Funktionalanalysis I und II. Eine Zusammenfassung

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1 Funktionalanalysis I und II Eine Zusammenfassung Kai Gehrs acrowley@mupad.de 16. Februar 2007 Zusammenfassung Der folgende Text soll einen groben Überblick über die grundlegenden Konzepte und Resultate der elementaren Funktionalanalysis geben. Er wurde auf der Grundlage der zweisemestrigen Vorlesungsreihe Funktionalanalysis I und II erstellt, die von Prof. Dr. E. Kaniuth im Wintersemester 2001/2002 bzw. im Sommersemester 2002 an der Universität Paderborn gehalten wurde. Ziel des Textes ist es, einen Überblick zu geben, der kurz und knapp die wichtigsten Resultate der Vorlesung zusammenfaßt. Neben einigen kurzen Ausführungen zu metrischen und normierten Räumen sowie zu linearen Operatoren, wird mit demsatz von Hahn-Banach, dem Satz von der offenen Abbildungen sowie vom abgeschlossenen Graphen, dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie dem Satz von Banach-Steinhaus an einige Grundprinzipien der Funktionalanalysis erinnert. Besondere Bedeutung wird dabei auch den Spektralsätzen für kompakte und selbstadjungierte Operatoren sowie für beschränkte selbstadjungierte Opertoren, unitäre Operatoren und schließlich unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren beigemessen. Zentrale Beispiele der Vorlesung werden kurz aufgegriffen und knapp diskutiert. 1

2 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung 3 1 Grundlagen Metrische Räume Normierte Räume Lineare Operatoren Die Dualräume der l p -Räume und des Raums c 0 der Nullfolgen. 9 2 Der Satz von Hahn-Banach und Konsequenzen Der Beweis des Satzes von Hahn-Banach Dualräume von linearen Teilräumen und Quotientenräumen Bidual und reflexive Räume Der Satz von der offenen Abbildung, vom abgeschlossenen Graphen und das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Der Satz von der offenen Abbildung Der Satz vom abgeschlossenen Graphen Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und der Satz von Banach-Steinhaus Schwache Konvergenz und schwache Topologien 20 5 Hilberträume Grundlagen Der Satz von Riesz Summierbarkeit in Hilberträumen Basen und Dimension von Hilberträumen Kompakte und Fredholm-Operatoren Kompakte Operatoren Fredholm-Operatoren Eigenwerte, Spektralwerte und das Spektrum eines beschränkten Operators Die Sätze von Gelfand und Mazur Das Spektrum eines kompakten Operators

3 8 Der Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren Selbstadjungierte Operatoren Der Spektralsatz Der Spektralsatz für beschränkte selbstadjungierte Operatoren Positive selbstadjungierte Operatoren Orthogonale Projektionen Spektralscharen Durch Spektralscharen und stetige Funktionen definierte beschränkte selbstadjungierte Operatoren Spektralzerlegung beschränkter selbstadjungierter Operatoren Stetiger Funktionalkalkül Eigenschaften der Spektralschar Der Spektralsatz für unitäre Operatoren Unitäre Operatoren und einige ihrer Eigenschaften Spektralzerlegung unitärer Operatoren Der Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren Unbeschränkte Operatoren in Hilberträumen Die Cayley-Transformierte Spektralzerlegung unbeschränkter selbstadjungierter Operatoren Durch Spektralscharen und stetige Funktionen definierte unbeschränkte Operatoren Einparametergruppen 65 3

4 Vorbemerkung Der vorliegende Text enthält keinesfalls alle Resultate und Beweise, die in der Vorlesung vorgestellt wurden und bietet daher keine Alternative zur Vorlesung, sondern lediglich eine Ergänzung. 1 Grundlagen 1.1 Metrische Räume Die für die Vorlesung wohl wichtigsten metrischen Räume sind einerseits die Folgenräume l p, 1 p, sowie die Funktionenräume L p, 1 p. Dabei sind die Folgenräume definiert als { } l p = x = (x n ) n N K : x n p < n=1 für 1 p < sowie durch { } l = x = (x n ) n N K : sup x n < n N für p =. Analog erhält man die Definition der Funktionenräume L p, indem man im wesentlichen die Summe durch das Lebesgue-Integral ersetzt. Für 1 p < erhalten wir also { } L p (R) = f : R K : f(x) p dx < R sowie im Fall p = { } L (R) = f : R K : sup f(x) < x R. Neben diesen Folgen- und Funktionenräumen ist der Raum C(X) der stetigen Funktionen f : X K von einer Menge X in den Körper K von Interesse sowie die Menge B(X) der beschränkten Funktionen f : X K. Die Räume l p sowie auch L p sind für 1 p mit den entsprechenden kanonischen Metriken vollständige metrische Räume. Dabei definiert man im Fall 1 p < die Metrik d p auf l p durch d p (x, y) := ( n=1 4 x n y n p ) 1 p

5 sowie im Fall p = durch d (x, y) := sup x n y n n N für alle x = (x n ) n N, y = (y n ) n N l p. Im Fall der Räume L p (R) setzt man für 1 p < ( ) 1 d p (f, g) := f(x) g(x) p p dx R sowie im Fall p = d (f, g) := sup f(x) g(x). x R Anstatt das Integral bzw. das Supremum über ganz R zu bilden, kann auch z.b. ein abgeschlossenes Intervall [a, b] zugrundegelegt werden. In diesem Fall schreibt man statt L p (R) einfach L p [a, b]. Entsprechend kann auch für die Räume l p eine andere zugrundeliegende Indexmenge I als die Menge N der natürlichen Zahlen gewählt werden. In diesem Fall schreibt man statt l p auch l p (I). Auch die Räume C(X) bzw. B(X) sind für X R vollständige metrische Räume, wenn man sie, analog zu l und L, mit der Supremumsmetrik versieht. Wichtige Hilfsmittel im Umgang mit den Räumen l p und L p bilden die Höldersche Ungleichung sowie die Minkowskische Ungleichung: Höldersche Ungleichung. Sei 1 < p < und q definiert durch 1 p + 1 q = 1. Dann gilt für x = (x n ) n N l p und y = (y n ) n N l q ( x n y n n=1 n=1 ) 1 ( p x n p n=1 y n q ) 1 q. Die analoge Aussage gilt auch, wenn man l p und l q durch L p bzw. L q und die Summe durch das entsprechende Lebesgue-Integral ersetzt. Die Minkowskische Ungleichung liefert die allgemeine Dreiecksungleichung auf den l p Räumen: Minkowskische Ungleichung. Sei 1 < p <. Dann gilt für x = (x n ) n N, y = (y n ) n N l p ( n=1 x n + y n p ) 1 p ( n=1 5 ) 1 ( p ) 1 p x n p + y n p. n=1

