Spektraltheorie. 2. Übungsblatt - Lösungsvorschläge. (Elementare Aussagen über Spektrum & Resolventenfunktion)

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1 4.4.8 PD Dr. Peer Kunstmann M.Sc. Michael Ullmann Spektraltheorie. Übungsblatt - Lösungsvorschläge Aufgabe Elementare Aussagen über Spektrum & Resolventenfunktion Seien X, X, Y, Y Banachräume und S, T LX zwei Operatoren. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: i Ist J : Y X ein stetiger Isomorphismus und definieren wir den Operator T : J T J LY, dann gilt: σ T σt. ii Sind Skalare λ, µ C gegeben und definieren wir den Operator B : λid X + µt LX, so gilt: iii Es gilt die allgemeine Resolventengleichung: σb λ + µσt : {λ + µ z : z σt }. Rλ, S Rλ, T Rλ, S S T Rλ, T für alle λ ρs ρt. iv Ist λ C mit λ > δ T LX für ein δ >, so gilt: λrλ, T LX < δ δ. Lösung von Aufgabe i Sei λ C. Dann gilt die Äquivalenz: λ ρt λid X T ist bijektiv J λid X T ist bijektiv J λid X T J ist bijektiv λ T ist bijektiv λ ρ T, ii Sei λ C. Fall.: µ. Dann ist B λid X. Es gilt: λid X B σt σ T. λ λ Id X ist invertierbar λ λ. Also ist ρb C\{λ} und damit auch σb λ + σt. Fall.: µ. Es gilt: λ ρb λid X B λ λid X + µt ist invertierbar [ ] λ λ µ µ µ T ist invertierbar da µ λ λ µ T ist invertierbar

2 λ λ ρt µ λ λ + µρt, iii Es gilt für alle λ ρt ρs: σb λ + µσt. Rλ, S Rλ, T Rλ, S Id X λid X S Rλ, T Rλ, S λid X T λid X S Rλ, T Rλ, SS T Rλ, T. iv Sei λ C mit λ > δ T LX, damit ist insbesondere λ ρt, da δ > ist. Nach der Vorlesung gilt durch die Potenzreihendarstellung der Resolventenfunktion: λrλ, T λ n T n. Damit gilt laut der Dreiecks-Ungleichung und der geometrischen Reihenformel: λrλ, T LX < n λ n T n Lx n n n δ δ δ. δ T LX n T n LX n δ Aufgabe Multiplikationsoperatoren Seien R d, X : C b, C : {f : C f stetig und beschränkt auf }, X : C, m X. Definiere die Abbildung: M m : X X, f m f. Zeigen Sie, dass M m wohl-definiert, M m LX mit M m LX m X ist. Geben Sie das Spektrum σ M m und die Resolventenfunktion R λ, M m für λ ρ M m an. Seien, A, µ ein σ-endlicher Maßraum, m: C eine µ-messbare Funktion, sowie p. Definiere die Abbildung: M m f : m f für Funktionen f : C. Zeigen Sie zuerst, dass M m L L p, µ m L, µ. In diesem Falle ist M m LLp,µ m L,µ. Geben Sie anschließend das Spektrum σ M m an. 3 Sei X : l Z, C mit X l Z. Definiere den Operator T : X X, u u n u n + u n+. Zeigen Sie, dass T wohl-definiert, T LX ist und bestimmen Sie das Spektrum σt. Hinweis: Nutzen Sie den isometrischen Isomorphismus l Z, C L,, C und Aufgabe i mit Aufgabe.

3 Lösung von Aufgabe M m wohl-definiert: Für f X ist M m f m f X, da das Produkt zweier stetiger und beschränkten Funktionen erneut stetig und beschränkt ist. M m linear: Klar, da das Produkt linear ist. M m stetig: Weiter gilt offensichtlich die Abschätzung: M m f X sup z mzfz sup z mz sup fz m X f X z für alle f X, M m LX m X. Für die andere Richtung setze f χ, dann ist f X mit f und X Damit gilt: M m f sup X z mzχ z sup mz m X. z M m LX m X. σ M m m: : Sei λ C\m. Dadurch ist z λ mz X und nach dem oberen Teil ist für alle f X mit Damit folgt: λ ρ M m mit R λ f : λ m f M λ m f X bzw.r λ LX λid X M m R λ R λ λid X M m Id X. R λ, M m f R λ f f, f X. λ m : Sei nun λ m. Dann gibt es ein z mit λm z. Demnach ist λid X M m f z λf z m z f z für alle f X, range λid X M m {g X : g z } X. Also ist λid X M m nicht surjektiv, λ σ M m. Aus der Abgeschlossenheit vom Spektrum folgt: m σ M m σ M m. O.B.d.A.: µ >, da. sonst µ L p, µ {} für alle p [, ] ist und wir M m LL p,µ m L,µ haben. : Sei M m L L p, µ. Annahme: m L,µ. Dies bedeutet: m L,µ inf {r : µ m > r }. Demnach ist µ m > n > für alle n N. Fixiere ein n N beliebig. Da, A, µ ein σ-endlicher Maßraum ist, gibt es eine Folge von A k k N A mit µ A k, und A k. Es gilt ebenfalls µ A k { m > n} > für mindestens ein k N, denn sonst würde wegen der σ-subadditivität µ m > n µ { m > n} µ A k { m > n} k k µ A k { m > n} gelten, was ein Widerspruch zur Annahme wäre. Wähle also k N mit k µ A k { m > n} > 3

