III. Prinzipien der Funktionalanalysis

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1 III. Prinzipien der Funktionalanalysis 9 Der Satz von Hahn-Banach 9.1 Momentenproblem. a) Es seien X ein normierter Raum, (x n ) n=0 eine Folge in X und (α n ) n=0 eine Folge in K. Gibt es eine stetige Linearform f X mit f(x n ) = α n, n = 0, 1, 2,...? (1) b) Eine notwendige Bedingung für (1) ist n λ k α k C n λ k x k, n N 0, λ k K, (2) k=0 k=0 mit C = f. Gilt umgekehrt (2), so kann man auf V := sp {x n } n=0 eine Linearform durch f 0 ( n λ k x k ) := k=0 n k=0 definieren, und man hat f 0 C. λ k α k, n N 0, (3) c) Man erhält so eine Lösung von (1), wenn man die stetige Linearform f 0 V zu einer solchen auf ganz X fortsetzen kann. Dies ist in der Tat möglich; in 9.3 und 9.4 wird ein etwas allgemeineres Resultat bewiesen. 9.2 Definition. Es sei E ein Vektorraum über R. Ein sublineares Funktional auf E ist eine Abbildung p : E R mit p(x + y) p(x) + p(y), x, y E, (4) p(tx) = t p(x), x E, t 0. (5) Halbnormen sind Beispiele sublinearer Funktionale. 9.3 Theorem (Hahn-Banach). Es seien E ein reeller Vektorraum und V E ein Unterraum. Weiter seien p : E R sublinear und f 0 : V R linear mit f 0 (x) p(x) für alle x V. Dann gibt es eine Linearform f : E R mit f V = f 0 und p( x) f(x) p(x), x E. (6) Zum Beweis wird der Definitionsbereich von f 0 sukzessive um jeweils eine Dimension erweitert und dann das Zornsche Lemma verwendet. 9.4 Theorem (Hahn-Banach). Es seien E ein Vektorraum über K = R oder K = C und V E ein Unterraum. Weiter seien p : E R eine Halbnorm und f 0 : V R linear mit f 0 (x) p(x) für alle x V. Dann gibt es eine Linearform f : E R mit f V = f 0 und f(x) p(x), x E. (7)

2 9.5 Spezialfall des Satzes von Hahn-Banach. Es seien X ein normierter Raum über K = R oder K = C, V X ein Unterraum und f 0 V eine stetige Linearform auf V. Dann hat f 0 eine Fortsetzung zu einer stetigen Linearform f X auf X mit f = f 0. Zum Beweis wählt man in 9.4 einfach p(x) = f 0 x. Für Hilberträume X folgt diese Aussage sofort aus Kanonische Einbettung. a) Es seien X ein normierter Raum und x X. Dann gibt es f X mit f = 1 und f(x) = x. Folglich gilt x = max { f(x) f X, f = 1}, x E. (8) b) Die kanonische Einbettung ι = ι X : X X von X in den Bidualraum X = (X ) ist gegeben durch (ιx) (f) := f(x), x E, f X. (9) Nach (8) ist ι X eine Isometrie. c) Mittels der kanonischen Einbettung läßt sich eine Vervollständigung von X konstruieren (vgl. 1.14). Man nimmt als X einfach den Abschluß von ι(x) im Banachraum X. 9.7 Definition. Ein normierter Raum X heißt reflexiv, falls die kanonische Einbettung ι = ι X : X X surjektiv ist. 9.8 Bemerkungen. a) Hilberträume sind reflexiv wegen 6.7. b) Reflexive normierte Räume sind vollständig. c) Mit X ist auch jeder zu X isomorphe Banachraum reflexiv. d) Nach R.C. James gibt es nicht reflexive Banachräume J mit J = J. 9.9 Bemerkungen. a) Ist X reflexiv, so gilt für alle f X wegen (8) f = max { f(x) x X, x = 1} ; (10) das Supremum in (2.4) wird in diesem Fall also angenommen. b) Für X = c 0 oder X = C[0, 1] dagegen ist dies nicht der Fall. Diese Räume sind also nicht reflexiv Satz. Es seien V ein abgeschlossener Unterraum eines normierten Raumes X und x 0 X\V. Dann gibt es eine stetige Linearform f X mit f V = 0 und f(x 0 ) 0. Zum Beweis wendet man 9.6 a) auf den Quotientenraum X /V an Satz. Ein Banachraum X ist genau dann reflexiv, wenn dies auf den Dualraum X zutrifft Satz. Es sei X ein normierter Raum, dessen Dualraum X separabel ist. Dann ist auch X separabel.

