Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt

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1 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 1. Berechne die Normen der Operatoren (a) f L [0, 1], M f : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1], (M f g)(x) = f(x)g(x). (b) g C[0, 1], T g : C[0, 1] C, T g x = 1 g(t)x(t) dt. 0 Aufgabe 2. Zeige, daß für die Faltung f g(x) = f(x y) g(y) dy zweier Funktionen f, g L 1 (R) gilt f g 1 f 1 g 1. Aufgabe 3. Zeige, daß jede beschränkte Folge in einem Hilbertraum eine schwach konvergente Teilfolge besitzt. Aufgabe 4. Ein linearer Operator T B(H) nimmt seine Norm an wenn es einen Einheitsvektor x H gibt sodaß T = T x. Finde Beispiele von beschränkten selbstadjungierten Operatoren (a) mit einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. (b) ohne Eigenvektor. der seine Norm nicht annimmt. Aufgabe 5. Sei H ein Hilbertraum und K H eine konvexe Teilmenge. Ein Element x K heißt Extrempunkt wenn für alle x 0, x 1 K und für alle λ ]0, 1[ gilt (1 λ)x 0 + λx 1 = x = x 0 = x 1 = x (a) Zeige, daß jeder Einheitsvektor ein Extrempunkt der Einheitskugel B H (0, 1) ist. (b) Zeige, daß jeder isometrische lineare Operator V B(H) ein Extrempunkt der Einheitskugel B B(H) (0, 1) ist. Aufgabe 6. Sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt.,. und A B(H) + ein positiv semidefiniter linearer Operator. Zeige: (a) x, y A = Ax, y definiert eine positiv semidefinite Sesquilinearform. (b) A = min{a R A ai} (c) Das innere Produkt.,. A ist positiv definit genau dann, wenn ker A = {0}. (d) Im letzteren Fall ist die induzierte Norm x A = Ax, x 1/2 äquivalent zur ursprünglichen Norm x = x, x 1/2 genau dann, wenn A eine beschränkte Inverse besitzt. (e) Sei A invertierbar und T B(H) ein weiterer Operator mit Adjungierter T. Finde eine Formel der Adjungierten von T bzgl. des Skalarprodukts.,. A. 1

2 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 7. Sei H ein Hilbertraum. (a) Zeige, daß der Bildraum eines kompakten Operators T K(H) separabel ist. (Zeige zunächst die Tatsache, daß jeder kompakte metrische Raum separabel ist). (b) Zeige, daß jeder kompakte Operator T K(H) durch Operatoren endlichen Rangs approximiert werden kann. Hinweis: Sei u n eine ONB von ran T und P n die Orthogonalprojektion auf die lineare Hülle L{u 1, u 2,..., u n }. Zeige, daß A P n A n 0. (c) Sei J B(H) ein nichttriviales abgeschlossenes Ideal, d.h., ein abgeschlossener Unterraum mit der Eigenschaft AXB J für X J und beliebige Operatoren A, B B(H). Zeige, daß J alle kompakten Operatoren enthält. Aufgabe 8. Seien X, Y Banachräume und T B(X, Y ). Zeige, daß für jede Folge (x n ) X gilt x n w x = T x n w T x. Wenn T zusätzlich kompakt ist, dann gilt auch ( ) x n w x = T x n T x. Aufgabe 9. Sei X ein separabler Banachraum. Zeige, daß es eine Metrik auf der abgeschlossenen Einheitskugel B X (0, 1) gibt, die die gleichen offenen Mengen erzeugt wie die w*-topologie σ(x, X). Hinweis: Setze d(x, y ) = n=1 2 n x y, x n für eine geeignete Folge x n. Folgere daraus, daß auch ( B X (0, 1), σ(x, X )) ein metrisierbar ist, wenn X separabel ist. Aufgabe 10. Sei X ein separabler reflexiver Banachraum. (a) Zeige, daß ( B X (0, 1), σ(x, X )) metrisierbar und daher ein kompakter metrischer Raum ist. (b) Sei Y ein weiterer Banachraum und T B(X, Y ) ein Operator mit der Eigenschaft ( ) aus Aufgabe 8. Zeige, daß T kompakt ist. Aufgabe 11. Sei H ein Hilbertraum, T B(H) selbstadjungiert. (a) Zeige, daß T = sup T x, x x 1 Sei weiters x H, sodaß T x = T x. (b) Zeige, daß x ein Eigenvektor für T 2 zum Eigenwert λ = T 2 ist.. (c) Zeige, daß auch T einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = T oder λ = T besitzt.