4 und setze n : A k { m > n}. Setze für p < und f n : χ n für p. Damit gilt: f n : µ n p χ n normf nlp,µ für alle n N. Weiter folgt für p < : M m f n p L p,µ mxf n p dx µ n n mx p dx mxµ n p χ n x p dx µ n n n p dx n p M m f n L p,µ n, M m f n L,µ ess sup mxf n x ess sup mxχ n x ess sup mx n ess sup n n n für n. Demnach wäre der Operator M m unbeschränkt, was ein Widerspruch ist. : Sei nun m L, µ, so ist klar, dass M m linear ist und es gilt für p < M m f Lp,µ mf L p,µ mxfx p p dx m L,µ mxfx p dx M m f L,µ ess sup mxfx ess sup p m L,µ f L p,µ, mx ess sup fx m L,µ f L,µ für alle f L p, µ bzw. f L, µ. Damit ist M m L L p, µ mit M m LL p,µ m L,µ. Im Fall p erhalten wir Gleicheit durch betrachten der Funktion f χ wie bei, denn dann gilt f L,µ mit M m f L,µ ess sup mxχ x ess sup mx m L,µ, m L,µ M m LL,µ m L,µ, also M m LL,µ m L,µ. Betrachte von nun an also p <. Um Gleichheit bei der Operatornorm zu zeigen, sei ε > beliebig und setze } ε : { m > m L,µ ε. Wäre nun µ ε, so würde nach Definition der L -Norm m L,µ m L,µ ε gelten, was ein Widerspurch zu ε > ist, also ist µ ε >. Da, A, µ ein σ-endlicher Maßraum ist, ist auch ε, A, µ ein σ-endlicher Maßraum. Wähle wie oben eine Teilmenge ε ε mit < µ ε <. Setze die Funktion Dann ist f ε L p,µ mit M m f ε p L p,µ p f ε : µ ε. χ ε ε mxµ p p x χ ε dx 4

5 für ε +, bzw. Spektrum von M m : Wir zeigen für die Resolventenmenge: µ ε mx p dx ε > µ ε m ε L,µ dx ε m L,µ ε m L,µ m L,µ M m LLp,µ m L,µ, M m LLp,µ m L,µ. ρ M m {λ C: Es gibt ein δ > mit µ λ µ < δ }. : Sei λ ρ M m und setze N λ : {λ m }. Da der Operator λid L p,µ M m bijektiv ist, erhalten wir λidlp,µ M m χnλ χ Nλ µ N λ. Also können wir die Resolventenfunktion R λ, M m auf N C λ : \N λ ausdrücken durch R λ, M m f λ m f für f Lp, µ. Da z λ mz eine µ-messbare Funktion ist, folgt nach obigen, dass λ m L, µ ist. Also existiert eine Konstante C > mit µ λ m > C : Sei λ C so, dass ein δ > existiert mit µ λ m < C, λ {λ C: Es gibt ein δ > mit µ λ µ < δ }. µ λ m < δ. Dann ist per Definition λ µz δ für µ-fast alle z, was uns r λ : m λ L, µ liefert. Nach dem oberen Teil ist dadurch der Operator definiert durch R λ f : r λ f stetig/ beschränkt auf L p, µ und erfüllt die Gleichung λidlp,µ M m Rλ f R λ λidlp,µ M m f f für alle f L p, µ. Also ist λ ρ M m. Damit folgt für das Spektrum von M m : σ M m ess range m : {λ C: µ λ m < δ > für alle δ > }. 3 Laut Analysis III wissen wir, dass B : e in L,, C eine abzählbare orthonormale Basis des Hilbertraumes L,, C bildet, Koeffizienten α n C mit fθ α n e inθ für fast alle θ,. Definiere den Isometrischen Isomorphismus durch J linear: Klar, da die Reihe linear ist. J : l Z, C L,, C, u u n u n e in. für alle f L,, C gibt es 5