3 9.13 Beispiel. Der Banachraum C[a, b] ist nach dem Weierstraßschen Approximationssatz 4.11 separabel. Dagegen ist der Dualraum C[a,b] nicht separabel, da für die überabzählbar vielen δ -Funktionale stets δ x δ y = 2 für x y [a,b] gilt. Insbesondere ist C[a,b] nicht reflexiv (vgl. auch 9.9 b)). Aus Satz 9.10 und der Jensen-Formel aus der Funktionentheorie erhält man die folgende Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes: 9.14 Theorem (Müntz-Szasz). Es seien (0 < λ 1 < λ 2 < λ 3 <...) eine streng monoton wachsende Folge und V der Abschluß von sp {1,t λ 1,t λ 2,t λ 3,...} in C[0, 1]. a) Es gilt genau dann V = C[0, 1], wenn b) Im Fall 1 λ k = ist. 1 λ k < gilt t λ V für alle 0 λ {λ k }.

4 10 Dualräume und duale Operatoren 10.1 Definition. Es seien X,Y normierte Räume. Für T L(X,Y ) definiert man den dualen oder transponierten Operator T : Y X durch T y := y T für y Y Notation. Für x X und x X wird die Notation x,x := x (x) (1) verwendet. Definition 10.1 läßt sich dann so schreiben: Tx,y = x,t y, x X, y Y. (2) Dies betont die Analogie zu adjungierten Operatoren im Hilbertraumfall. Es gibt allerdings i. a. keine selbstdualen Operatoren, da T und T auf verschiedenen Räumen operieren Satz. Für T L(X,Y ) gilt T L(Y,X ) und T = T. Aus dem Satz von Arzelà-Ascoli 7.6 ergibt sich (vgl. auch 8.14 a)): 10.4 Satz (Schauder). Für einen kompakten Operator T K(X,Y ) ist auch T K(Y,X ) kompakt Definition. Es sei X ein normierter Raum. Für nichtleere Mengen M X und N X werden die Annihilatoren definiert durch M := {x X x,x = 0 für x M}, (3) N := {x X x,x = 0 für x N}. (4) Analog zu 6.6 und 6.10 gilt aufgrund von Satz 9.10: 10.6 Satz. a) Es ist N ein abgeschlossener Unterraum von X. b) Für M X gilt (M ) = sp M. c) Für T L(X,Y ) hat man R(T) = N(T ) und R(T) = N(T ). (5) Ist R(T) abgeschlossen, so gilt also R(T) = N(T ) Minimalmodul. a) Für einen Operator T L(X,Y ) schneidet man den Kern weg durch die Definition ˆX := X /N(T) und ˆT : ˆX Y, ˆT(ˆx) := Tx, x X. (6) Es ist ˆT L( ˆX,Y ) wohldefiniert und injektiv mit ˆT = T und R( ˆT) = R(T). b) Der (reduzierte) Minimalmodul von T L(X, Y ) ist Tx γ(t) := inf { dist (x,n(t)) x X\N(T)} = inf { ˆT ˆx ˆx ˆx ˆX\{0}}. (7)

