Exakte Diagonalisierung

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1 Exakte Diagonalisierung Jürgen König, S. Weiß, Ph. Stegmann, Computerübung Abgabe & Testat am Montags Uhr 50% nötig, um zur Prüfung zugelassen zu werden

2 C1 -- Vorbemerkungen zur Übung Vielteilchenphysik, Computer-Übung 1, WS 013/14 J. König, S. Weiß, S. Rojek, Ph. Stegmann Aufgabe C1: Exakte Diagonalisierung Abgabe & Testat: Betrachten Sie erneut das Zwei Teilchen Problem aus Aufgabe 3. Zusätzlich zum Kastenpotential wechselwirken die Teilchen. Wir addieren einen Coulomb Term zum Hamiltonian. Der Gesamthamiltonian ist damit gegeben als H = p 1 m + p m + V (x 1)+V (x )+ mit dem konstanten Potential im Kasten 0, 0 xi a V (x i )=, sonst, λ x 1 x. wobei λ eine Kopplungskonstante bezeichnet, welche dielektrische Konstanten und Elementarladung zusammenfasst.

3 Motivation Elektronen in Potentialen Quantenpunkte, Quantendrähte stark korrelierte Systeme reines Elektronen-System Coulomb-Wechselwirkung effektiv steuerbar Spin-Bahn-Wechselwirkung steuerbar Anwendungen in Spin-Elektronik, Qubit-Systeme... Vielteilchen-Hamiltonian, hier 1. Quantisierung N p H = i + V (x i ) + 1 λ m i x i x j i=1 i=j

4 Beispiel - Zwei Teilchen, parabolisches Potential H = i=1, p i m + mω 0x i + λ x 1 x. Relativ- & Schwerpunktskoordinaten r = x 1 x p = 1 (p 1 p ) R = 1 (x 1 + x ) P = p 1 + p, H = H c.m. + H rel = P M + Mω 0R + p µ + µω 0r + λ r Lösung der Schrödinger-Gleichung in Radial- & Winkel-Variablen n! r nm = π(n + M)! eimφ r M L M n (r )e r / µ = m M =m

5 Relativbewegung Problem abgebildet auf Einteilchen Probleme Schwerpunktsbewegung entkoppelt Lösung E nc,m c =n c + M c +1 Es bleibt zu diagonalisieren H rel = p µ + µω 0r + λ r Benötige zwei Quantenzahlen, siehe SP-Bewegung ( räumliche Dimensionen) + n r M r H rel n rm r =(n r + M r + 1)δ nr,n r n r! n r! (n r + M r )!(n r + M r )! 0 drr Mr L M r n r (r)l M r n (r)e r λ r r

6 Coulomb-Matrix-Elemente n r M r H coul n rm r = n r! n r! (n r + M r )!(n r + M r )! 0 drr Mr L M r n r (r)l M r n (r)e r λ r r Integriere numerisch Gauss-Laguerre Quadratur Formel Konvergenz, je größer Kopplung, desto mehr Zustände werden gebraucht Drehimpulserhaltung, Hamiltonian ist diagonal in M r n r n r große Matrix schnelle Algorithmen zum diagonalisieren λ 10 problemlos möglich, Wigner-Kristall?! Damit Beachte Symmetrie der Zustände, Fermionen haben anti-symm. Wellenfunktion Codierung steckt in n r und n c

7 Spektrum effektiver Bohr Radius proportional λ Energie steigt als Funktion der Kopplung Teilchen stoßen sich mehr ab Symmetrie des Zustandes durch Haupt-QZ festgelegt Für große Quantenzahlen aufwendig O O lol a 10 I 1 1 l 4 [Ol g" B 10 U. Merkt, et. al, Phys. Rev B 43, 730

8 Wellenfunktionen Numerische Diagonalisierung gibt Eigenwerte Eigenvektoren Basiswechselmatrix φ ± int,m (x) = n c mn φ ± n (x). Damit folgt Wellenfunktion des wechselwirkenden Systems Teilchendichte n(x) = φ ± int

9 Konkret -- Übungsaufgabe Gehen Sie zur Berechnung des Spektrums und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der zwei Teilchen wie folgt vor (a) Schreiben Sie den Hamiltonian einheitenlos. Welche Einheit hat λ? Wiegroßist der Hilbertraum? (b) Stellen Sie den Hamiltonian für Bosonen und Fermionen in einer geeigneten Basis als n n- Matrix dar. (c) Berechnen Sie die Matrixelemente, falls nötig, numerisch in mathematica mit NIntegrate[] (d) Diagonalisieren Sie den Hamiltonian numerisch und stellen Sie das Spektrum als Funktion von λ dar. Wie erkennen Sie, dass die Ergebnisse konvergiert sind? (e) Berechnen Sie Eigenfunktionen des wechselwirkenden Systems (Bosonen/Fermionen). Entwickeln Sie hierzu nach den Zwei Teilchen Wellenfunktionen des freien Systems φ ± n (x), φ ± int,m (x) = n c mn φ ± n (x). (f) Stellen Sie den Einfluss der Kopplungsstärke λ auf die Teilchendichte graphisch dar. n ± m(x) = φ ± int,m (g) Wie kann die Methode auf Mehr Teilchensysteme verallgemeinert werden? Welche Problematik kann sich ergeben?

10 Konkret -- Übungsaufgabe V (x i )= 0, 0 xi a, sonst Einteilchen-Problem ist gelöst, siehe Aufgabe 3 Geeignte Einheiten für Längen und Energie?? Relativ- & Schwerpunkts-Hamiltonian aufschreiben Relativ-Hamiltonian diagonalisieren, Matrix-Elemente mit mathematica Spektrum & Eigenvektoren Koeffizienten c mn kann man aus Eigenvektormatrix ablesen Teilchen-Dichte