6 Ein wichtiges Hilfsmittel bei dem Beweis des Satzes von der offenen Abbildung und dem Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit ist der Satz von Baire bzw. eine direkte Folgerung aus diesem Satz. Der Satz von Baire besagt für einen vollständigen metrischen Raum X: Ist D n X, n N eine Folge offener dichter Teilmengen von X, so ist auch der Durchschnitt n N D n wieder dicht in X (i.a. jedoch nicht offen). Die zentrale Folgerung aus dem Satz von Baire ist: Folgerung aus dem Satz von Baire. Läßt sich ein vollständiger metrischer Raum X von einer Folge A n X, n N abgeschlossener Teilmengen überdecken, d.h. X = n N A n, so gibt es mindestens eine Menge A m unter den abgschlossenen Mengen, die nicht leeres Inneres besitzt. Die letzten beiden wichtigen Resultate der Vorlesung aus dem Kapitel über metrische Räume sind Charakterisierungen der Kompaktheit eines metrischen Raumes bzw. eines Teilraumes eines metrischen Raumes. Für einen allgemeinen metrischen Raum X sind äquivalent: (i) X ist kompakt. (ii) X ist vollständig und total beschränkt. (iii) Jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge. In dem Spezialfall, dass der zugrundeliegende metrische Raum X kompakt ist und man eine Menge F C(X) stetiger Funktionen f : X K betrachtet, bietet der Satz von Arzela-Ascoli eine nützliche Charakterisierung der Kompaktheit von F, die besagt: F C(X) ist kompakt genau dann, wenn F gleichgradig stetig und punktweise beschränkt ist. Dabei wird auf C(X) die Supremumsmetrik zugrundegelegt, die C(X) zu einem vollständigen metrischen Raum macht. 1.2 Normierte Räume Für einen normierten Raum E und einen abgeschlossenen linearen Teilraum F E wird der Quotientenraum E/F = {x+f : x E} vermöge der Definition x + F := inf x + y y F zu einem normierten Raum. Aus dieser Konstruktion lassen sich Aussagen über die Vollständigkeit der Räume E, F und E/F ableiten es gilt: 6

7 (i) Ist E ein vollständiger normierter Raum und F E ein abgeschlossener linearer Teilraum, so ist auch E/F vollständig. (ii) Sind F E und E/F vollständige normierte Räume, so ist auch E vollständig. Als eine Folgerung kann man per Induktion nach der Dimension eines normierten Raumes beweisen: Jeder endlich dimensionale normierte Raum ist vollständig. Diese Aussage ist in sofern wichtig, als sie zeigt, dass die folgenden Untersuchungen und Resultate über vollständige normierte Räume stets auch im Endlichdimensionalen gelten. Ist E ein endlichdimensionaler normierter Raum und T : E F eine lineare Abbildung, so ist T stets beschränkt (und damit stetig). Für endlich dimensionale normierte Räume erhält man daher u.a.: (i) Je zwei Normen auf einem endlich dimensionalen Raum sind äquivalent. (ii) Im endlich Dimensionalen ist Abgeschlossenheit und Beschränktheit äquivalent zu Kompaktheit. Als abschließendes Resultat, welches z.b. garantiert, dass die Eigenräume zu von Null verschiedenen Eigenwerten eines kompakten Operators stets endlich dimensional sind, haben wir die folgenden drei zueinander äquivalenten Aussagen bewiesen, die für einen beliebigen normierten Raum E gültig sind: (i) dim E < (ii) Jeder Punkt in E besitzt eine kompakte Umgebung. (iii) K(0 E, 1) = {x E : x 1} ist kompakt. Die zentralen Beispiele für normierte Räume sind wieder die l p - bzw. L p -Räume. Diese sind, sofern sie mit den kanonischen Normen versehen werden, sogar Banachräume. Die kanonischen Normen auf den l p -Räumen sind für 1 p < definiert durch ( ) 1 p x p := x n p, x = (x n ) n N l p sowie im Fall p = durch n=1 x := sup x n, x = (x n ) n N l. n N 7

8 Im Fall der L p -Räume ersetzt man wie gewohnt die Folgen durch die entsprechenden Lebesgue-integrierbaren Funktionen und die Summe durch das Lebesgue- Integral, d.h. die kanonische Norm auf L p für 1 p < ist gegeben durch sowie im Fall p = ( f p := f(x) p dx R ) 1 p, f : R K, f := sup f(x), f : R K. x R Neben der Tatsache, dass die genannten Räume mit den angegebenen Normen vollständig sind, zeigt sich zusätzlich sich im Fall p = 2, dass es sich bei l 2 und L 2 sogar um Hilberträume handelt. 1.3 Lineare Operatoren Für normierte Räume E und F und beliebige lineare Operatoren T : E F gilt, dass Beschränktheit des Operators T äquivalent zur Stetigkeit des Operators T ist. Dabei bedeutet Beschränktheit des Operators T, dass es eine reelle Konstante c 0 gibt, so dass T x c x für alle x E. Die Menge aller beschränkten (und damit stetigen) Operatoren von E in F wird mit B(E, F ) bezeichnet. Auf B(E, F ) läßt sich eine Norm, die sogenannte Operatornorm, definieren, vermöge der B(E, F ) selbst wieder zu einem normierten Raum wird. Man setzt für T B(E, F ): T := sup T x. x E, x 1 Die Norm eines Operators läßt sich auch alternativ charakterisieren: Man erhält u.a.: T = T x sup T x = sup x E, x =1 x E,x 0 x = inf{c 0 : T x c x x E}. In dem Spezialfall F = K schreibt man E := B(E, K) und nennt E den Dualraum von E. Sind E, F, G normierte Räume und T B(E, F ) sowie S B(F, G), so gilt S T B(E, G), d.h. die Komposition beschränkter Operatoren ist wieder ein beschränkter Operator und S T S T, d.h. die Operatornorm ist submultiplikativ. 8

9 Es zeigt sich, dass der Raum B(E, F ) vollständig ist, wenn F ein vollständiger normierter Raum ist. Hier gilt sogar die Äquivalenz, die jedoch im Rahmen der Vorlesung erst später bewiesen wurde, da der Beweis den Satz von Hahn- Banach benutzt. Als wichtiges Korollar der Vollständigkeitsaussage erhält man: Dualräume beliebiger normierter Räume sind stets vollständig. Als immer wiederkehrendes Beispiel der Vorlesung wurde der sogenannte Intergraloperator mit Kern k betrachtet. Dieser Operator ist als Abbildung T : (C[a, b], ) (C[a, b], ) mit Hilfe einer stetigen Funktion k : [a, b] 2 C definiert durch (T f)(s) := b a k(s, t) f(t)dt, s [a, b]. Er ist linear und beschränkt und es läßt sich zeigen, dass seine Norm gegeben ist durch T = sup s [a,b] b a k(s, t) dt. Eine zentrale Frage, die im Laufe der Vorlesung immer wieder gestellt wurde, ist die Frage nach der Fortsetztbarkeit beschränkter linearer Operatoren von Teilräumen eines normierten Raumes auf deren Abschluß oder sogar sogar auf den gesamten normierten Raum selbst. Einen ersten Schritt in diese Richtung liefert das folgende Resultat, dass im weiteren Verlauf der Vorlesung in zahlreichen Beispielen und Beweisen immer wieder zitiert wurde: Erster Fortsetzungssatz. Sei E ein normierter Raum und F ein Banachraum sowie L E ein linearer Teilraum und T B(L, F ). Dann existiert genau ein Operator S B(L, F ), der T von L auf L mit gleicher Norm fortsetzt, d.h. S L = T und S = T. Dieses Resultat wird z.b. bei der Charakterisierung der Dualräume der Folgenräume l p für 1 p < sowie der Charakterisierung des Dualraums des Raums c 0 der Nullfolgen benötigt: Im jeweiligen Beweis genügt es mit Hilfe des obigen Satzes, die entsprechenden isometrischen Abbildungen auf einem dichten linearen Teilraum zu definieren. Ein leichte Abschwächung des Stetigkeitsbegriffs eines Operators T : L F für einen linearen Teilraum L E eines normierten Raums E, stellt der Begriff der 9