5 10.8 Satz. Für T L(X,Y ) gelte γ(t) > 0. Dann ist R(T) abgeschlossen und T : X R(T) eine offene Abbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung von In?? wird auch die Umkehrung dieser Aussage gezeigt Satz. Es seien X ein normierter Raum und V X ein abgeschlossener Unterraum. Dann hat man die kanonischen Isometrien V = X /V und ( X /V ) = V. (8) Satz. Es seien X ein reflexiver Banachraum und V X ein abgeschlossener Unterraum. Dann sind auch V und X /V reflexiv Dualität von l p -Räumen. a) Durch die Formel (Jy)(x) := x k y k, x = (x k ) c 0, y = (y k ) l 1, (9) wird eine bijektive Isometrie J : l 1 c 0 definiert, kurz: c 0 = l 1. b) Es seien 1 p < und = 1. Durch (9) wird auch eine bijektive Isometrie p q J q : l q l p definiert, kurz: l p = l q. c) Die kanonische Einbettung ι p : l p l p ist gegeben durch ι p = (J q) 1 J p ; (10) für 1 < p < ist sie daher bijektiv und l p reflexiv. d) Die Abbildung J 1 : l 1 l ist isometrisch, aber nicht surjektiv. Andernfalls wäre l separabel und nach Satz 9.12 auch l separabel. Wegen c 0 = l liefert dieses Argument auch, daß die Räume c 0, l 1 und l nicht reflexiv sind. Die Aussagen von b)-d) gelten auch für allgemeinere L p -Räume, die Beweise sind dann aber wesentlich schwieriger. Ein positives Maß µ auf einer σ -Algebra in einer Menge M heißt σ -endlich, wenn M = M k mit µ(m k ) < für k N gilt Theorem. Es seien 1 p <, = 1 und µ ein σ -endliches Maß auf p q einer σ -Algebra in einer Menge M. Durch die Formel (Jg)(f) := M f(t)g(t)dµ, f L p(µ), g L q (µ), (11) wird eine bijektive Isometrie J : L q (µ) L p (µ) definiert, kurz: L p (µ) = Lq (µ). Beweis. a) Man sieht leicht, daß J : L q (µ) L p (µ) eine Isometrie ist. b) Ein möglicher Beweis der Surjektivität von J beruht auf dem Satz von Radon- Nikodym (vgl. Meise-Vogt, 13 oder Rudin: Real and Complex Analysis, Ch. 6). c) Für 1 p 2 kann man die Surjektivität auch unter Verwendung des trivialen Spezialfalls p = 2 (vgl. 6.7) beweisen, zuerst für den Fall µ(m) <. d) Ein anderer Beweis für den Fall 1 < p < folgt in Abschnitt 12; dabei braucht µ nicht σ -endlich zu sein.

6 10.13 Satz. Es seien 1 < p <, = 1 und µ ein positives Maß auf einer p q σ -Algebra in einer Menge M. Dann ist der Raum L p (µ) reflexiv. Dies folgt aus Theorem wie in c). In Abschnitt 12 wird umgekehrt der noch unbewiesene Teil d) von Theorem aus Satz hergeleitet Theorem (Riesz). Es seien M ein kompakter metrischer (oder topologischer) Raum und ϕ C(M) eine stetige Linearform auf C(M). Dann gibt es genau ein reguläres positives Borel-Maß µ auf M mit µ(m) = ϕ und genau eine Funktion g L (µ) mit g(t) = 1 fast überall mit ϕ(f) = M f(t)g(t)dµ, f C(M). (12) Beweis. a) Es sei ϕ = 1. Für 0 f C(M) setzt man λ(f) := sup { ϕ(h) h C(M), h f} (13) und erweitert λ zu einer positiven Linearform auf C(M). Dann gilt ϕ(f) λ( f ) f, f C(M). (14) b) In der Integrationstheorie wird gezeigt, daß es zu λ ein eindeutig bestimmtes reguläres positives Borel-Maß µ auf M mit µ(m) = 1 gibt mit λ(f) = M f(t)dµ, f C(M) (15) (vgl. etwa [A3], Kap. I). c) Wegen ϕ(f) f L1 (µ) aufgrund von (14) kann ϕ zu einer stetigen Linearform auf L 1 (µ) fortgesetzt werden, und man verwendet Theorem Einzelheiten des Beweises findet man wieder bei Meise-Vogt, 13.9/10 oder Rudin: Real and Complex Analysis, 6.19.

