Theorie der Kondensierten Materie I WS 2018/ Hartree-Fock Näherung als Variationsproblem: (50 Punkte)

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1 Karlsruhe Institute for Technology Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theorie der Kondensierten Materie I WS 8/9 Prof Dr A Shnirman Blatt 9 PD Dr B Narozhny, MSc T Ludwig Lösungsvorschlag Hartree-Fock Näherung als ariationsproblem: (5 Punkte Wir betrachten N wechselwirkende Elektronen im Potential U ( (r, dass von Ionen (zb in einer Molekül oder in Metall erzeugt ist Der Hamilton- Operator lautet Ĥ = d 3 r m ˆΨ σ(r ˆΨ σ (r + ˆΨ σ(ru ( (r ˆΨ σ (r σ + σ,σ d 3 r d 3 r ˆΨ σ (r ˆΨ σ (r U ( (r r ˆΨ σ (r ˆΨ σ (r Die Coulombabstoßung ist gegeben durch U ( (r r = e / r r (a (5 Punkte Als ariationsansatz für die Mehrteilchenwellenfunktion Φ nehmen wir die Slater-Determinante konstruiert aus N unbekannten - Teilchen-Wellenfunktionen (Orbitalen φ n (r (n =,, N Jedes Orbital taucht zweimal in Φ auf: einmal mit Spin rauf und einmal mit Spin runter Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie E[Φ] Φ H Φ Benutzen die die Methode der zweiten Quantisierung Hinweis: Die Feldoperatoren ˆΨ σ (r lassen sich in jeder vollständigen -Teilchen-Basis entwickeln, zb, ˆΨ(x = n φ n(xĉ n (die Spin-Indizes sowohl in der Koordinate x als auch in der Quantenzahl n enthalten Hier ĉ n ist der ernichtungsoperator Der Feldoperator lautet ˆΨ σ (r = n,σ φ n(rĉ n,σ (wir nehmen an die Wellenfunktionen sind spinunabhängig Für n =,, N nehmen wir die Zustände φ n (r aus unserer Slater-Determinante Für n > N nehmen wir alle anderen -Teilchen-Zustände, sodass die Basis volständig ist (die werden keine Rolle spielen Wir setzten das Feld ˆΨ σ (r in den Hamilton-Operator ein Das ergibt Ĥ = ĉ n,σĉ n,σ d 3 r φ n(r m + U ( (r φ n (r n,σ + ĉ n,σ ĉ n,σ ĉ m,σ ĉ m,σ n,n,m,m,σ,σ d 3 r d 3 r φ n (r φ n (r U ( (r r φ m (r φ m (r Für die Erwartungswerte erhalten wir Φ ĉ n,σĉ n,σ Φ = falls n N sonst

2 Φ ĉ n,σ ĉ n,σ ĉ m,σ ĉ m,σ Φ = δ n,m δ n,m δ n,m δ n,m δ σ,σ (für n N und n N, sonst Das ergibt Φ Ĥ Φ = d 3 r φ n(r m + U ( (r φ n (r n N,σ + d 3 r d 3 r φ n (r φ n (r U ( (r r φ n (r φ n (r n N,n N,σ,σ n N,n N,σ d 3 r d 3 r φ n (r φ n (r U ( (r r φ n (r φ n (r ( (b ( Punkte Im ariationsverfahren minimieren wir die Energie E[Φ] unter oraussetzung, dass die Orbitale φ n (r normiert sind Dafür brauchen wir die Lagrange-Multiplikatoren E n Das relevante Funktional lautet Ẽ[Φ] = Φ H Φ N E n φ n φ n ariieren Sie dieses Funktional und leiten Sie die folgenden Hartree- Fock-Gleichungen für die Orbitale φ n (r her: E n φ n (r = m + U ( (r φ n (r + d 3 r φ n (r U ( (r rφ n (rφ n (r n,σ n n= d 3 r φ n (r U ( (r rφ n (r φ n (r Beobachten Sie, dass E n die Rolle der Einteilchen-Energie übernimmt Folgt direkt aus Eq (c (5 PunkteBetrachten Sie jetzt das Jellium-Modell eines Metalls, sodas U ( (r = d 3 e r n i (r Hier ist n r r i die Dichte der Ionen (n i ist r- unabhängig innerhalb des olumens Zeigen Sie, dass der Hartree- Beitrag und der U ( -Beitrag sich gegenseitig kürzen, wenn die Elektron- Dichte n e gleich der Ion-Dichte ist, n e = n i Zeigen Sie, dass die ebene Wellen ϕ p (r = exp [i p r] eine Lösung der Hartree-Fock-Gleichungen für das Jellium-Modell ergeben Berechnen Sie die Energie E p (inklusive Fock-Energie angenommen alle Zustände mit p < p F besetzt sind und alle anderen sind leer E n φ n (r = m φ n(r n N d 3 r φ n (r U ( (r rφ n (r φ n (r