10 Abgeschlossenheit einer linearen Abbildung dar. Der Operator T : L F heißt abgeschlossen, wenn sein Graph, d.h. die Menge G T := {(x, T x) : x L} L F E F, abgeschlossen in E F bezüglich der Norm (x, y) := max{ x, y } auf E F ist. Damit ist der Operator T abgeschlossen genau dann, wenn für jede Folge (x n ) n N L mit x n x E und T x n y F stets x L und T x = y folgt. Aus dieser Charakterisierung von Abgeschlossenheit ergibt sich dann auch, dass eine stetige Abbildung T : E F zwar stets abgeschlossen ist, dass aber eine abgschlossene Abbildung keinesfalls stetig sein muß. Um letzteres einzusehen, betrachtet man das Beispiel des Operators T : (C 1 [0, 1], ) (C[0, 1], ) mit T f := f. Ist dann (f n ) n N C 1 [0, 1] eine Folge mit f n f C 1 [0, 1] und f n = T f n g C[0, 1], so gilt wegen f n (t) f(t), f n (0) f(0) und t f 0 n(s)ds t g(s)ds sowie f 0 n(t) f n (0) = s f 0 n(s)ds gerade T f = f = g. Jedoch ist T nicht stetig, denn für f n (t) := t n gilt zwar f n = 1, aber T f n = f n = n t n 1 = n. Damit ist T nicht beschränkt. Für normierte Räume E und F sowie T B(E, F ) definiert man den dualen Operator zu T durch T : F E, (T f)(x) := f(t x), f F, x E. Aus der Definition folgt T T. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach läßt sich auch T T zeigen, weshalb der duale Operator T stets die gleiche Norm besitzt, wie der Operator T. 1.4 Die Dualräume der l p -Räume und des Raums c 0 der Nullfolgen Im Fall der Folgenräume l p für 1 p < sowie des Raums c 0 der Nullfolgen lassen sich die entsprechenden Dualräume explizit angeben. Charakterisierung von (l p ). Sei 1 p < und q definiert durch = 1, p q falls p 1, und q =, falls p = 1. Zu y = (y n ) n N l q definiere f y : l p K durch f y (x) := x n y n, x = (x n ) n N l p. n=1 Dann gilt f y (l p ) und die Abbildung l q (l p ), y f y 10

11 ist eine isometrische lineare Abbildung. Charakterisierung von (c 0 ). Sei c 0 der Raum der Nullfolgen über K ausgestattet mit der Supremumsnorm. Zu y = (y n ) n N l 1 definiere f y : c 0 K durch f y (x) := x n y n, x = (x n ) n N c 0. n=1 Dann ist f y c 0 und die Abbildung ist eine isometrische lineare Abbildung. l 1 c 0, y f y Die Beweise der beiden Aussagen sind zum Großteil technisches Rechnen. Interessant ist zu sehen, wie man zeigt, dass die Abbildungen l q (l p ) bzw. l 1 c 0 surjektiv sind. In beiden Fällen nutzt man aus, dass die Menge der verallgemeinerten n-ten Einheitsvektoren (d.h. diejenigen Folgen, deren n-te Komponente 1 ist und deren andere Komponenten sämtlich 0 sind) dicht in c 0 bzw. l p liegt. Im Fall der l p -Räume hat man ein Element f (l p ) gegeben und muß ein y l q angeben, so dass f y = f gilt. Man definiert dann y n := f(e n ) als Bild des n-ten verallgemeinerten Einheitsvektors unter f und zeigt, dass durch y = (y n ) n N ein Element von l q definiert ist. Ist dies geschehen, so stimmen f und f y auf einem dichten linearen Teilraum von l p überein, also, nach dem ersten Fortsetzungssatz, auch auf ganz l p. Die gleiche Argumentation führt auch bei der Charakterisierung von c 0 zum Ziel. 2 Der Satz von Hahn-Banach und Konsequenzen 2.1 Der Beweis des Satzes von Hahn-Banach Um den Satz von Hahn-Banach zu beweisen, haben wir zunächst Vektorräume E über dem Körper R der reellen Zahlen studiert. Mit E bezeichnen wir den rein algebraischen Dualraum des R-Vektorraums E, d.h. die Menge aller linearen Abbildungen f : E R. Unter einem sublinearen Funktional p auf E verstehen wir eine Abbildung p : E R mit p(λ x) = λ p(x) für alle λ 0 und x E und p(x + y) p(x) + p(y) für alle x, y E. Mit diesen Begrifflichkeiten ist der erste Schritt in Richtung des Beweises des Satzes von Hahn-Banach der Beweis der Aussage: 11

12 Schritt 1. Sei E ein R-Vektorraum und F E ein linearer Teilraum von E sowie x 0 E\F. Sei L := F + R x 0 das lineare Erzeugnis von F und x 0. Sei f F und p : E R ein sublineares Funktional auf E mit f(x) p(x) für alle x F. Dann existiert ein l L mit l F = f und l(x) p(x) für alle x L. Der Beweis dieser Aussage ist recht kanonisch: Da l eine Fortsetzung von f sein soll, definiert man l(x + λ x 0 ) := f(x) + λ γ, wobei γ R so zu wählen ist, dass die Bedingung l(x) p(x) für alle x L erfüllt ist. Dabei profitiert man von der Gültigkeit der Ungleichungskette f(x) + f(y) = f(x + y) p(x + y) p(x + x 0 ) + p(y x 0 ) x, y F, die letztendlich besagt, dass das Supremum der Menge A := {f(y) p(y x 0 ) : y F } sowie das Infimum der Menge B := {p(x+x 0 ) f(x) : x F } existieren und man daher γ [sup A, inf B] wählen kann. Der nächste Schritt besteht dann in der Verallgemeinerung der Aussage von Schritt 1, d.h. man beweist, dass es eine Fortsetzung des gegebenen f F auf ganz E gibt, die der entsprechenden Ungleichungsbedingung an das sublineare Funktional genügt. Schritt 2. Sei E ein R-Vektorraum und F E ein linearer Teilraum von E. Sei f F und p : E R ein sublineares Funktional auf E mit f(x) p(x) für alle x F. Dann existiert ein l E mit l F = f und l(x) p(x) für alle x E. Bei dem Beweis dieser Aussage ist das wichtigste Hilfsmittel das Lemma von Zorn: Lemma von Zorn. Sei (M, ) eine teilweise geordnete Menge. Besitzt jede Kette K M (d.h. je zwei Elemente von K sind bezüglich der Ordnung vergleichbar) eine obere Schranke in M, so besitzt M ein (bezüglich der Ordnung ) maximales Element. Der Beweis der Aussage von Schritt 2 wird dann grob wie folgt geführt: Man definiert sich eine Menge L von Tupeln (L, l) mit der Eigenschaft, dass L E ein linearer Teilraum von E mit L F ist und l ein Element von L mit l F = f und l(x) p(x) für alle x L. Wegen (F, f) L ist diese Menge nicht leer. Ferner läßt sich eine Ordnung auf L definieren, indem man setzt (L 1, l 1 ) (L 2, l 2 ), falls L 1 L 2 und l 2 L 1 = l 1. Dann besitzt L die Voraussetzungen des 12

