Funktionalanalysis. Wintersemester 2010/2011 Dr. Tomáš Dohnal, Universität Stuttgart. Inhalt der Vorlesung im Detail

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1 Funktionalanalysis Wintersemester 21/211 Dr. Tomáš Dohnal, Universität Stuttgart Inhalt der Vorlesung im Detail 1. Metrische Räume, normierte Räume und Innenprodukträume; Funktionenräume Metrische Räume Vollständigkeit Banachsche Fixpunktsatz abgeschlossene, offene Menge Vervollständigung Normierte Räume Satz: l p sind Banach-Raueme Lebesgue Integral in R n (sigma-algebra, äusseres Mass, Treppenfunktionen,...) Sätze: monotone Konvergenz, Fatou, majorisierte Konvergenz (ohne Beweise) Satz: L p ist Banach-Raum Satz: X R n, p [1, ) C c (X) dicht in L p (X) bezüglich p Satz: X R n C c (X) dicht in C (X) bezüglich (ohne Beweis) Inneprodukträume Inneprodukt, Hilbertraum Parallelogramidentität Satz: l p, p 2 ist kein I.P.R. Satz: L p, p 2 ist kein I.P.R. (Beweis auf Blatt 3) Kompaktheit in metr. Räumen Satz: Menge ist überdeckungskompakt folgenkompakt Satz von Arzela-Ascoli (mit Beweis) Orthogonalität, Separabilität: orthogonales Komplement direkte Summe Projektionssatz in Hilberträumen Separabilität Satz: l p, p < sind separabel, l nicht separabel Satz: S R n. C(S) ist separabel, (ohne Beweis) Satz: S R n. L p (S), p < ist separabel, L (S) nicht. (ohne Beweis) Schauder Basis Satz: X norm. Raum, X besitzt Schauder Basis X separabel (ohne Beweis) Orthogonalsystem, Orthonormalsystem 1 January 24, 211

2 Orthonormalbasis Satz: Fur Orthonormalsysteme (e n ) gilt: (e n ) Schauder Basis Darstellung durch veralgemeinerte Four. Reihe Parseval Identität Satz: X Hilbertraum. Dann X separabel X besitzt eine O.N.-Basis Sonstiges: Satz (Approximation in L p mittels Faltung durch glatte Funktionen): S R n offen C (S) dicht in L p (S) (Skizze) Hauptsatz über endlich-dimensionale normierte Räume Y : dimy < B 1 () kompakt 2. Stetige lineare Operatoren Satz: Operator ist stetig stetig in x beschränkt Operatornorm Beispiele: Fredholm Integraloperator, Differenzialoperator Satz: (L(X, Y ), ) mit Operatornorm ist Banachraum falls Y Banachraum ist. Satz: Für A : X Y (X, Y norm. Räume) gilt A 1 : D(A) X stetig m > : Ax Y m x X Beispiel 1: Integration (Af)(x) = x f(s)ds ist bijektiv, stetig aber A 1 unstetig (mit. Norm) Beispiel 2: Lösungsoperator (I K) 1 der Reaktionsdiffusionsgl. ist stetig Neumann Reihe für stetige lineare Operatoren A mit lim sup A m 1/m < 1. analytische Funktionen von Operatoren (exp(a) als Beispiel) 3. Stetige lineare Funktionale, Dualräume Def.: Funktional, Dualraum Rieszscher Darstellungssatz (mit isometrischem Isomorphimus) Sesquilinearform (Definition, 2 Beispiele) Satz von Lax-Milgram Sobolevräume, schwache Randwertaufgaben: Sobolevräume H m,p (Konstruktion durch Vervollständigung von C ) schwache Ableitung (Definition, 2 Beipiele: x und eine unstetige Funktion) Satz: Sobolevräume sind Banchräume (p < ) Spursatz in H 1,p (ohne Beweis) Sobolevräume H m,p variationelle Formulierung von Randwertaufgaben schwache Formulierung von Randwertaufgaben Satz: Existenz von schwachen Lösungen zu elliptischen Randwertaufgaben 2. Ordnung (A u) + bu = f, RB: Neumann oder Dirichlet Bemerkung über das Bild des Spuroperators (kleiner als L p ( Ω)) Dualräume: für Hilberträume für l p, p < für c und c (Beweis Blatt 6) für L p (ohne Beweis) Satz: X norm. Raum X Banachraum 2 January 24, 211