3 Wir probieren die ebenen Wellen Das ergibt E q e iqr = q m eiqr = q m eiqr φ n = φ q (r = e iqr ( q, q <q F Also die ebenen Wellen sind Lösungen und E q = q m d 3 r e iq r U ( (r re iqr e iq r q, q <q F U ( (q qe iqr (3 q, q <q F U ( (q q = q m q <q F d 3 q (π 3 4πe q q (4 Hartree-Fock Näherung in Graphen: (5 Punkte Wir wiederholen die obere Aufgabe für den Fall des Graphens Eine Besonderheit dabei ist es, dass zusätzlich zu den Ort- und Spin-Koordinaten, eine Subgitter- Koordinate α = A, B nötig ist Dann ist der Feldoperator ein -Spinor im A, B-Raum, ˆΨ α,σ (r Der Hamilton-Operator lautet Ĥ = { d r ˆΨ α,σ(rh α,β ˆΨβ,σ (r + ˆΨ α,σ(ru ( (rδ α,β ˆΨβ,σ (r σ,α,β + σ,σ,α,α d r d r ˆΨ α,σ (r ˆΨ α,σ (r e r r ˆΨ α,σ (r ˆΨ α,σ (r Das Potential U ( (r ist wieder das Jellium-Potential von Ionen Die Matrix h α,β ist der Hamilton-Operator in Graphen in der Nähe des Dirac-Punktes: ( px + ip ĥ = v y p x ip y Dieses erhalten ist korrekt für Impulse p < Λ, wobei Λ ein cut-off Impuls ist Das Energie-Spektrum ist dann linear E p = ±v p Einfachheitshalber betrachten wir nur ein Tal (alley (a ( Punkte Leiten Sie die Hartree-Fock-Gleichungen her Die Wellen-Funktionen haben zusätslich zu r eine neue Koordinate α = A, B: φ n (r, α Der Feldoperator lautet ˆΨ α,σ (r = n,σ φ n(r, αĉ n,σ Wir erhalten E n φ n,α (r = ĥ α,β φ n (r, β + U ( (rφ n (r, α β + d 3 r φ n (r, α U ( (r rφ n (r, αφ n (r, α n,σ n α d 3 r φ n (r, α U ( (r rφ n (r, α φ n (r, α α

