Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder Supersymmetrie

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1 Alexander Hock Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder Supersymmetrie Datum des Vortrags: Betreuer: Prof. Dr. J. Heitger Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Deutschland

2 Inhaltsverzeichnis Alexander Hock Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Formalismus der Supersymmetrie Erzueuger- und Vernichteroperator SUSY-Oszillator Superpotential Anwendung in der Quantenmechanik Harmonischer Oszillator Kastenpotential Pöschl-Teller-Potential Zusammenfassung 7 5 Literaturverzeichnis 8 Supersymmetrie

3 1 Einleitung Alexander Hock 1 Einleitung Die Supersymmetrie (SUSY) ist, wie der Name schon sagt, eine erweiterte Symmetrie, welchen Fermionen und Bosonen mit einander in Verbindung setzt. Das Standardmodell der Elementarteilchen ist aus Fermionen (Quarks und Leptonen) und Bosonen (Kraftteilchen) aufgebaut. Mit dem Operator Q kann man in der Supersymmetrie von einem fermionischen zu einem bosonischen Zustand gelangen. Fu r das Standardmodell bedeutet das, dass jedes Elementarteilen einen supersymmetrischen Partner besitzt. Abbildung 1.1: Standardmodell der Elementarteilchen mit den theoretischen supersymmetrischen Teilchen [2] In Abb. 1.1 ist ein U berblick u ber das erweiterte Standardmodell mit den SUSYTeilchen. Bislang konnten jedoch noch keine SUSY-Teilchen experimentell nachgewiesen werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass diese nicht existieren ko nnen. Vergleicht man das Verhalten der Wechselwirkungsenergien (schwache, starke und elektromagnetische Wechselwirkung) im Standardmodell und im SUSY-Modell, so kann auch hier ein Unterschied festgestellt werden. Im SUSY-Modell kann eine Vereinigung der Wechselwirkungen fu r sehr hohe Energien erreicht werden (Vgl. Abb. 1.2). Somit wa re ein Beweis der SUSY ein Schritt in eine vereinheitliche Theorie, welche alle Wechselwirkungen mit einen in Verbindung setzen kann. Der Formalismus der SUSY wird jedoch jetzt schon in unterschiedlichen Bereichen verwendet wie z.b. der Quantenmechanik. Supersymmetrie 1

4 2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock Abbildung 1.2: Wechselwirkungen im Standardmodell und im SUSY-Modell bei hohen Energien [3] 2 Formalismus der Supersymmetrie 2.1 Erzueuger- und Vernichteroperator Die supersymmetrischen Leiteroperatoren Q ± sind aus den bosonischen b ± und den fermionischen f ± Leiteroperatoren aufgebaut Q ± = b f ±. (2.1) Der Zustand wird ebenfalls aus diesen zusammengesetzt und es werden bosonischen und fermionischer Zustand definiert mit Boson = n B, n F = 0 und Fermion = n B, n F = 1. (2.2) Die Transformation von einem bosonischen zu einem fermionischen Zustand und umgekehrt geschieht mit den supersymmetrischen Leiteroperatoren Q + Boson Fermion, Q Fermion Boson. (2.3) Bei einer solchen Transformation soll die Energie des Systems erhalten bleiben, also kommutieren die supersymmetrischen Operatoren Q ± mit dem supersymmetrischen Hamiltonoperator H S und sind somit gleichzeitig diagonalisierbar. Die einfachste Lösung hierfür ist H S = {Q +, Q } = Q + Q + Q Q +. (2.4) Supersymmetrie 2

