Wir haben gesehen, dass wir den Wirkungsquerschnitt als eine Summe über Partialwellen. l=0

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1 Vorlesung 11 Streuung bei nieigen Energien Wir haben gesehen, dass wir den Wirkungsquerschnitt als eine Summe über Partialwellen darstellen können σ = 4π k l + 1 sin δ l. 1 l= Allerdings hat diese Reihe unendlich viele Terme und die Streuphasen sind nicht bekannt. Das bedeutet, dass diese Darstellung nicht sehr praktisch ist. Es gibt aber ein wichtiger Fall die Streuung bei nieigen Energien wo wir nur eine kleine Zahl von Termen in Gl. 1 brauchen. Um das zu bestätigen, gehen wir zurück zur Schrödingergleichung und versuchen, eine exakte Darstellung für die Streuphasen zu erreichen. Wir schreiben die Wellenfunktionen als ψ r = Y lm θ, φu l r/r und bekommen für den Radialteil die Schrödingergleichung [ ll + 1 d u l r + r + mv r ] u l r = k u l r, Die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen lautet [ ] d f l r ll r f l r = k f l r, Wir betrachten jetzt eine Funktion W l r = df lr k = me. k = me. 3 u l r f l r du lr, 4 leiten nach r ab, benutzen die Schrödingergleichungen für f l r und u l r und bekommen dw l r Dann finden wir durch Integrieren W l r = W l m = m V ru lrf l r. 5 r u l rf l rv r. 6 Was ist W l? Für Potentiale V r, die bei r kleiner sind als das Zentrifugalpotential 1/r, kann man V r in diesem Limes vernachlässigen, sodass die reguläre Lösung der zwei Schrödingergleichungen Gl. und 3 bei r identisch sind. Das bedeutet, dass dann W l = ist. Als zweiten Punkt wollen wir r betrachten. Dann sind die Lösungen u l = sin kr lπ + δ l, f l = sin kr lπ. 7 1

2 Wir berechnen lim W df l r lr = lim u l r f l r du lr r r = k cos kr lπ sin kr lπ + δ l k sin kr lπ cos kr lπ + δ l 8 D.h. = k sin δ l sin δ l = m k u l r f l r V r. 9 Wir wollen diese exakte Formel analysieren und zwar im Fall großer l-werte. Das effektive Potential in der Schrödingergleichung hat die Form V eff r = ll + 1 r + mv r. 1 Wir stellen uns vor, dass V r eine endliche Reichweite R hat, sodass V r für r > R. Wenn l größer wird, verschiebt sich das klassisch erlaubte Bewegungsgebiet nach rechts, bis es schließlich außerhalb des r-intervalls liegt, in dem V r wichtig ist. Dies bedeutet, dass, wenn l zunimmt, das Potential V r unwichtiger wird. Also folgt, dass die Streuphasen δ l für große l kleiner sind. Wir können abschätzen für welche l-werte diese Situation eintritt. Als ersten Schritt berechnen wir den Wendepunkt r l der klassischen Bewegung des freien Teilchens dies entspricht dem kleinsten Abstand des Teilchens zum Ursprung ll + 1 mr l = E ll + 1 = k r l. 11 Es gilt dann, für r l R, ll + 1 mr E, ll + 1 kr l kr. 1 Falls diese Bedingung erfüllt ist, ist δ l klein und wir können die exakte Lösung der Schrödingergleichung u l r durch die freie Lösung f l r in Gl. 9 ersetzen. Wir erhalten δ l = m k V rf l r. 13 Wie groß dieses Integral ist, können wir abschätzen. Für das Integral brauchen wir wegen der endlichen Reichweite nur das Intervall < r < R und wir betrachten die l-werte, die R r l erfüllen. Dann können wir die Gleichung für f l r so schreiben d f l r + k r l r 1 f l r =. 14

