Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Maxwell-Verteilung: (30 Punkte, schriftlich)

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS 06 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 4 PD Dr. B. arozhny, P. Schad Lösungsvorschlag. Maxwell-Verteilung: 30 Punkte, schriftlich Zu Berechnen ist die -Teilchen-Verteilungsfunktion ρ x, p. Die Gesamtenergie des idealen Gases setzt sich zusammen aus den kinetischen Beiträgen der Teilchen und hängt nicht von den Koordinaten ab: H[{p n }, {x n }] = n p n m. Als Erstes führen wir die Integrale im Ortsraum aus und separieren den Impuls p : ρ x, p = C 0 d 3 p n d 3 p n x n δ m E n= n= [ ] = C 0 V d 3 p n p n δ m E p m Wir führen neue Variablen p n ein, p n = n= n= p n Q0, mit Q 0 = E p m, und erhalten durch Substitution Q 0 aus δ-funktion ρ x, p = C 0 V Q 3 0 n= d 3 p n δ n= p n m. 3 Gesucht ist die -Teilchen-Verteilungsfunktion als Funktion von x und p, die Konstante ist hier nicht wichtig. Der wesentliche Schritt ist jetzt, zu erkennen, dass das Integral in Gl. 3 von p unabhängig ist und deshalb in den Vorfaktor absorbiert werden kann. Wir ersetzen wieder Q 0 und erhalten ρ x, p = C E p, 4 m mit einer neuen Konstanten C 0 = C 0 V n= d 3 p n δ n= p n m.

2 Aus Gl. 4 erhalten wir die -Teilchen-Impulsverteilung f p : 3 5 fp = d 3 x ρ x, p = C 0 E p = C 0 E 3 5 m p me 3 5 Wir ersetzen E = ɛ und benutzen die im Hinweis angegebene äherung für, 3 5 p exp 3p. 6 m ɛ 4m ɛ Beim idealen Gas ist die Energie pro Teilchen ɛ = 3k B T/. Wir fassen alle Vorfaktoren zu einer neuen Konstanten B zusammen und erhalten die Maxwell-Verteilung für den Impuls p fp = B exp p. 7 mk B T Die Konstante B ist B = πmk B T 3/, sie kann aus der ormierung der Verteilung bestimmt werden.. Dichtematrix für den Spin-/: 5+0+5=0 Punkte, schriftlich 5 a Für reine Zustände erfüllt die Dichtematrix ˆρ = ˆρ. 8 Wir drücken das Quadrat mit dem Polarisationsvektor und den Pauli-Matrizen ˆσ = ˆσ x, ˆσ y, ˆσ z aus und formen um: ˆρ = 4 + Pˆσ + Pˆσ = + P + Pˆσ = ˆρ + P, 4 4 Gl. 8 ist also genau dann erfüllt, wenn P =. Also ist der Spin im Fall P = in einem reinen Zustand. Die Dichtematrix eines reinen Zustands kann durch die Wellenfunktion ausgedrückt werden: ρ σσ = Ψ σ Ψ σ, mit Indizes σ, σ =,. Die allgemeine Wellenfunktion des Spins-/ ist cos θ/ Ψ = e iφ. sin θ/ Wir zeigen noch, dass ΨΨ in der Form + Pˆσ/ geschrieben werden kann: cos θ/ cos ΨΨ = θ/ e e iφ sin θ/ iφ sin θ/ cos = θ e iφ sin θ cos θ e iφ sin θ cos θ sin θ = + cos θ sin θcos φ i sin φ sin θcos φ + i sin φ cos θ = [ + cos θ ˆσ z + sin θ cos φ ˆσ x + sin θ sin φ ˆσ y ] = + Pˆσ, 9 wobei P = sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ; P =.

3 b Die reduzierte Dichtematrix des ersten Spin-/-Teilchens ist ˆρ = Tr ˆρ = s z s z ˆρ s z 0 Die volle Dichtematrix ist gegeben durch ˆρ = S, S z S, S z. Damit wir die Spur über das zweite Spin-/-Teilchen ausführen können, schreiben wir die vier Quantenzustände S, S z in der Einteilchenbasis s z s z :, =,, 0 = +, =, 0, 0 =. Wir führen für jeden der vier Quantenzustände die Spur in 0 aus und erhalten die reduzierte Dichtematrix in der Basis, 0 ˆρ S =, S z = = = ˆσ z, 0 0 ˆρ S =, S z = = = 0 ˆσ z, 3 ˆρ S =, S z = 0 = ˆρ S = 0, S z = 0 = In den Zuständen, ± ist ˆρ = ˆρ erfüllt, Teilchen befindet sich also in einem reinen Zustand. Der Polarisationsvektor ist P = 0, 0, ±. In den anderen beiden Zuständen mit S z = 0 ist Teilchen in einem gemischten Zustand und P = 0. Dass sich Teilchen in den gemeinsamen Zuständen, ± in einem reinen Zustand befindet sieht man auch daran, dass die gemeinsamen Zustände Produktzustände sind, siehe G.. c Die Von-eumann-Entropie S[ˆρ ] = k B Trˆρ ˆρ des Teilchens können wir mit den Gleichungen, 3, 4 und 5 ausrechnen. Der Matrixlogarithmus ist als Inverse des Matrixexponentials definiert, d.h. die Matrix L = ρ können wir aus ρ = exp L bestimmen. Die Matrizen oben sind alle diagonal, wir können deshalb die Diagonaleigenschaft e diagx,...,x n = diag e x,..., e xn des Matrixexponentials ausnutzen. Die verschwindenden Diagonaleinträge, z.b. ˆρ in, regularisieren wir mit endlichem ɛ, z.b. 0 0 ɛ für, und sehen dann, dass Beiträge der Form ɛ ɛ zur Spur im Grenzfall ɛ 0 verschwinden. Wir finden S[ˆρ S =, S z = ±] = 0, S[ˆρ S = 0, S z = 0] = k B. 3. Mikrokanonisches Ensemble für das ideale Boltzmann-Gas: = 50 Punkte, mündlich