3 Bidualraum, Reflexivität normierter Raume kanonische Injektion, Reflexivität Beispiel: jeder Hilbertraum ist reflexiv Beispiel: L p, 1 < p < ist reflexiv Sätze von Hahn-Banach Satz von Hahn-Banach über Fortsetzung von Funktionalen auf Vektorräumen (reelle und komplexe Version) Korollar: Hahn-Banach über Fortsetzung von Funktionalen auf norm. Räumen Korollar: X norm. Raum, Y abgeschlossener UVR, x X Y ψ X : ψ Y, ψ(x ) = 1 Korollar: X nichtrivialer norm. Raum, x 1 X ψ X : ψ = 1, ψ(x 1 ) = x 1 X Korollar: (Punkttrennung) X norm. Raum, x 1, x 2 X, x 1 x 2 ψ X : ψ(x 1 ) ψ(x 2 ) Korollar: x X = sup ψ X, ψ =1 ψ(x) (Beweis - Blatt 7) Anwendung von Hahn-Banach: X separabel X separabel (l ) nicht isomorph zu l 1 Geometrische Version von Hahn-Banach absorbierende Menge A im K Vektorraum Minkowski Funktional µ A Satz: A konvex, absorbierend µ A sublinear Lemma: X norm. Raum, ψ X. Dann gilt (U Xoffen ψ(u) Koffen) Hyperebene Trennungssatz für konvexe disjunkte Mengen A, B X 4. Gleichmässige Beschränktheit, Hauptsätze der Funktionalanalysis Baierscher Kategoriesatz Prinzip der gleichm. Beschränktheit fuer Funktionen aus metrischen Räumen in normierte Raeume Banach-Steinhaus: Prinzip der gleichm. Beschränktheit für lineare stetige Operatoren Anwendung: Existenz einer stetigen Funktion deren Fourier Reihe nicht punktweise konvergiert Lemma: X, Y norm. Raume, A : X Y linear. Dann gilt A offen ( δ > : B δ () A(B 1 ())) Satz der offenen Abbildung Satz der stetigen Inversen Satz vom abgeschlossenen Graphen Anwendung des Graphensatzes: H Hilbertraum, A : H H symmetrisch. Dann ist A stetig. 5. Schwache Konvergenz Motivation: Bedarf an ein Konvergenzbegriff in dem bechränkte Folge konvergente Teilfolge besitzen (Minimierung von Funktionals) Def.: schwache Konvergenz, schwach* Konvergenz, schwach(schwach*) folgenkompaktheit Beispiele der schwachen Konvergenz l 2 : e n f L p (R), p (1, ) f n (x) := f(x n) (für p = 1 gilt nicht) Proposition: u n u in H 1,p (u n u L p und u n / xi u/ xi in L p ) Lemma: 3 January 24, 211

4 (a) schwaches (schwach*) Limes ist eindeutig (b) starke Konvergenz schwache (schwach*) Konvergenz (c) schwache (schwach*) Konvergenz Unterhalbstetigkeit (d) x n x, φ n φ φ n (x n ) φ(x) (e) x n x, φ n φ φ n (x n ) φ(x) Satz von Banach-Alaoglu: X separabler Banachraum B 1 () X schwach* folgenkompakt Kontrabeispiel in L Satz: Für Banachram X ist X swach*-vollständig Lemma (Eigenschaften reflexiver Räume) X reflexiv schwach und schwach* Konvergenz sind aequivalent X reflexiv jeder abgeschl. Unterraum ist reflexiv Satz: X reflexiver Banachraum B 1 () X schwach folgenkompakt Beispiel: H 1,p (Ω), 1 < p < ist reflexiv Satz: X norm. Raum, M X konvex, abgeschl. M schwach folgenabgeschl. Lemma von Mazur: schwaches Limes liegt in der konvexen Hülle Projektionssatz für reflexive normierte Räume Anwendung: Existenz von Minimierern von Funktionalen Satz: Stetige, konvexe Funktionale auf norm. Konvergenz. Räumen sind unterhalbstetig bezüglich der schwachen Satz: Stetige, koerzive, konvexe Funktionale auf reflexiven Banachräumen haben Minimierer. Beispiel: Minimierung der Energie zu einer elliptichen PDE in H 1,2 Existenz und Eindeutigkeit des Minimierers Minimierer ist die schwache Lösung des Dirichlet Problems 6. Kompakte Operatoren Definition: kompakter Operator Beispiel: Integraloperator (Typ 1) Beispiel: Identität Lemma: Eigenschaften kompakter linearer Operatoren (a) A kompakt A stetig (b) A, B kompakt lineare Kombination kompakt (c) A oder B kompakt, der andere stetig AB kompakt (d) A kompakt, A 1 stetig dimx < (e) A stetig, range(a) < A kompakt (f) dim X <, A stetig A kompakt Beweise für b, c, e, f in der Übung - Blatt 11 Beispiel: Integraloperator (Typ 1) auf C[, 1] hat keine stetige Inverse Satz: X norm. Raum, Y Banachraum. K(X, Y ) ist abgeschl. Unterraum von L(X, Y ). Satz: X norm. Raum, Y Hilbertraum. Dann gilt A K(X, Y ) (A n ) L(X, Y ) mit dimr(a n ) < und A A n Satz (Vollstetigkeit kompakter Operatoren): X, Y norm. Räume, X reflexiv, A : X Y linear, dann gilt: A K(X, Y ) (x n x Ax n Ax) 4 January 24, 211