4 Der U ( -Term und der Hartree-Beitrag kürzen sich und wir haben E n φ n (r, α = ĥ α,β φ n (r, β β d 3 r φ n (r, α U ( (r rφ n (r, α φ n (r, α n α (b ( Punkte Zeigen Sie, dass die Eigenzustände des Operators ĥ eine Lösing der Hartree-Fock-Gleichungen ergeben Benutzen Sie die folgende Darstellung: ( e iθ p ĥ = vp, e iθp wobei cos θ p = p x p, sin θ p = p y p, p p Genauer ( X ĥ Y Die Eigenzustände von ĥ lauten e ipr = e ipr vp ( e iθ p e iθp ( X Y φ p,b (r, α = C p,b (α eipr = ( be iθ p e ipr, (5 oder C p,b (A = be iθp / C p,b (B = / (6 Hier b = ± ist der Band-Index Die Eigenenergie lautet bvp Die Quantenzahl n wird zu n p, b Wir erhalten E p,b φ p,b (r, α = ĥ α,β φ p,b (r, α β d 3 r φ p,b (r, α U ( (r rφ p,b (r, α φ p,b (r, α p,b α Wir behandeln erst die ebenen Wellen eipr : E p,b C p,b (α = bvp C p,b (α U ( (p p Cp,b (α C p,b (α C p,b (α α p,b Wir definieren q p p und erhalten E p,b C p,b (α = bvp C p,b (α U ( (q Cp+q,b (α C p,b (α C p+q,b (α (7 α q,b

5 <latexit sha_base64="n5epdpy7prdp4ijmmijnnhxfzfs=">aaacgxicbzfnaxsxeibltt9s9ytpj7iloxylyheivob3mekdhfqlmznbwfjuizlmaz/6lx9n/3tegjlahrc8vpmmm6mpaqmdzdmfqxjw7/6dh4epho+fph3/oj4xuwogq9wrcpt+ascahrtceyadf7hsewbi+l5edn/nkfpujkfanjbmfudolkdr+t7kfspedmxpuqzudyh3xdikkjfpp8qdkrfknrufkqagtkdwut+bjk4pdudybablmomksgcwq97i3f8txrmvkx8fi54796tamggslzfjc3qiuzmnub/cpogyg95q3dedp6hsdkekb/bnm+rklhacrroctxc/cgkp7sudr8osprwcauutqjijvpcgsrttudnlr+ykkbzfvn7xlfx5uawl65lbmeoegr7mu8f3gssjint7iulk5hirulraxraxueq/akvwzvmwdvrn7ws7zmcnme/i/odpj3szac3kdjyfvzkvtyce/o7bfgq==</latexit> <latexit 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Symmetrie-Gründen fällt sin θ aus und wir bleiben mit F p (α, α = const b ( e U ( iθ p (q cos θ ( e iθp q,b Denn F p (α, α ĥ der Spinor C p,b (α ist eine Lösung der Gl 8 Damit haben wir das erforderte bewiesen (c ( Punkte Nehmen Sie an, dass das untere Band besetzt wobei das obere band leer ist Zeigen Sie, dass sich die folgende elektronische Energie mit der Fock-Korrektur ergibt E p = ±v(p p, v(p = v ( + e 4 v ln Λ p

6 Aus Gl 8 und Gl folgt E p,b = bvp bb q,b U ( (q cos θ (3 In unserer Konstruktion können wir nur die Energien der besetzten Zustände berechnen Dann b = b = Wir erhalten E p, = vp U ( (q cos θ (4 Es ist jetzt bequemer zurük zu p und p zu übergehen Dann gilt E p, = vp U ( (p p cos θ (5 p Wir benutzen Dann gilt wobei U ( (p p = q πe p p = πe p + p pp cos θ E p, = vp( + A(p, (6 A(p U ( (p vp p cos θ (7 p Jetzt die Renormierung der Geschwindigkeit (Λ /a ist ein cut-off Impuls, a ist die Gitterkonstante: A(p = e vp Λ p dp π Führen wir die dimensionslose ariable ein: Dann A(p = e v Λ/p xdx dθ cos θ π p + p pp cos θ x = p p π dθ cos θ π + x x cos θ Entwickeln wir den Integrand: x : + x x cos θ + x cos θ + O(x x Für kleine x konvergiert das Integral x : + x x cos θ x x + cos θ + O(x 3 x Dann: A(p e v Λ/p dx π dθ π ( cos θ + cos θ e x 4v ln Λ p