13 Lemma von Zorn und besitzt folglich ein maximales Element (L, l) L. Dann kann unmittelbar L = E gefolgert werden, was die Behauptung aus Schritt 2 impliziert, denn andernfalls könnte mit Hilfe der Aussage von Schritt 1 eine Fortsetzung von l auf einen um 1 höher dimensionalen Teilraum von E gefunden werden, was der Maximalität von (L, l) widerspricht. Bevor der eigentliche Beweis des Satzes von Hahn-Banach gelingt, bedarf es eines letzten weiteren Schrittes. Schritt 3. Sei E ein Vektorraum über K = R oder K = C und F E ein linearer Teilraum von E. Sei p : E [0, ) eine Halbnorm auf E, d.h. p(λ x) = λ p(x) für alle λ K und p(x + y) p(x) + p(y) für alle x, y E. Sei f F mit f(x) p(x) für alle x F. Dann existiert ein l E mit l F = f und l(x) p(x) für alle x E. Im Fall K = R folgt die Aussage im wesentlichen sofort aus Schritt 2. Der Fall K = C wird auf den reellen Fall zurückgeführt. Dabei ist der Gedanke zentral, dass sich jede lineare Abbildung f : F C in Real- und Imaginärteil aufspalten läßt, d.h. dass f = f 1 + i f 2, wobei f 1, f 2 Elemente von F als Vektorraum über R sind. Genauer gilt sogar: Jedes f F (als Vektorraum über C) läßt sich schreiben als f(x) = f 1 (x) i f 1 (i x) für alle x F. Wegen p(x) f(x) f 1 (x) kann dann der komplexe Fall mit Hilfe der für den reellen Fall bereits bewiesenen Aussage gezeigt werden. Satz von Hahn-Banach. Sei E ein normierter Raum und F E ein linearer Teilraum. Dann existiert zu jedem f F ein l E mit l F = f und l = f. Die Behauptung folgt unmittelbar mit Hilfe des Ergebnisses aus Schritt 3, wenn man die Halbnorm p : E [0, ) mit p(x) := f x. betrachtet. Es gilt f(x) f x = p(x) für alle x F und folglich existiert ein l : E K mit l F = f und l(x) p(x) = f x, d.h. l E und l f. Weil l eine Fortsetzung von f ist, folgt die Gleicheit der Normen. Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach. Sei E ein normierter und F E ein linearer Teilraum von E sowie x E mit δ := inf y F x y > 0 (d.h. x / F ). Dann existiert ein l E mit l F 0, l(x) = δ und l = 1. Inbesondere existiert also zu jedem x E, x 0 ein l E mit l(x) = x und l = 1. 13

14 Der Beweis bedient sich der Definition eines beschränkten linearen Funktionals f : F + K x K mit f(y + λ x) := λ δ. Dieses Funktional erfüllt die Bedingungen und kann mit gleicher Norm zu einem Operator l E mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach forgesetzt werden. Mit Hilfe dieser Folgerung läßt sich zeigen, dass die Norm des dualen Operators T zu einem beschränkten Operators T : E F zwischen zwei normierten Räumen mit der Norm von T übereinstimmt: T = sup T x x E, x 1 sup sup x E, x 1 f F, f 1 f(t x) sup (T f)(x) = T x 1, f 1 Eine weitere wichtige Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach ist: Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach. Sind E und F normierte Räume, so ist B(E, F ) vollständig genau dann, wenn F ein Banachraum ist. Die eine Richtung, d.h. wenn F ein Banachraum ist, dass dann auch B(E, F ) vollständig ist, haben wir bereits zuvor eingesehen. Die Umkehrung bedarf zum Beweis der oben genannten Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach. Bei gegebener Cauchy-Folge (y n ) n N F wählt man ein x E, x 0 mit x = 1. Dann existiert ein f E mit f(x) = x = 1 = f. Dann definiert man (T n ) n N B(E, F ) durch T n (x) := f(x) y n. Schließlich bildet (T n ) n N eine Cauchy-Folge in B(E, F ), d.h. es existiert nach Voraussetzung ein T B(E, F ) mit T n T in B(E, F ). Es folgt also y n = T n (x) T (x) F, also die behauptete Vollständigkeit von F. 2.2 Dualräume von linearen Teilräumen und Quotientenräumen Sei E ein normierter Raum und F E ein linearer Teilraum von E. Für eine beliebige Teilmenge M E heißt M := {f E : f(x) = 0 x M} der Annullator von M in E. Mit Hilfe dieses Begriffs lassen sich die Dualräume F und (E/F ) charakterisieren: 14

15 Charakterisierung von F und (E/F ). (i) Betrachte die Abbildung E F, f f F. Nach dem Satz von Hahn-Banach ist diese Abbildung surjektiv und ihr Kern ist gegeben durch F. Folglich ist E /F isometrisch isomorph zu F vermöge der Abbildung f + F f F. (ii) Sei q : E E/F, q(x) := x + F die Quotientenabbildung von E in E/F. Dann ist (E/F ) isometrisch isomorph zu F vermöge der Abbildung f f q. 2.3 Bidual und reflexive Räume Für einen normierten Raum E bezeichnet E die Menge aller beschränkten linearen Funktionale f : E K, den sogennanten Bidualraum. Zu jedem x E können wir eine Abbildung x : E K definieren durch x(f) := f(x) für alle f E. Offensichtlich gilt x x. Mit Hilfe des Satzes von Hahn- Banach bzw. der ersten Folgerung aus dem Satz folgt die Existenz eines f E mit f = 1 und f(x) = x, d.h. wir erhalten für dieses spezielle f gerade x(f) = f(x) = x f, also x = x. Die Abbildung : E E, x x heißt die kanonische Einbettung von E in seinen Bidual. Diese Abbildung ist linear und isometrisch. Da Dualräume stets Banachräume sind, ist E ein Banachraum. Als abgeschlossener Teilraum von E ist (E) wieder ein Banachraum. Man nennt (E) die Banachraumvervollständigung des normierten Raums E. Der Raum E heißt reflexiv, wenn die kanonische Einbettung surjektiv ist (in diesem Fall ist also eine bijektive isometrische Abbildung von E in E, die eine Identifikation von E mit E erlaubt damit folgt insbesondere: Nur Banachräume können reflexiv sein). Sind E und F Banachräume und ist Φ : E F ein Normisomorphismus so gilt: E ist reflexiv genau dann, wenn F reflexiv ist. Diese Aussage beweist man im wesentlichen mit Hilfe einer Diagrammjagd, die sich in folgendem Diagramm abspielt: Φ E F E F E Φ wobei Φ (ϕ) := ϕ(φ ) für ϕ E und Φ der duale Operator zu Φ ist sowie E und F die entsprechenden kanonischen Einbettungen von E bzw. F in E bzw. F. F 15

