessen üa Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.13/14