5 2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock 2.2 SUSY-Oszillator Der SUSY-Oszillator ist aus dem bosonischen (harmonischer) Oszillator und dem fermionischen Oszillator aufgebaut. Der fermionische Oszillator unterscheidet nur zwischen zwei Zustände (spin up, spin down), wodurch die fermionischen Leiteroperatoren in Form einer 2x2-Matrix geschrieben werden können f + = ( ), f = ( ) 0 1. (2.5) 0 0 Für den bosonischen Oszillator erhält man die bekannten Lösungen des harmonischen Oszillators mit den Leiteroperatoren ( mω b ± = ˆQ i ) 2 h mω ˆP (2.6) mit dem Orts- und Impulsoperator, ˆQ und ˆP. Hieraus werden nun mit 2.1 die supersymmetrischen Operatoren gebildet, wobei der Faktor hω hinzugefügt wurde. Den supersymmetrischen Hamiltonoperator erhält man dann in Matrixdarstellung aus 2.1 ( b H S = hω + b ) 0 0 b + b = hω {b, b + }1 hω 2 [b, b + ]σ 3, (2.7) wobei {a, b} = ab + ba der Antikommutator, [a, b] = ab ba der Kommutator und σ 3 die dritte Paulimatrix ist. Aus 2.7 erkennt man, dass jeder Zustand zweifach entartet ist und nur der Grundzustand nicht. Wie schon erwähnt kann man bei gleicher Energie zwischen den Zuständen mit den supersymmetrischen Operatoren wechseln. In Abb.2.1 ist das Ergebnis schematischen gut dargestellt. Abbildung 2.1: SUSY-Oszillator [1] 2.3 Superpotential Mit Hilfe des Superpotentials W erhält man die nicht-lineare SUSY. Die Einheit des Superpotentials ist [Energie] 1/2, wodurch es nicht als eine Art potentielle Energie ange- Supersymmetrie 3

6 2 Formalismus der Supersymmetrie Alexander Hock sehen werden darf. Aus der linearen Abhängigkeit der Operatoren b ± von ˆQ wird nun durch das Superpotential eine nicht-lineare Abhängigkeit mit B ± = 1 ( W ( ˆQ) i ) ˆP. (2.8) 2 m Den harmonischen Oszillator ergibt sich wieder aus W ( ˆQ) = mω ˆQ. Mit den Beziehungen {B, B + } = W 2 + ˆP 2 2m und [B, B + ] = h dw m d ˆQ erhält man den SUSY- Hamiltonoperator aus 2.4 H S = 1 2 ( ˆP 2 m + W 2 ) 1 h 2 dw m d ˆQ σ 3. (2.9) Die Form des Superpotentials muss gewissen Eigenschaften erfüllen, welchen in Abb.2.2 zusehen sind. Abbildung 2.2: Eigenschaften des Superpotentials bei exakter und gebrochener SUSY [1] Es gibt drei unterschiedliche Fälle für das Superpotential. Bei exakter SUSY unterscheidet man zwischen dem fermionischen und dem bosonischen Grundzustand. Bei gebrochener SUSY gibt es keinen Grundzustand, alle weiteren Zustände sind jedoch weiter zweifach entartet. Supersymmetrie 4

7 3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock 3 Anwendung in der Quantenmechanik Als nächstes wollen wir den Formalismus der SUSY auf die Quantenmechanik anwenden. Dazu werden wir nicht mehr zwischen bosonischem und fermionischem Zustand unterscheiden. Stattdessen gibt es zwei Hamiltonoperatoren H 1 und H 2 die mit einander korrespondieren, wie zuvor die Bosonen mit den Fermionen. Also erhält man aus 2.9 den SUSY-Hamiltonoperator ( ) H1 0 H S = (3.1) 0 H 2 mit den jeweiligen Potentialen V 1 = 1 ( W 2 2 ( W 2 + V 2 = 1 2 h ) W m (3.2) h ) W. (3.3) m Es wird nur die exakte SUSY betrachtet bei der der Grundzustand von E 0 = 0 das Potential V 1 besitzt. Der Zusammenhang des Grundzustands ψ 0 und des Superpotentials lässt sich aus H 1 ψ 0 = 0 bestimmen mit W = h m d dx ln ψ 0. (3.4) Abbildung 3.1: Quantenmechanische SUSY mit h = m = 1 [1] Supersymmetrie 5