7 11 Schwache Konvergenz 11.1 Definition. Es sei X ein normierter Raum. a) Eine Folge (x n ) in X konvergiert schwach gegen x X, Notation: x n w x, falls gilt x n,x x,x für alle x X. (1) b) Eine Folge (x n) in X konvergiert schwach* gegen x X, Notation: x w n x, falls gilt x,x n x,x für alle x X. (2) 11.2 Beispiele. a) Es sei e n = (δ nj ) j=1 der n -te Einheitsvektor in l p. Offenbar ist e n = 1 für alle 1 p. b) Für 1 < p < und y = (y j ) j=1 l q = l p gilt e n,y = y n 0, also e n w 0. c) In l 1 gilt e n w 0 aber nicht e n w 0. Für x = (x j ) j=1 c 0 hat man in der Tat x,e n = x n 0, für y := (1, 1, 1,...) j=1 l = l 1 aber e n,y = y n Bemerkungen. a) Norm-Konvergenz impliziert die schwache Konvergenz und diese (in Dualräumen) die schwach*-konvergenz. b) Aus x n w x in X bzw. x n w x in X folgt x lim inf x n bzw. x lim inf x n. (3) Dies bedeutet, daß die Norm schwach unterhalbfolgenstetig bzw. schwach* unterhalbfolgenstetig ist. Die Beispiele 11.2 zeigen, daß man in (3) i. a. keine Gleichheit hat. Die Norm ist auch nicht schwach oberhalbfolgenstetig, da die Aussage x lim sup x n nicht gilt. c) Es sei T L(X,Y ). Aus x w n x in X bzw. y n w y in Y folgt dann Tx w n Tx in Y bzw. T y n w T y in X. d) Es sei V ein Unterraum des normierten Raumes X. Für eine Folge (v n ) in V gilt dann aufgrund des Satzes von Hahn-Banach 9.5 v n w v in V v n w v in X. (4) 11.4 Satz. Schwach konvergente Folgen in X und schwach*-konvergente Folgen in X sind norm-beschränkt. Ein Beweis folgt in Beispiele. a) Es sei M ein kompakter metrischer (oder topologischer) Raum. Eine Folge (f n ) konvergiert genau dann schwach gegen f in C(M), wenn sup f n < und f n (x) f(x) für alle x M (5) n N gilt. Zum Beweis verwendet man Theorem und den Satz über majorisierte Konvergenz.

8 b) Es seien 1 p < und 1 p + 1 q = 1. Eine Folge (y(n) ) konvergiert genau dann schwach* gegen y in l q = l p, wenn sup y (n) < und y (n) k y k für alle k N (6) n N gilt. Diese Bedingung beschreibt auch die schwache Konvergenz in l p für 1 < p < und die schwach*-konvergenz in l 1 = c 0. Dagegen gilt: 11.6 Satz. Eine Folge in l 1 ist genau dann schwach konvergent, wenn sie Normkonvergent ist. Der Beweis benutzt die Methode des gleitenden Buckels. Mit 11.3 d) ergibt sich, daß l p für 1 < p < nicht zu einem Unterraum von l 1 isomorph ist Trennungssatz. Es seien X ein normierter Raum und A,B X disjunkte konvexe Mengen. a) Ist A offen, so gibt es x X und γ R mit Re a,x < γ Re b,x für a A, b B. (7) b) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so gibt es x X und γ 1 < γ 2 R mit Re a,x γ 1 < γ 2 Re b,x für a A, b B. (8) 11.8 Folgerung. Es seien X ein normierter Raum und B X eine konvexe abgeschlossene Menge. Dann ist B auch schwach folgenabgeschlossen, d. h. aus B b n w x X folgt stets x B. Nach 11.2 gilt dies nicht für die Einheitssphäre von l p für 1 < p < Folgerung (Mazur). In einem normierten Raum X gelte x w n x. Zu ε > 0 n gibt es dann n N und s k [0, 1] mit s k = 1 und n s k x k x < ε Absolutkonvexe Mengen. a) Eine Teilmenge B E eines Vektorraums heißt absolutkonvex, falls gilt x,y B und s,t K mit s + t 1 s x + t y B. (9) Kugeln in normierten Räumen sind absolutkonvex. Durch Γ(M) := { n s k x k n N, x k M, s k [0, 1], ist die absolutkonvexe Hülle von M E gegeben. n s k 1} (10) b) Es seien X ein normierter Raum, B X eine absolutkonvexe Menge und a X\B. Ist B offen, so gibt es x X mit x,x < a,x für alle x B, (11) ist B abgeschlossen, so gibt es x X mit sup x,x < a,x. (12) x B