5 Spektrum stetiger linearer Operatoren Definition (für stetige lineare Operatoren auf Banachräumen): Resolventenmenge, Spektrum, Punktspektrum, kontinuierliches und Residualspektrum, Resolvente, Eigenwert, Eigenfunktion Beispiel: endlichdimensionaler Fall - nur Punktspektrum Beispiel: Shift-Operator in l 2 : σ r. Beispiel: X = l 2, Ax = (λ 1 x 1, λ 2 x 2,...) mit (λ n ) l 2, λ n >. Dann σ p (A) = {λ 1, λ 2,...} aber σ p (A) σ(a), da σ c (A). Satz (für stetige lineare Operatoren auf Banachräumen): Resolventemenge ist offen, Resolvente ist eine komplex-analytische Abbildung von ρ(a) nach L(X). Und R(λ; A) 1 dist(λ, σ(a)) für λ ρ(a). Satz (für stetige lineare Operatoren auf Banachräumen): Spektrum ist kompakt und nichtleer und r(a) = lim m A m 1/m A. Proposition: Sei X Banachraum, dim X =, A K(X). Dann σ(a), abe muss nicht ein Eigenwert sein. Satz: Sei X Banachraum, T K(X) und A = I T. Dann dimn(a) <, R(A) abgeschlossen, (N(A) = {} R(A) = X). Spektralsatz für kompakte Operatoren (Riesz-Schauder): Sei A K(X). Dann (a) σ(a)\{} besteht aus abzählbar vielen Eigenwerten und ist der einsig möglicher Häufungspunkt von σ(a). (b) σ(a) \ {} ist endlich oder σ(a) \ {} ist eine Folge, die gegen konvergiert. (c) Für λ σ(a) \ {} ist die Vielfachheit von λ endlich. Fredholm Alternative (kurze Version): Für A K(X), λ ist entweder Ax λx = y für jedes y X eindeutig lösbar, oder hat Ax λx = nichtriviale Lösungen. Beispiel: Integraloperator A K(C([, 1])), (Af)(x) = x k(x, y)f(y)dy. Wird gezeigt, dass σ(a) = σ r (A) = {}. Adjungierte und Selbstadjungierte Operatoren Def.: Hilbert-adjungierter Operator A ; adjungierter Operator A für normierte Räume Proposition: A = Φ 1 X A Φ Y, wobei Φ X : X X, Φ Y : Y Y die Isomorphismen aus Riesz schem Darstellungssatz sind. Beispiel: Jeder Operator A L(l p, l q ) mit 1 < p, q < kann als eine unendliche Matrix M (A) representiert werden und A = M (A)T. Beispiel: A L(L 2 ([, 1])), (Af)(x) := 1 k(x, y)f(y)dy. Dann (A f)(x) := 1 k(y, x)f(y)dy. Satz: (a) (αa 1 + A 2 ) = αa 1 + A 2, (αa 1 + A 2 ) = ᾱa 1 + A 2 für alle α K (b) I = I (c) (A 2 A 1 ) = A 1A 2 (d) A I X = I Y A für A L(X, Y ), wobei I X : X X, I Y : Y Y die kanonische Injektionen sind. (e) A = A Satz (Schauder): A K(X, Y ) A K(Y, X ) Lemma: (a) N(A ) = R(A), wobei Z der Annihilator des Raumes Z ist. (b) Sie Z abgeschlossener Unterraum mit codim(a) <, dann dim Z =codim Z Satz: T K(X), A := I T. Dann gilt dim N(A)= codim R(A) 5 January 24, 211

6 Satz: Fredholm Alternative (volle Version): A K(X), λ. Dann ist für y X die Gleichung Ax λx = y eindeutig lösbar, falls φ(y) = für alle Lösungen φ der homogenen Gleichung A φ λφ =. Die Anzahl der linear unabhängiger Lösungen von A φ λφ = ist gleich der Anzahl der linear unabhängiger Lösungen von Ax λx =. Woche : Normale Operatoren Def.: normaler Operator auf einem Hilbertraum Lemma: A normal Ax X = A x X x X Satz: A normal r(a) = A Spektralsatz für kompakte normale Operatoren Satz: X Hilbertraum über C, A L(X) selbstadjungiert σ p (A) [ T, T ] R und falls A kompakt, dann ist A oder A Eigenwert. Beispiel für selbstadjungierte kompakte Operatoren: selbstadjungierter Integraloperator Woche : Endlich-dimensionale Approximation (Motivation - FEM): - Galerkin-Approximation - Céa-Lemma References [1] H.W. Alt, Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung. Springer [2] B.D. Reddy, Introductory Functional Analysis: With Applications to Boundary Value Problems and Finite Elements, Springer, [3] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley [4] W. Rudin, Reelle und Komplexe Analysis, Oldenbourg, [5] H. Heuser, Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Teubner