3 Da wir uns für Werte von r interessieren, wo r l /r 1 ist, können wir die obige Gleichung vereinfachen d f l r + k r l r f lr =. 15 Diese Gleichung können wir jetzt ohne Probleme lösen. Als Ansatz nehmen wir f l r = r ν und bekommen ν1 ν + ll + 1 =, ν = l + 1 oder l. 16 Wir suchen eine bei r = reguläre Lösung, d.h. es bleibt nur 1 Damit schätzen wir dann die Phase ab durch δ l m R kr l+ V r = m f l r kr l dξ R krξ l+ V ξr kr l+1, 18 wobei wir angenommen haben, dass m/ V ξr 1/R skaliert basierend auf Dimensionsanalyse. D.h. δ l kr l+1, 19 und, weil kr 1 ist, nimmt δ l mit wachsendem l ab. Es ist offensichtlich, dass sich alle diese Näherungen für kleine Energien verbessern die Bedingung l kr ist für alle l-werte im Limes k erfüllt. Im Extremfall k ist nur der Term mit l = S-Welle wichtig. Dann Wir definieren die Streulänge durch Der Wirkungsquerschnitt ist dann σ k 4π k sin δ. e iδ sin δ lim k k = a. 1 lim σ = k 4πa. Wie groß oder klein kann die Streulänge sein? Um das zu bestimmen, schauen wir uns ein Beispiel an die Streuung an einen Potentialtopf. Wir interessieren uns nur für nieige Energien und betrachten S-Wellen. Das Potential ist V r = V θr r. 3 1 Den Vorfaktor k L führen wir ein, weil für unsere Normierung f l r einheitenlos sein soll. 3

4 Die Schrödingergleichung lautet dann d f r = k f r, r > R, d f r = k + mv f r, r < R. 4 Die zwei Lösungen sind wobei f r = A sinkr + δ θr R + B sinκr θr r, 5 κ = Die Stetigkeit von f r und df r/ bei r = R ergibt k + mv. 6 tankr + δ tanκr = k κ. 7 Die Gleichung 7 ist gültig für alle k-werte. Wir lösen die Gleichung nach δ und bekommen k δ = kr + atan κ tanκr. 8 Im k Limit bekommen wir κ = κ. Falls tanκ R nicht zu groß ist, bekommen wir δ = k R + tanκ R 9 κ Falls der Potentialtopf flach ist, also κ R 1 gilt, erhalten wir δ = k D.h. der Wirkungsquerschnitt lautet 1 3 κ R 3, a = κ R σ = 4πa = 4π κ4 R6 9 = 4π 4m V 9 4 R Weil κ R 1 ist, ist der Wirkungsquerschnitt σ κ R 4 R, d.h. κ R 4 -mal kleiner als der natürliche Wert σ R. Es gibt aber auch einen anderen Fall und zwar wenn tanκ R = ist. In diesem Fall können wir obige Näherungen nicht rechtfertigen und wir müssen unsere Vorgehensweise ändern. Wir schauen uns Gl. 8 an und stellen fest, dass im Limes k, wenn tan κ R 1 ist, wir den Term kr vernachlässigen können. Dann gilt Wir benutzen tanx x + x 3 /3 + Ox 5. tan δ = k tan κr 3 κ 4

5 und wir schreiben Der Wirkungsquerschnitt ist dann sin δ = tan δ 1 + tan δ = k γ + k, γ = κ tanκr. 33 σ = 4π γ + k. 34 Weil γ 1/ tanκ R 1 ist, ist der Wirkungsquerschnitt bei kleinen Energien sehr groß. In diesem Fall spricht man von Resonanzstreuung. Was bedeutet das physikalisch? Um das zu verstehen, gehen wir zurück zur Schrödingergleichung und schreiben die Gleichung für einen gebundenen S-Zustand mit der Energie E = k /m. Wir finden die zwei Lösungen ur > R = A 1 e kr, ur < R = A sin κr, 35 wobei κ = mv/ k ist. Die Forderung der Stetigkeit bei r = R ergibt tan κr κ = 1 k. 36 Wir sehen jetzt, dass k = gerade tanκ R = entspricht; k = bedeutet aber, dass es einen gebundenen Zustand mit Energie Null gibt. Ein großer Wirkungsquerschnitt bei kleinen Energien oder eine große Streulänge ist ein Signal dafür, dass so ein Zustand existiert. 5