16 Mit Hilfe dieses Resultats und unter Zuhilfenahme des Satzes von Hahn-Banach läßt sich dann für einen Banachraum E und einen abgeschlossenen linearen Teilraum F E von E zeigen: (i) Ist E reflexiv, so auch F. (ii) E ist reflexiv genau dann, wenn E reflexiv ist. (iii) E ist reflexiv genau dann, wenn F und E/F reflexiv sind. Teil (i) zeigt man im wesentlichen mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach, der es gestattet, F als die Menge aller f F, f E zu charakterisieren. Ist die Hinrichtung von (ii) gezeigt, so folgt die Rückrichtung recht leicht, denn: Ist E reflexiv, so folgt, dass auch E reflexiv ist. Da E ein Banachraum ist und damit (E) per isometrischer Isomorphie als abgeschlossener Teilraum des reflexiven Raums E nach (i) selbst wieder reflexiv ist, ist (E) reflexiv. Da : E (E) ein Normisomorphismus ist, ist damit auch E reflexiv. Recht leicht einzusehen ist auch die Hinrichtung von (iii): Da E reflexiv ist, ist es auch F. Nach (ii) ist E/F reflexiv genau dann, wenn (E/F ) = F reflexiv ist. Als abgeschlossener linearer Teilraum des reflexiven Raumes E ist F reflexiv, also per isometrischer Isomorphie auch (E/F ) sowie auch E/F. Die Rückrichtung ist nicht so leicht zu zeigen. Die wichtigsten Beispiele für reflexive Räume sind die Räume l p und L p für 1 < p <. Nicht reflexiv dagegen sind der Raum der Nullfolgenden c 0, der Raum c der konvergenten Folgen, der l 1 sowie auch der l. Für c 0 sieht man dies unmittelbar an der Charakterisierung der Dualräume, denn c 0 ist isometrisch isomorph zu (l 1 ), welcher wiederum isometrisch isomorph zu l ist. Plausibler Weise ist der Raum c 0 der Nullfolgen eine echte Teilmenge des Raums l der beschränkten Folgen, weshalb die kanonische Einbettung keinesfalls surjektiv sein kann. Damit kann auch c nicht reflexiv sein, denn sonst wäre es auch c 0 als abgeschlossener linearer Teilraum von c. Ebenso kann l 1 nicht reflexiv sein, denn c 0 ist isometrisch isomorph zu l 1 und c 0 ist nicht reflexiv, da sonst auch c 0 reflexiv wäre. Letztendlich ist auch l nicht reflexiv, denn l ist isometrisch isomorph zu (l 1 ). 16

17 3 Der Satz von der offenen Abbildung, vom abgeschlossenen Graphen und das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit 3.1 Der Satz von der offenen Abbildung Der Beweis des Satzes von der offenen Abbildung vollzieht sich im wesentlichen in zwei Schritten, die hier zunächst kurz zitiert werden sollen. Schritt 1. Sei E ein normierter Raum und F ein Banachraum sowie T B(E, F ) surjektiv. Dann existiert ein r > 0 mit K(0 F, 1) T (K(0 E, r)). Der Beweis dieses ersten Schrittes bedient sich der Folgerung aus dem Satz von Baire, dass, wenn sich ein vollständiger metrischer Raum mit einer Folge abgeschlossener Mengen überdecken läßt, mindestens eine unter diesen Mengen gefunden werden kann, die nicht leeres Inneres besitzt. Schritt 2. Sei E ein Banachraum und F ein normierter Raum sowie T B(E, F ). Es existiere ein r > 0, so dass K(0 F, 1) T (K(0 E, r)). Dann gilt: K(0 F, 1) T (K(0 E, 2r)). Für den Beweis der Aussage konstruiert man zu einem gegebenen y K(0 F, 1) eine Folge von Elementen (y n ) n N T (K(0 E, r)) mit y n y. Zu y n existiert dann ein x n K(0 E, r) mit T x n = y n. Man zeigt dann, dass (x n ) n N eine Cauchy-Folge in E bildet und folglich einen Limes x E besitzt. Dann zeigt man, dass x K(0 E, 2r) und T x = y gilt. Daraus folgt dann die Behauptung. Satz von der offenen Abbildung. Seien E und F Banachräume und T B(E, F ) surjektiv. Dann ist T offen, d.h. Bilder offener Mengen unter T sind stets offen. Der Beweis besteht im wesentlichen aus der Zusammensetzung der Aussagen aus Schritt 1 und Schritt 2. Die wichtigste Folgerung aus dem Satz von der offenen Abbildung ist der Satz von der stetigen Inversen: Satz von der stetigen Inversen. T B(E, F ) bijektiv, so ist T 1 stetig. Sind E und F Banachräume und ist 17

18 Urbilder offener Mengen unter T 1 sind gerade Bilder offener Mengen unter T, also wieder offen, da T offen ist. Damit ist die Inverse stetig. Die Voraussetzungen der Vollständigkeit von E und F bei dem Satz von der offenen Abbildung sowie auch bei dem Satz von der stetigen Inversen sind zwingend notwendig, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei E := C[0, 1] mit der Supremumsnorm und F := {f C 1 [0, 1] : f(0) = 0} ebenfalls ausgestattet mit der Supremumsnorm. Betrachte den Operator T : E F, (T f)(t) := t 0 f(s)ds, t [0, 1]. Dann ist T linear und stetig. Ferner ist T injektiv, denn aus T f = 0 folgt 0 = 0 = (T f) = f. T ist sogar surjektiv, denn ist g F, so gilt g(0) = 0 und g(t) = t 0 g (s)ds = T g. Jedoch ist die Umkehrabbildung T 1 nicht stetig, denn für f n (t) := sin(nt) gilt für n 0 zwar f n = 1, aber T f n = 1 1 cos(nt) n n 2 und T 1 bildet T f n n auf f n ab. 3.2 Der Satz vom abgeschlossenen Graphen Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ergibt sich im wesentlichen als Folgerung aus dem Satz von der offenen Abbildung. Satz vom abgeschlossenen Graphen. Seien E und F Banachräume und T : E F linear und abgeschlossen. Dann ist T stetig. Zum Beweis betrachtet man die Abbildung S : G T E, S(x, T x) := x. Diese ist eine bijektive stetige lineare Abbildung zwischen zwei Banachräumen. Der Satz von der stetigen Inversen liefert die Existenz einer beschränkten Umkehrabbildung S 1 : E G T und es folgt: T x (x, T x) = S 1 x c x, also die Beschränktheit von T. Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist vor allem in sofern nützlich, als die Voraussetzung der Abgeschlossenheit einer linearen Abbildung viel schwächer ist, als die Voraussetzung der Stetigkeit. Im Fall von Banachräumen E und F und einer linearen Abbildung T : E F ist damit Abgeschlossenheit äquivalent zu Stetigkeit. 18

19 3.3 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und der Satz von Banach-Steinhaus Ein weiteres Resultat, zu dessen Beweis der Satz von Baire bzw. die Folgerung aus dem Satz von Baire über die Überdeckung eines vollständigen metrischen Raums mit abgeschlossenen Mengen nützlich ist, ist das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. Es seien E und ein Banachraum und F ein normierter Raum sowie T B(E, F ) punktweise beschränkt, d.h. zu jedem x E existiert ein M x 0 mit T x M x für alle T T. Dann existiert eine globale Normschranke M 0 mit T M für alle T T. Der Beweis des Satzes bedient sich der oben angesprochenen Folgerung aus dem Satz von Baire. Man betrachtet die Mengen E m := {x E : T x m T T }. Da es zu jedem x E ein M x 0 gibt mit T x M x für alle T T folgt E = m=1 E m. Ist ferner (x n ) n N E m eine Folge in E m mit x n x E, so folgt wegen der Stetigkeit der linearen Operatoren T x = lim n T x n m für alle T T, d.h. jedes E m ist abgeschlossen. Folglich existiert eine Menge mit nicht leerem Inneren, aus deren Existenz die Behauptung gefolgert werden kann. Wichtig ist auch bei diesem Satz die Voraussetzung, dass E ein Banachraum ist. Betrachtet man z.b. E := {x l 1 : x n = 0 für fast alle n} und F = K sowie f n : E F mit f n (x) := n x n, so gilt f n n für alle n N. Für jedes feste x E existiert ein N N mit x n = 0 für alle n > N. Daher ist die Menge { f n (x) = n x n : n N} beschränkt, denn nur endlich viele Elemente sind verschieden von Null. Insbesondere ist also {f n : n N} eine punktweise beschränkte Folge von Operatoren aus B(E, F ) = E. Würde das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit in diesem Fall gelten, so müsste es eine globale Normschranke für die Operatornorm der f n, n N geben. Eine solche kann es jedoch nicht geben, denn bezeichnet e n den verallgemeinerten n-ten Einheitsvektor (n-te Komponente der Folge ist 1 und alle anderen Komponenten sind 0), so ist e n für jedes n N ein Element von E und f n (e n ) = n, also f n n für alle n N. Abschließend betrachten wir einige wichtige Folgerungen aus dem Satz über das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit: 19

