Theoretical Biophysics - Quantum Theory and Molecular Dynamics. 4. Vorlesung. Pawel Romanczuk WS 2016/17

Transkript

1 Theoretical Biophysics - Quantum Theory and Molecular Dynamics 4. Vorlesung Pawel Romanczuk WS 2016/17

2 Zusammenfassung letzte VL Orts- und Impulsdarstellung Gaussches Wellenpacket Unendl. Potentialtopf Lösungen in 1d und 2d, und Anwendung

3 Der quantenmechanische harmonische Oszillator

4 Erinnerung: klassicher harm. Oszillator Rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung Periodische Schwingung als Lösung: Mit der Energie: alle Energien erlaubt

5 Der quantenmechanische harmonische Oszillator Zur Lösung der obigen Gleichung untersuchen wir zuerst das Verhalten für Mit dem Ansatz:

6 Der quantenmechanische harmonische Oszillator Einsetzen liefert: Mit fällt jeweils der erste Term auf beiden Seiten weg. Wir erhalten wir die Differentialgleichung:

7 Potenzreihenansatz Daraus erhalten wir die Differentialgleichung: Die Potenzreihe auf der linken Seite wird nur Null wenn die Klammer für alle Potenzen gleich Null wird. Also folgt:

8 Bedingung für Normierung Die Potenzreihe für f(x) muss abbrechen, da sonst die Gesamtwellenfunktion nicht normierbar ist. Falls sie nicht abbricht erhalten wir für Und für gerade und ungerade j: Für grosse wird die Funktion von hohen Potenzen dominiert: Divergiert!

9 Energie-Eigenwerte Die Potenzreihe bricht an der Stelle j=n wenn folgende Gleichung erfüllt ist: Mit erhalten wir die Energie-Eigenwerte des Harmonischen Oszillators: Insbesondere ist die Grundzustandsenergie:

10 Hermite sche Polynome Die H.P. sind Lösungen der folgenden Differentialgleichung: Vergleich mit führt auf:

11 Wellenfunktionen Wir erhalten für die Wellenfunktion zu den Energieeigenwerten als: Für die Hermite Polynome gilt: Somit gilt: Vollständiger, orthonormaler Satz von Eigenfunktionen

12 Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten

13 Harmonischer Oszillator Ein alternativer Lösungsweg Mit Impulsoperator: Die Grundidee ist den Ausdruck in Klammern zu faktorisieren. Für Zahlen (nicht Operatoren!) wäre das einfach: Operatoren lassen sich nicht so einfach vertauschen, da im allgemeinen: Wir wollen uns dennoch die folgenden Operatoren genauer ansehen:

14 Harmonischer Oszillator Ein alternativer Lösungsweg Mit dem Kommutator: erhalten wir: Kanonische Vertauschungsrelation

15 Harmonischer Oszillator Ein alternativer Lösungsweg Für die Vertauschung gilt: Desweiteren gilt: Somit können wir die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator wie folgt schreiben:

16 Auf- und Absteigeoperatoren Es gilt: Somit können wir aus einer bekannten Lösung direkt Lösungen nächst höherer und niedriger Energie erzeugen! : Leiteroperatoren bzw. Auf- und Absteigeoperatoren:

17 Grundzustand Aus der Bedingung können wir die Grundzustandsfunktion bestimmen über die Lösung der DGL: Die Lösung lautet: Normierung: ergibt

18 Erlaubte Energien und allg. Lösung Einsetzen in die Schrödinger Gleichung: Liefert mit die Grundzustandsenergie: Von hier aus können wir über den Aufsteigeoperator alle angeregten Zustände und ihre Energien berechnen: Hermite sche Polynome

19 Molekülschwingungen : reduzierte Masse : molekulare Federkonstante : molekulares Bindungspotential : Gleichgewichtsabstand Auswahlregel für Schwingungsübergänge: (kommt später) Einsetzen von realistischen Werten ergibt Energiedifferenzen im Infrarotbereich.

20 Molekülschwingungen Molekülpotetial ist im allgemeinen nicht symmetrisch: Stärkere Abstossung bei kleinen Abständen Schwächere Anziehung bei großen Abständen bis hin zur Dissoziation harmonischer Oszillator nur eine gute Näherung für niedrige Zustände. Korrektur für anharmonische Potentiale: - Anharmonizitätskonstante ( )

21 Gebundene Zustände Klassische Umkehrpunkte

22 Streuzustände Klassische Umkehrpunkte

23 Streuzustände

24 Auch Streuzustand? Klassische Umkehrpunkte

25 Klassifikation der QM-Zustände Allgemein: Praktische Konvention (meistens erfüllt): Gebundene Zustände entsprechen negativer Gesamtenergie E und Streuzustände positiver Gesamtenergie E.