9 11.11 Polaren. a) Es sei X ein normierter Raum. Für nichtleere Mengen M X und N X werden die Polaren definiert durch M := {x X x,x 1 für x M}, (13) N := {x X x,x 1 für x N}. (14) b) Polaren sind stets absolutkonvex. Es gilt der Bipolarensatz (M ) = Γ(M) für M X. (15) Definition. Es sei X ein normierter Raum. Eine Menge M X [bzw. N X ] heißt schwach folgenkompakt, [ schwach*-folgenkompakt,] wenn jede Folge in M [ N ] eine in M [ N ] schwach [ schwach*-] konvergente Teilfolge hat Satz. Es sei X ein separabler normierter Raum. Dann ist die duale Einheitskugel B := {x X x 1} schwach*-folgenkompakt Beispiel. a) Man definiert stetige Linearformen auf X := L [0, 1] durch ε 0 ϕ ε (f) := 1 f(t)dt, ε > 0. (16) ε Dann ist ϕ ε = 1, und für f C[0, 1] gilt ϕ ε (f) f(0) = δ(f). Es gibt aber keine Nullfolge ε k 0, für die (ϕ εk ) in L [0, 1] schwach*-konvergiert. b) Satz ist also ohne die Annahme der Separabilität von X i. a. so nicht richtig. Nach dem Satz von Alaoglu-Bourbaki ist aber B stets kompakt in der schwach*- Topologie, vgl. dazu?? Satz. In einem reflexiven Banachraum X ist die Einheitskugel B := {x X x 1} schwach folgenkompakt. Es ist B sogar genau dann schwach (folgen)kompakt, wenn X reflexiv ist. Aus den Sätzen von Mazur 11.9 und ergibt sich: Satz. Es seien X ein reflexiver Banachraum und = C X eine abgeschlossene konvexe Menge. Eine unterhalbstetige konvexe Funktion u : C [0, ) mit u(x) für x C, x (17) besitzt ein Minimum auf C. Ein Spezialfall ist die folgende Verallgemeinerung des Projektionssatzes 6.1: Satz. Es seien X ein reflexiver Banachraum und = C X eine abgeschlossene konvexe Menge. Zu x X gibt es ein c C mit x c = d C (x) = inf { x y y C}. (18) Die Frage der Eindeutigkeit der Minimalstelle wird im nächsten Abschnitt untersucht Satz. Es seien X,Y Banachräume und T : X Y ein kompakter linearer Operator. Aus x n w x in X folgt dann Tx Tx n Y Satz. Es seien X,Y Banachräume, X reflexiv und T : X Y ein stetiger linearer Operator, der schwach konvergente Folgen in norm-konvergente Folgen abbildet. Dann ist T kompakt. Nach Satz 11.6 ist dies für X = l 1 nicht richtig.