20 Folgerung. Sei E ein Banachraum und F ein normierter Raum sowie (T n ) n N B(E, F ) und (T n x) n N sei konvergent in F für jedes x E. Dann läßt sich T : E F durch T x := lim n T n x definieren und es gilt: T B(E, F ) und T lim inf n T n. Da (T n x) n N in F für jedes x E konvergiert, ist die Abbildung T : E F linear. Da jede konvergente Folge insbesondere beschränkt ist, ist also {T n, n N} punktweise beschränkt. Folglich existiert ein M 0 mit T n M für alle n N. Damit ergibt sich: T x = lim n T n x M x für alle x E, d.h. T ist stetig. Die Behauptung über den Limes-Inferior folgt durch Betrachtung einer entsprechenden Teifolge der T n, n N. Aus der obigen Folgerung ergibt sich bereits die erste Aussage des Satzes von Banach-Steinhaus: Satz von Banach-Steinhaus. (i) Sei E ein Banachraum und F ein normierter Raum sowie (T n ) n N B(E, F ). Konvergiert (T n ) n N punktweise (d.h. im Sinne der obigen Folgerung) gegen eine lineare Abbildung T : E F, so gilt T B(E, F ) und sup n N T n <. (ii) Sei E ein normierter Raum und F ein Banachraum sowie (T n ) n N B(E, F ). Gilt sup n N T n < und existiert ein dichter linearer Teilraum E 0 E von E, so dass (T n x) n N für alle x E 0 konvergiert, so existiert genau ein T B(E, F ) mit T x = lim n T n x für alle x E. Teil (ii) folgt im wesentlichen mit Hilfe des ersten Fortsetzungssatzes aus dem Abschnitt 1.3 über lineare Operatoren: Man definiert zunächst einen linearen Operator T 0 : E 0 F durch T 0 x := lim n T n x für alle x E 0. Wegen T 0 x = lim n T n x sup n N T n x ist dieser Operator stetig und kann eindeutig zu einem Operator T auf E 0 = E fortgesetzt werden, für den dann T x = lim n T n x für alle x E gilt. Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit bzw. der Satz von Banach- Steinhaus läßt sich auf die näherungsweise Berechnung von Integralen anwenden und gestattet Konverganzaussagen über die sogenannten Quadraturformeln zur Approximation des Riemann-Integrals einer stetigen Funktion: Näherungsweise Berechnung von Integralen. Wir betrachten C[a, b] mit der Supremumsnorm. Zu jedem n N seien α n1,..., α nn R und t n1 < t n2 <... < t nn [a, b] gegeben. Definiere Q n : C[a, b] C durch Q n (f) := 20

21 n j=1 α nj f(t nj ). Dann gilt Q n (f) b f(t)dt für alle f C[a, b] genau dann, a wenn (i) Es existiert ein c > 0 mit n j=1 α nj c für alle n N. (ii) Es gilt Q n (p) b p(t)dt für alle Polynome p auf [a, b]. a Die Hinrichtung der Aussage ist recht leicht zu zeigen, da die Konvergenz auf der Menge der Polynome bereits vorausgesetzt werden kann. Die Existenz der Konstante c > 0 folgt, indem man sich eine stetige Funktion f auf [a, b] mit f = 1 durch α nj f(t nj ) = α nj implizit definiert und diese zwischen den bereits definierten Funktionswerten durch die entsprechende konvexe Linearkombination zu einem Polygonzug auf ganz [a, b] fortsetzt. Dann folgt n j=1 α nj = n j=1 α nj f(t nj ) = Q n (f) b f(t)dt a (b a) f = (b a). Für die Rückrichtung benutzt man das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und den Satz von Banach-Steinhaus. Definiere Q n wie oben und Q(f) := b f(t)dt für alle f C[a, b]. Damit ergibt sich Q a n(f) = n j=1 α nj f(t nj ) c f =: M f, d.h. die Menge {Q n : n N} ist punktweise beschränkt. Weil C[a, b] mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist, folgt nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit: sup n N Q n <. Da Q n (p) Q(p) für alle Polynome p auf [a, b] nach Voraussetzung gilt und die Menge der Polynome dicht in C[a, b] liegt, folgt: Q n (f) Q(f) für alle f C[a, b] nach dem Satz von Banach-Steinhaus. 4 Schwache Konvergenz und schwache Topologien Sei E ein normierter Raum. Eine Folge (x n ) n N E konvergiert schwach gegen x E, falls f(x n ) f(x) für alle f E gilt. Analog konvergiert eine Folge (f n ) n N E schwach- gegen ein f E, falls f n (x) f(x) für alle x E gilt. Ist E ein separabler normierter Raum (d.h. E enthält eine abzählbare dichte Teilmenge) und ist (f n ) n N eine in der Norm von E beschränkte Folge, so besitzt (f n ) n N eine schwach- -konvergente Teilfolge in E. Insebsondere ist damit die Einheitskugel im Dualraum schwach- -folgenkompakt. Die schwache Topologie auf E bezüglich aller Funktionen f f(x) = x(f), f E, x E (d.h. die gröbste Topologie bezüglich derer alle diese Funktionen stetig werden), heißt schwach- -Topologie auf E. Diese Topologie wird mit σ(e, E) bezeichnet. Man kann dann mit Hilfe des Satzes von Tychonoff zeigen, dass gilt: 21

22 Kompaktheit der Einheitskugel im Dual. Ist E ein normierter Raum und M E in der Norm von E beschränkt und σ(e, E)-abgeschlossen, so ist M σ(e, E)-kompakt. Insbesondere ist damit die Einheitskugel (alle Funktionale in E mit Norm 1) schwach- -kompakt. Auf E läßt sich die schwache Topologie bezüglich aller Funktionen x f(x), x E, f E betrachten (d.h. die gröbste Topologie, bezüglich derer alle diese Funktionen stetig sind). Diese Topologie wird mit σ(e, E ) bezeichnet und heißt schwache Topologie auf E. Dann läßt sich der Reflexivitätsbegriff auch wie folgt topologisch charakterisieren: Topologisches Reflexivitätskriterium. Sei E ein normierter Raum. Dann ist E reflexiv genau dann, wenn die Einheitskugel in E σ(e, E )-kompakt ist (d.h. kompakt in der schwachen Topologie auf E). 5 Hilberträume 5.1 Grundlagen Eine wichtige Ungleichung, die oft in Beweisen von Aussagen über Hilberträume Verwendung findet, ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Sei E ein linearer Raum und, : E E K eine positive semidefinite Hermitesche Form. Dann gilt für alle x, y E: x, y 2 x, x y, y Ist, : E E K ein Skalarprodukt, so gilt Gleichheit genau dann, wenn x und y linear abhängig sind. Ist E ein linearer Raum und, : E E K ein Skalarprodukt auf E, so ist durch x := x, x für alle x E eine Norm auf E definiert und die Abbildung (x, y) x, y ist stetig. Da jedes Skalarprodukt auf einem normierten Raum eine Norm definiert, stellt sich die Frage, wann eine Norm von einem Skalarprodukt induziert ist. Es gilt: Ist E ein normierter Raum, so gibt es genau dann ein Skalarprodukt, : E E K auf E mit =,, wenn die Norm die sogenannte Parallelogrammidentität erfüllt, d.h. wenn für alle x, y E gilt: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Ein linearer Raum E heißt ein Hilbertraum, wenn er mit der durch das Skalarprodukt definierten Norm 22