6 J injektiv/ isometrisch: Sei u u n l Z, C beliebig, so gilt: Ju L,,C n,m Z n,m Z u n u n u n e inθ dθ n,m Z u n u m e inθ e imθ dθ u n u m e inθ e imθ dθ u n u m δ n m u n u l Z,C, J L l Z, C, L,, C mit J Ll Z,C,L,,C. J surjektiv: Da B eine Basis von L,, C ist, liefert uns für f α n e in fast überall auf, : fast überall auf,, J ist surjektiv. J : Die Umkehrabbildung lautet also: Ähnlicher Operator zu T : Setze nun den ähnlichen Operator T zu T durch: Sei f J α n α n e inθ f J : L,, C l Z, C, f α n e inθ α n. T : JT J : L,, C L,, C. α n e inθ L,, C. Wir berechnen T f: T fθ JT J fθ JT α n θ α n e inθ + α n+ e inθ α n e inθ e iθ + α n e inθ e iθ e iθ + e iθ α n e inθ cosθfθ für fast alle θ,. Da cos L,, C ist mit ess rangecos rangecos [, ], da die Cosinus-Funktion stetig ist. Also folgt nach : σ T [, ]. 6

7 Nach Aufgabe Ai gilt: σt σ T [, ]. Aufgabe 3 Kleines Spektrum Seien X C [, ] mit X C [,], k C [, ] [, ]. Definiere den Operator T : X X durch T ft : kt, sfsds für f X, t [, ]. Zeigen Sie, dass T wohl-definiert ist mit T LX sup kt, s ds und das Spektrum t [,] besitzt. Lösung von Aufgabe 3 σt {} Seien f X, ε >, t [, ]. Stetigkeit von T f: O.B.d.A.: f, k. Da die Funktion k stetig ist auf [, ] [, ] und [, ] [, ] kompakt ist, ist die Funktion k gleichmäßig stetig auf [, ] [, ], also existiert ein δ > so, dass gilt für alle t, t s, s [, ] mit Sei nun t [, ] mit Dann gilt: T ft T f t ε k t, s k t, s < f X t t { < max δ, kt, sfsds kt, sfsds t t + s s < δ. t ε k C [,] [,] f X k t, s fsds k t, s fsds + [ kt, s k t, s ] t fsds k t, s fsds t }. k t, s fsds kt, s k t, s t fs ds + k t, s fs ds t ε t f f X ds + k X C [,] [,] f X ds t t t ε t + k C [,] [,] f X ε + k C [,] [,] f ε X k C [,] [,] f X ε + ε ε, die Funktion T f ist stetig auf [, ] da t beliebig war. T linear: T ist linear, da das Integral linear ist. Stetigkeit von T : Es gilt: T f LX sup t [,] kt, sfsds t k t, s fsds 7

8 sup t [,] sup t [,] kt, s fs ds kt, s ds f X, T ist stetig auf X. σt {}: Wir zeigen dazu, dass rt ist, dafür zeigen wir induktiv: T n ft n! tn k n C o [,] [,] f X für alle n N, t [, ]. Sei t [, ] beliebig. Induktionsanfang IA: n Es gilt: T ft kt, sfsds kt, s fs ds k C [,] [,] f X ds t k C [,] [,] f X! t k C [,] [,] f X. Induktionsvorausseztung IV: Sei n N fest, aber beliebig und für dieses n gelte T n fs n! sn k n C [,] [,] f X für alle s [, ]. Induktionsschluss IS: n n + Es gilt nach Induktionsvoraussetzung IV: T n+ ft T T n f t kt, st n fsds Aus der Abschätzung erhalten wir nun kt, s T n fs ds k C [,] [,] n! k n+ C [,] [,] f X n! k n+ C [,] [,] f X n! sn k n C [,] [,] f X ds s n ds [ n + sn+ n +! tn+ k n+ C [,] [,] f X. T n f X n! k n C [,] [,] f X, ] t also gilt für die Operatornorm von T n T n LX n! k n C [,] [,] für alle n N. Damit gilt laut Vorlesung: rt lim T k n n C n LX lim [,] [,] n n, n! nach den Stirlingschen Formeln. Da das Spektrum eines beschränkten/ stetigen Operators niemals leer ist siehe Vorlesung, gilt: σt {}. 8