8 3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock Abb. 3.1 zeigt noch einmal die Zusammenhänge der SUSY übertragen auf die Quantenmechanik. Es stellt sich somit heraus, dass die vollständige Kenntnis über das Potential V 1 ebenfalls eine vollständige Lösung für das Partnerpotential V 2 liefert. 3.1 Harmonischer Oszillator Das Superpotential des harmonischen Oszillator war woraus sich die Potentiale ergeben W = mωx, (3.5) V 1 = mω2 2 x2 hω 2 (3.6) V 2 = mω2 2 x2 + hω 2. (3.7) Bei dem harmonischen Oszillator ist das Partnerpotential ebenfalls ein harmonischer Oszillator, welcher um hω nach oben verschoben ist. Alle Energien und Eigenzustände sind somit identisch und ebenfalls um eine Energiestufe verschoben. 3.2 Kastenpotential Das Kastenpotential hat die Form { 0, für 0 x L V 1 =, sonst (3.8) Die Lösungen des Kastenpotential sind bekannterweise ψ (1) n = 2 (n + 1)πx sin L L mit n = 0, 1,... (3.9) Aus dem Grundzustand erhält man das Superpotential W = hπ ml cot πx L. (3.10) Mit Hilfe dieser Kenntnis lässt sich das Partnerpotential mit 3.3 bestimmen ( ) V 2 = h2 π 2 2 2mL 2 sin 2 πx 1 L (3.11) und somit vollständig aus den Zuständen von V 1 lösen mit ψ (2) n = 1 En+1 B ψ (1) n+1. (3.12) Supersymmetrie 6

9 3 Anwendung in der Quantenmechanik Alexander Hock Das Ergebnisse dieser Rechnungen sind in Abb.3.2 dargestellt. Abbildung 3.2: Kastenpotential und Partnerpotential für den Fall L = π [1] 3.3 Pöschl-Teller-Potential Zuletzt noch ein Beispiel etwas anderer Art. Das Superpotential sei mit W = A tanh αx (3.13) gewählt. Für den Spezialfall, dass A = hα m ist erhält man die Potentiale V 1 = h2 α 2 ( ) 2 2m cosh 2 (3.14) αx V 2 = h2 α 2 = const. (3.15) 2m Da das Potential V 1 einen gebundenen Zustand mehr besitzen muss und V 2 ein freies Teilchen dargestellt, hat V 1 nur einen gebunden Zustand. Dieser lässt sich durch Umstellen von 3.4 berechnen ψ 0 = α 2 1 cosh αx. (3.16) Zusätzlich gilt, dass das Betragsquadrat der Reflexions- und Transmissionskoeffizienten bei der SUSY bei beiden Potential gleich ist, also R 1 2 = R 2 2. In diesem Fall bedeutet es, dass V 1 ein reflexionsloses Potential ist. Das liegt daran, dass das Partnerpotential V 2 ein freies Teilchen darstellt und somit hierbei keine Reflexionen besitzt. Alle gestreuten Eigenzustände von V 1 passieren das Potential ohne Reflexion, obwohl dieses Potential nicht konstant ist. Supersymmetrie 7

10 4 Zusammenfassung Alexander Hock 4 Zusammenfassung Mit der SUSY wurde eine neue Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen erstellt, welche jedoch noch nicht bewiesen ist. Zur Zeit ist man noch auf der Suche nach SUSY- Teilchen. Jedoch der Formalismus der SUSY kann in anderen Bereichen der Physik Anwendung finden, wie z.b. der Quantenmechanik. Es können neue Potentiale gelöst werden vgl. Partnerpotential vom Kastenpotential. Obwohl die SUSY ein rein theoretische Überlegung ist, verdient sie doch große Zuwendung. Supersymmetrie 8

11 5 Literaturverzeichnis Alexander Hock 5 Literaturverzeichnis [1] (Vgl.) Kalka, Soff: Supersymmetrie,, Teubner, Stuttgart 1997 [2] , 17:30 [3] P. Kettmann, Einführung in die Supersymmetrie, Seminarausarbeitung, 26. März 2011 Supersymmetrie 9