23 vollständig ist. Analog wie schon bei beliebigen normierten Räumen, können wir die kanonische Einbettung : E E betrachten. Ist E ein normierter Raum, dessen Norm die Parallelogrammidentität erfüllt, so erfüllt per isometrischer Isomorphie auch die Norm auf (E) E die Parallelogrammidentität. Aus Stetigkeitsgründen folgt dies dann auch für (E) E. Da (E) E als abgeschlossener Teilraum von E vollständig ist und seine Norm die Parallelogrammidentität erfüllt, ist also (E) E ein Hilbertraum die sogenannte Hilbertraumvervollständigung von E. Von zentraler Bedeutung u.a. für den Beweis des Satzes von Riesz ist die folgende Aussage: Lemma. Sei H ein Hilbertraum und M H ein abgeschlossener lineaerer Teilraum von H. Dann läßt sich H darstellen als H = M M und jedes x H besitzt eine eindeutige Zerlegung der Form x = x 1 + x 2 mit x 1 M und x 2 M. Dabei bezeichnet M die Menge aller Elemente von H, deren Skalarprodukt mit allen Elementen aus M Null ergibt. 5.2 Der Satz von Riesz Bei Hilberträumen läßt sich im wesentlichen bereits der Dualraum mit dem Ursprungsraum identifizieren, wie der Satz von Riesz zeigt: Satz von Riesz. Sei H ein Hilbertraum. Zu y H definiere f y : H K durch f y (x) := x, y. Dann ist f y H und die Abbildung H H, y f y ist eine bijektive, konjugiert lineare, isometrische Abbildung. Wegen f y (x) = x, y y x liefert die Chauchy-Schwarzsche Ungleichung sofort die Beschränktheit und aus der Beobachtung f y (y) = y 2 folgt sofort die Isometrie der Abbildung (die damit auch automatisch injektiv ist). Die Tatsache, dass y f y konjugiert linear ist, folgt aus der Tatsache, dass das Skalarprodukt stets konjugiert linear in der zweiten Komponente ist. Interessant ist eher wie schon bei der Charakterisierung der Dualräume von l p für 1 p < und c 0 die Surjektivität der Abbildung nachzuweisen. Ist f H gegeben, so gilt es ein entsprechendes y H zu finden mit f = f y. Aus der Defintion von f y folgt, dass man y aus (ker f) wählen muß. Wegen dim H/ ker f = dim H (dim H dim K = 1 ist H\ ker f nicht leer. Da ker f ein abgeschlossener linearer Teilraum von H 23

24 ist, läßt sich H schreiben als H = ker f (ker f). Wählt man ein z H mit z = x + y, x ker f, y (ker f) und f(z ) = 1, so gilt auch f(y ) = 1. Für ein beliebiges z H gilt z = (z f(z) y ) + f(z) y und folglich z, y = z f(z) y, y + f(z) y, y = f(z) y, y, also f(z) = z, y 2 y für jedes z H. Wähle also y := y 2 y. Mit Hilfe des Satzes von Riesz läßt sich auch H als Hilbertraum identifizieren: Zu jedem f H sei y f H dasjenige Elemente mit f = f yf. Definiere auf H ein Skalarprodukt durch f, g := y g, y f für alle f, g H. Dann ist die durch das Skalarprodukt auf H definierte Norm die gleiche, wie die ursprüngliche Operatornorm der beschränkten linearen Funktionale auf H (Isometrie der Abbildung H H aus dem Satz von Riesz). Ferner gilt: Satz. Hilberträume sind stets reflexiv. Zu jedem ϕ H existiert nämlich nach dem Satz von Riesz ein f ϕ H mit ϕ(f) = f, f ϕ für alle f H. Zu f ϕ existiert ein y fϕ H mit f ϕ (x) = x, y fϕ für alle x H. Damit gilt: ŷ fϕ (f) = f(y fϕ ) = y fϕ, y f = f, f ϕ = ϕ(f) für alle f H, d.h. ϕ = ŷ fϕ. Die letzten Resultate lassen sich schön am Beispiel des Folgenraums l 2 verdeutlichen. Einerseits ist l 2 reflexiv, wie wir bereits bei der Charakterisierung seines Dualraums gesehen haben. Andererseits kann aber nach eben dieser Charakterisierung bereits (l 2 ) wieder mit l 2 identifiziert werden. Das Skalarprodukt auf l 2 ist definiert durch x, y = n=1 x n y n für alle x, y l 2. Als eine weitere wichtige Folgerung aus dem Satz von Riesz erhält man, dass der Satz von Hahn-Banach für Hilberträume nicht nur eine Existenzaussage über die Fortsetzung beschränkter linearer Funktionale von Teilräumen auf den Gesamtraum macht, sondern dass er sogar eine eindeutige Fortsetzung liefert, deren Existenz mit Hilfe des Satzes von Riesz sogar konstruktiv gezeigt werden kann: Satz von Hahn-Banach für Hilberträume. Sei H ein Hilbertraum und F H ein linearer Teilraum. Dann existiert zu jedem f F genau ein l H mit l F = f und l = f. Zum Abschluß dieses Abschnittes über den Satz von Riesz noch eine weitere Folgerung, die eine Verbindung zwischen Hermiteschen Formen und beschränkten 24

25 linearen Operatoren im Hilbertraum herstellt: Folgerung aus dem Satz von Riesz. Sei H ein Hilbertraum und A B(H). Definiere ϕ : H H K durch ϕ(x, y) := Ax, y für alle x, y H. Dann ist ϕ eine Hermetische Form und es gilt: sup x,y H,x,y 0 sup x,y H,x,y 0 ϕ(x, y) x y = A. Ist umgekehrt ϕ : H H K eine Hermitesche Form mit der Eigenschaft, dass ϕ(x,y) sup x,y H,x,y 0 <, so existiert genau ein A B(H) mit ϕ(x, y) = Ax, y x y für alle x, y H und ϕ(x, y) x y = A. Insbesondere folgt aus dieser Aussage, dass sich die Norm eines Operators A B(H) berechnen läßt als A = sup{ Ax, y : x, y H, x = y = 1}. 5.3 Summierbarkeit in Hilberträumen Sei E ein normierter Raum. Dann heißt {x ι : ι I} E für eine Indexmenge I summierbar zu x E, falls es zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge I ε I von I gibt, so dass für jede endliche Teilmenge J I mit J I ε gilt: ι J x ι x ε. Man schreibt dann: x = ι I x ι. Eine Familie {x ι : ι I} E kann nur zu genau einem x E summierbar sein. Ferner gilt: Ist {x ι : ι I} E summierbar zu x und {y ι : ι I} E summierbar zu y, so gilt: {x ι + y ι : ι I} E ist summierbar zu x + y und {λ x ι : ι I} E ist summierbar zu λ x für λ K. Ist E ein Banachraum, so läßt sich Summierbarkeit zusätzlich wie folgt charaktersieren: (i) {x ι : ι I} E ist summierbar genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge I ε I von I gibt, so dass für jede endliche Teilmenge J I mit J I ε = gilt: ι J x ι ε. (ii) {x ι : ι I} E ist summierbar zu x E genau dann, wenn die Menge J := {ι I : x ι 0} endlich oder höchstens abzählbar unendlich ist und für jede Abzählung N I, k ι k gilt: x = lim n n k=1 x ι k. 25