4 a Im mikrokanonischen Ensemble ist die innere Energie festgelegt: U E. Wir beginnen mit dem in Aufgabe und der Vorlesung angegebenen Ausdruck für die mikrokanonische Verteilungsfunktion ρ[{x n }, {p n }] = {, ΣE E E < H[{x n}, {p n }] < E + E 0, sonst. 6 Hier ist ΣE die D -dimensionale Oberfläche konstanter Energie E = H[{x n }, {p n }] = p n n= einer D-dimensionalen Kugel im Phasenraum. Für m einen expliziten Ausdruck der Verteilungsfunktion müssen wir ΣE berechnen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, entweder die Oberfläche direkt zu berechnen oder das Volumen ΩE und daraus mit ΣE = dωe die Oberfläche wurde in der de Vorlesung diskutiert. Hier betrachten wir das Volumen ΩE einer D-dimensionalen Kugel im Phasenraum: ΩE = d D p n d D x n! π Θ p n D m E. 7 n= Der Faktor /! berücksichtigt die Ununterscheidbarkeit der Teilchen. Die Energie hängt nicht von den Ortskoordinaten ab, wir können deshalb die Integrationen im Ortsraum direkt ausführen und erhalten einen Faktor V. Für die verbleibende Integration über eine D-dimensionale Kugel im Impulssraum benutzen wir Kugelkoordinaten, die radiale Koordinate ist p = i= p i. ΩE = V!π D n= p d D p Θ m E Der Radius der Kugel ist me, was man auch aus der Θ-Funktion in 7 ablesen kann. Das Volumen V D einer D-dimensionalen Kugel im Impulsraum kann man entweder selbst ausrechnen oder nachschlagen, in jedem Fall ist V D R = π D R D Γ D + = π D R D 8 9 D Γ D, wobei Γx die Eulersche Gammafunktion ist. Das Integral in 8 ist also p d D p Θ m E = d D p Θ p me = D π me D D Γ D + und wir erhalten ΩE = V D me! D Γ D π und daraus V D me ΣE =! Γ D π E. Damit ist die mikrokanonische Verteilung 6 vollständig bestimmt. 0

5 b Hier soll die Entropie SE, V, berechnet werden, aus S = k B ρ. Dazu verwenden wir die Gleichungen 6 und. S = k B ΣE E D = k B! Γ + k BD me π + k B V k B E E. 3 Wir interessieren uns nur für die führenden Terme im thermodynamischen Grenzfall. Der Logarithmus kann mit der Stirlingformel! und dem Hinweis auf dem Blatt, Γm m m m vereinfacht werden. Damit erhalten wir S = D D k B + + D + D me π + V = D mee π D + V e = mee π D D V e, 4 mit der Eulerschen Zahl e. Wie erwartet ist die Entropie 4 bei gegebener Konzentration /V und gegebener Energie pro Teilchen E/ proportional zur Anzahl der Teilchen. Anmerkung: der Logarithmus eines dimensionsbehafteten Arguments, z.b. V, ist als V/V 0 mit einer beliebigen ormierung V 0 zu verstehen. Wegen der Additivität des Logarithmus kann man jederzeit alle Terme wieder zusammenfassen, dann kürzen sich alle ormierungskonstanten und das Argument ist dimensionslos, wie man im letzten Ausdruck in 4 nachprüfen kann. Deshalb lassen wir die ormierungen hier einfach weg. c Zunächst erinnern wir uns an das totale Differential der inneren Energie oder, als Differential der Entropie, de = T ds pdv + µd, 5 ds = T de + pdv µd. 6 Wir können also T, p und µ aus dem Ergebnis 4 über die Ableitungen bestimmen und finden T = E k B D, p = k BT V µ = E D me Dk B π D + V µ = T k B D mt k B π + V d Wir ersetzen E mit der passenden Formel oben E Entropie als Funktion der Temperatur: ST, V, = Dk B mk BT e π S E,V,... E = D k BT, 7, p = E V D, 8, D + k B V e = k B = k BT und erhalten die mkb T e π D V e 3

6 Für D = 3 entspricht dieses Ergebnis dem Ergebnis aus Aufgabe auf Blatt Ideales Boltzmanngas, bis auf die Abhängigkeit von der Anzahl der Teilchen wurde konstant angenommen. Die Entropie 3 ist nicht mit dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik vereinbar, sie verschiwndet nicht für T 0. Für mittlere Teilchenabstände V/ /D von der Ordnung der thermischen Wellenlänge λ T π /k B mt wird der Ausdruck 3 sogar negativ. Hier manifestiert sich, dass die klassische Beschreibung der Zustände über Orte x n und Impulse p n bei kleinen Temperaturen nicht mehr anwendbar ist. Die Summe über alle Zustände ist nicht wie in 7 durch ein Integral über alle Orte und Impulse gegeben, stattdessen müsste korrekterweise über alle Quantenzustände summiert werden.