10 12 Uniform konvexe Räume 12.1 Definition. Ein normierter Raum X heißt strikt normiert, wenn seine Einheitssphäre S = {x X x = 1} keine Strecke enthält, wenn also gilt x = y = 1 und 1 (x + y) = 1 x = y. (1) Beispiele. a) Die Räume l 2 1 und l 2 sind nicht strikt normiert, und dies gilt auch für alle Räume mit L 1 - und L -Normen. b) Für 1 < p < sind L p -Räume strikt normiert Satz. Es seien X ein strikt normierter Banachraum und = C X eine abgeschlossene konvexe Menge. Zu x X gibt es dann höchstens ein c C mit x c = d C (x) = inf { x y y C}. (2) 12.4 Definition. Ein normierter Raum X heißt uniform konvex, falls für je zwei Folgen (x n ) und (y n ) in X mit n lim x n = n lim y n = 1 gilt: lim n 1 2 (x n + y n ) = 1 n lim x n y n = 0. (3) Uniform konvexe Räume sind strikt normiert Lemma. Für 2 p < und Zahlen a,b C gilt a + b p + a b p 2 p 1 ( a p + b p ). (4) 12.6 Satz. Es sei µ ein positives Maß auf einer σ -Algebra in einer Menge M. Für 2 p < ist dann der Raum L p (µ) uniform konvex. Beweis. Es seien (f n ) und (g n ) Folgen in L p (µ) mit n lim f n = n lim g n = 1. Wegen (4) ist dann lim sup ( f n + g n p + f n g n p ) 2 p, und aus lim n 1 2 (f n + g n ) = 1 folgt sofort lim n f n g n = 0. Der Satz gilt auch für 1 < p < 2 ; der Beweis eines zu 12.5 analogen Lemmas ist dann schwieriger (vgl. Hirzebruch-Scharlau, 17). Eine Variante von 9.1 ist: 12.7 Satz (Helly). Gegeben seien ein normierter Raum X, stetige Linearformen {f 1,...,f n } X und Zahlen {α 1,...,α n } K. Es gebe C > 0 mit n λ k α k C n λ k f k für alle λ k K. (5) Zu ε > 0 gibt es dann einen Vektor x X mit x < C + ε und f k (x) = α k, k = 1,..., n. (6)

11 Beweis. a) Man definiert T L(X, K n ) durch Tx := (f k (x)) n. Dann ist (vgl. 10.7) ˆT : X /N(T) R(T) K n ein Isomorphismus und daher T : X R(T) eine offene Abbildung. b) Ist die Behauptung für ε > 0 falsch, so gilt also α := (α k ) n T(B C+ε (0)). Nach Satz 9.10 bzw b) gibt es dann λ = (λ k ) n (K n ) mit Tx,λ < α,λ für alle x B C+ε (0) im Widerspruch zu (5) Satz (Milman-Pettis). Ein uniform konvexer Banachraum X ist reflexiv. Beweis. a) Es sei F X mit F = 1. Es gibt eine Folge (f n ) in X mit f n = 1 und F(f n ) > 1 1 n für n N. Nach Satz 12.7 gibt es x n X mit f k (x n ) = F(f k ), k = 1,..., n und x n n. (7) b) Für m n hat man 2 2 n F(f n) + F(f n ) = f n (x n ) + f n (x m ) x n + x m n, (8) und wegen (3) ist (x n ) eine Cauchy-Folge in X. Für x := lim n x n X gilt dann x = 1 und f k (x) = F(f k ), k N. (9) c) Wegen (8) ist x X durch (9) eindeutig bestimmt. Ist nun f 0 X beliebig, so konstruiert man zu der Folge (f n ) n 0 wie in b) ein x 0 X mit (9). Es folgt x = x 0 und somit f 0 (x) = F(f 0 ), also F = ι X (x) Folgerung. Es sei µ ein positives Maß auf einer σ -Algebra in einer Menge M. Für 1 < p < ist dann der Raum L p (µ) reflexiv. Beweis. Für 2 p < folgt dies unmittelbar aus den Sätzen 12.6 und Für 1 < p < 2 ist dann L q (µ) reflexiv, also auch L q (µ) und der zu einem Unterraum von L q (µ) isometrische Raum L p (µ) (vgl ) Beweis von Theorem Es sei 1 < p < und J : L q (µ) L p (µ) nicht surjektiv. Nach 9.10 gibt es 0 F L p (µ) mit F(J(L q (µ))) = 0. Nach 12.9 ist F = ι(f) mit f L p (µ). Es folgt M f(t)g(t)dµ = 0 für alle g L q(µ) und somit der Widerspruch f = 0.