26 Eigenschaft (i) entspricht im wesentlichen der Aussage, dass bei der Konvergenz von Reihen reeller Zahlen die entsprechenden Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Eigenschaft (ii) besagt in gewisser Weise, dass eine durch die Abzählung bedingte Umordnung der Summanden das Konvergenzverhalten nicht ändert. Beide Aussagen werden durch Rückbezug auf die ursprüngliche obige Definition der Summierbarkeit bewiesen. Sowohl für den Beweis von (i) als auch für den Beweis von (ii) ist eine notwendige Voraussetzung, dass Cauchy-Folgen in E stets einen Limes besitzen, weshalb die Vollständigkeit als Voraussetzung notwendig ist. Ist H ein Prähilbertraum (d.h. ein linearer Raum mit Skalarprodukt) und {x ι : ι I} H summierbar zu x H, so gilt: ι I x ι, y = ι I x ι, y für alle y H. Ist H ein Hilbertraum und {x ι : ι I} H eine Familie paarweise orthogonaler Elemente von H, so ist {x ι : ι I} H summierbar in H genau dann, wenn { x ι 2 : ι I} R summierbar in R ist. Ferner gilt die folgende verallgemeierte Version des Satzes von Pythagoras: ι I x 2 ι = ι I x ι 2. Die Aussage folgt wieder durch Rückbezug auf die ursprüngliche Definition von Summierbarkeit und aus der Tatsache, dass die verallgemeinerte Version des Satzes von Pythagoras für jede Summe über eine endliche Teilindexmenge J I gilt. Ist H ein Prähilbertraum und {x ι : ι I} H ein orthonormiertes System in H (d.h. paarweise verschiedene Elemente von H sind orthogonal zueinander und alle Elemente x ι haben die Norm 1), so gilt stets: Besselsche Ungleichung. ι I x, x ι 2 x 2 für alle x H. Parzelvalsche Gleichung. ι I x, x ι 2 = x 2 für alle x H genau dann, wenn sich jedes x H schreiben läßt als x = ι I x, x ι x ι. 5.4 Basen und Dimension von Hilberträumen Ein orthonormiertes System {x ι : ι I} H in einem Hilbert H heißt maximal, vollständig oder Basis von H, falls es kein weiteres orthonormiertes System in H gibt, welches eine echte Obermenge von {x ι : ι I} ist. Die obige Korrespondenz von Summierbarkeit in einem beliebigen Hilbertraum einerseits und Summierbarkeit in R andererseits motiviert zu der Definition der sogenannten direkten Summe von Hilberträumen. Ist H ι, ι I eine Familie von Hilberträumen, so bezeichnet ι I H ι die Menge aller (x ι ) ι I ι I H ι aus dem mengentheoretischen Produkt der Hilberträume H ι mit der Eigenschaft, dass { x ι 2 : ι I} R} summierbar in R ist. Mit Hilfe der Chauchy-Schwarzschen 26

27 Ungleichung und der Hölderschen Ungleichung läßt sich zeigen, dass ι I H ι mit der komponentenweisen Addition (x ι ) ι I + (y ι ) ι I := (x ι + y ι ) ι I und der skalaren Multiplikation λ (x ι ) ι I := (λ x ι ) ι I ein linearer Raum ist, auf dem sich ein Skalarprodukt vermöge (x ι ) ι I, (y ι ) ι I := ι I x ι, y ι definieren läßt. Damit gilt insbesondere (x ι ) ι I = ι I x ι 2. Analog zum Beweis, dass die Räume l p für 1 p vollständig sind, läßt sich auch hier zeigen, dass der so definierte Prähilbertraum ι I H ι ein Hilbertraum ist. Dabei wird wesentlich ausgenutzt, dass jeder der Räume H ι, ι I für sich betrachtet ein Hilbertraum ist. Sei {x ι : ι I} H ein orthonormiertes System im Hilbertraum H. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) {x ι : ι I} H ist eine Basis von H. (ii) Der von den x ι, ι I erzeugte lineare Teilraum von H (d.h. die Menge aller endlichen Linearkombinationen dieser Elemente) liegt dicht in H. (iii) H ist isometrisch isomorph zu ι I K x ι vermöge der Abbildung K x ι H, (λ ι x ι ) ι I λ ι x ι ι I ι I (iv) Jedes x H läßt sich schreiben als x = ι I x, x ι x ι (Fourier-Entwicklung) (v) Für alle x, y H gilt: x, y = ι I x, x ι x ι, y Mit Hilfe des Lemmas von Zorn und einigen Hilfsmitteln wie etwa des Prinzips der Linearen Fortsetzung aus der Linearen Algebra kann man zeigen: (i) Jeder Hilbertraum H {0} besitzt eine Basis und je zwei Basen haben stets gleich viele Elemente. Damit ist die (Hilbertraum-)Dimension von H als Anzahl der Elemente einer Basis von H wohldefiniert. (ii) Zwei Hilberträume H 1 und H 2 über demselben Körper sind genau dann isometrisch isomorph (d.h. es existiert eine bijektive lineare Abbildung von H 1 in H 2, die das Skalarprodukt erhält), wenn gilt: dim H 1 = dim H 2. 27

28 Betrachtet man also einen beliebigen Hilbertraum H und ist I eine Indexmenge der Mächtigkeit dim H, so ist H isometrisch isomorph zu l 2 (I) (dies folgt sofort, wenn man auf l 2 (I) die Menge der verallgemeinerten n-ten Einheitsvektoren betrachtet der von ihnen erzeugte lineare Teilraum liegt dicht in l 2 (I) und die Elemente bilden ein orthonormiertes System und damit eine Basis der Mächtigkeit dim H). Dies löst in gewißer Weise ein Klassifikationsproblem auf der Gesamtheit aller Hilberträume: Wir können jeden Hilbertraum H mit dim H = I bis auf isometrische Isomorphie mit l 2 (I) als der kanonischen Normalform aller Hilberträume dieser Dimension identifizieren. Als Folgerung aus dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren erhält man, dass ein Hilbertraum genau dann höchstens abzählbar unendlich dimensional ist, wenn er separabel ist (d.h. wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge enthält aus welcher man eine dichte linear unabhängige Teilmenge des Hilbertraums auswählen und mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren in eine Basis transformieren kann). Zum Beispiel ist der Hilbertraum L 2 [ π, π] separabel: Dazu betrachten wir den Prähilbertraum C[ π, π] mit dem Skalarprodukt f, g := π π f(t) g(t)dt. Die durch das Skalarprodukt definierte Norm ist die 2-Norm. Betrachte nun die Funktionen u n (t) := 1 2π e int, n Z. Dann gilt: u n 2 2 = π π 1 e int 1 e int dt = 1 π 2π 2π 2π 1 dt = 1 π und ebenso folgt aus den entsprechenden Symmetrieeigenschaften von sin(t) und cos(t) für m n u n, u m = 1 π 2π e i(n m)t dt = 0, π d.h. {u n : n Z} bildet ein orthonormiertes System in C[ π, π]. Sei A := LH{u n : n Z} die lineare Hülle, d.h. alle endlichen Linearkombinationen der u n, n Z. Dann ist A eine Algebra von Funktionen und es gilt: (i) Ist f A, so folgt auch f A. (ii) Zu jedem s [ π, π] existiert ein f A mit f(s) 0. (iii) Zu s, t [ π, π] mit s t existiert ein f A mit f(s) f(t). 28