3 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 12. Seien X und Y Banachräume, T B(X, Y ). (a) Zeige, daß die Abbildung ˆT : X/ ker T ran T [x] T x wohldefiniert, bijektiv und beschränkt ist mit ˆT = T. (b) Zeige, daß die folgenden Bedingungen äquivalent sind. (i) ran T ist abgeschlossen. (ii) ˆT hat eine beschränkte Inverse. (iii) Es existiert eine Konstante K > 0, sodaß für alle y ran T ein x X existiert mit x K y und T x = y. Aufgabe 13. Sei X ein Banachraum und T B(X). Für λ C \ σ(t ) sei δ(λ) = d(λ, σ(t )) = inf ξ σ(t ) λ ξ. Zeige, daß R T (λ) δ(λ) 1. Aufgabe 14. Sei H ein Hilbertraum. Ein Operator T B(H) heißt nach unten beschränkt wenn eine Konstante C > 0 existiert, sodaß für alle x H gilt Wir bezeichnen mit T x C x. σ ap (T ) = {λ C λi T ist nicht nach unten beschränkt} σ d (T ) = {λ C ran(λi T ) ist nicht dicht} Zeige: (a) σ ap (T ) = {λ (x n ) H mit x n = 1 und (λi T )x n n 0} (b) σ ap (T ) ist abgeschlossen. (c) σ(t ) = σ ap (T ) σ d (T ). (d) Der Rand von σ(t ) ist in σ ap (T ) enthalten. (e) σ p (T ) = σ d (T ). (f) Wenn T normal ist, dann gilt σ d (T ) \ σ ap (T ) =, d.h., σ(t ) = σ ap (T ). Aufgabe 15. Sei X ein Banachraum und S, T B(X). (a) Zeige, daß im Allgemeinen nicht gilt ( ) r(st ) r(s) r(t ) r(s + T ) r(s) + r(t ) (b) Zeige, daß beide Ungleichungen ( ) gelten, wenn S mit T kommutiert (d.h., ST = T S). Aufgabe 16. Sei X ein Banachraum und T n B(X) eine Folge von invertierbaren Operatoren. Wir nehmen an, die Folge hat einen Grenzwert T = lim T n, der mit allen T n kommutiert (T T n = T n T für alle n). (a) Zeige, daß T im Allgemeinen nicht invertierbar sein muß. (b) Zeige, daß T invertierbar ist, wenn man zusätzlich annimmt, daß sup n r(tn 1 ) <.

4 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 17. Zeige, daß für den Spektralradius eines Operators T B(H) auf einem Hilbertraum H gilt r(t ) = inf V T V 1 wobei das Infimum über alle invertierbaren Operatoren V : H H läuft. Hinweis: Es genügt, den Fall r(t ) < 1 zu betrachten. Definiere und untersuche zunächst das neue Skalarprodukt x, y 0 = T n x, T n y. n=0 Aufgabe 18. Für welche der drei Topologien (, SOT, WOT) ist die Abbildung B(H) B(H) T T stetig? Hinweis: Die Antwort ist ja für Norm und WOT, nein für SOT. Gegenbeispiel: Sei S : l 2 l 2 der (Links-)Shift, dann gilt S n SOT 0, aber (S ) n ist nicht konvergent bezüglich SOT. Aufgabe 19. Seien A n, B n B(H) Folgen von Operatoren. Zeige SOT SOT (a) A n A, B n B = A n B n W OT W OT (b) A n A, B n B SOT AB. W OT = A n B n AB. Aufgabe 20. Zeige, daß die positive Quadratwurzel eines positiven semidefiniten Operators eindeutig bestimmt ist. Aufgabe 21. Seien A, B B(H). (a) Zeige, daß r(ab) = r(ba) (b) Seien A B 0. Zeige, daß A 1/2 B 1/2, wohingegen aber A 2 B 2 nicht gelten muß. Hinweis: Zunächst kann angenommen werden, daß A invertierbar ist, der allgemeine Fall folgt dann mit einem Grenzwertargument. Aufgabe 22. Sei V B(H). Zeige, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) V ist eine partielle Isometrie. (ii) V ist eine partielle Isometrie. (iii) V V ist eine Projektion (nämlich die Projektion auf den Anfangsraum von V ). (iv) V V ist eine Projektion (nämlich die Projektion auf ran V ). (v) V = V V V. (vi) V = V V V. Aufgabe 23. Zeige, daß die Polarzerlegung eindeutig ist: Wenn T B(H) geschrieben werden kann als T = UP mit P 0 und einer partiellen Isometrie U sodaß ker U = ker P, dann ist P = (T T ) 1/2 und U eindeutig bestimmt.

5 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 24. Berechne die Norm des linearen Funktionals F : C[0, 1] C 1 f 2 n f(1/n) xf(x) dx n=2 und bestimme eine rechtsstetige Funktion α(x) von beschränkter Variation, sodaß F, f = f(x) dα(x) für alle f C[0, 1]. Aufgabe 25. Sei T B(H). Zeige, daß T invertierbar ist genau dann, wenn T T und T T nach unten beschränkt sind. Aufgabe 26. Zeige, daß die Summe zweier von unten (bzw. oben) halbstetiger Funktionen wieder von unten (bzw. oben) halbstetig ist. Aufgabe 27. Seien P, Q B(H) Orthogonalprojektionen. Zeige: (a) P Q ran P ran Q P Q = P QP = P P QP = P. (b) P Q = 0 P + Q I. (c) Wenn P Q = QP, dann ist P Q = P Q und P Q = P + Q P Q. (d) Wenn P Q QP, dann muß nicht gelten P Q P + Q. (e) P Q = SOT lim n (P QP ) n. Aufgabe 28. Sei (A n ) n N eine beschränkte Folge von selbstadjungierten Operatoren sodaß A m A n = 0 für m n. Zeige, daß n N A n bezüglich der SOT konvergiert und n N A n = supn A n. 1/2

6 Höhere Funktionalanalysis WS2016/17 Übungsblatt Aufgabe 29. Sei E : B(R) B(H) ein Spektralmaß gemäß Definition Zeige, daß für alle B 1, B 2 B(R) gilt: (a) B 1 B 2 = E B1 E B2. (b) E B1 E B2 = E B2 E B1. (c) E B1 B 2 = E B1 E B2. Aufgabe 30. Sei f : R R eine beschränkte meßbare Funktion und M f : L 2 (R) L 2 (R) M f g(t) = f(t)g(t) der (selbstadjungierte) Multiplikationsoperator. Bestimme die Spektralprojektion E B für B B(R). Aufgabe 31. Sei P B(H) eine Orthogonalprojektion und die Kommutante von P. Zeige, daß {P } := {T B(H) T P = P T } {P } = {T B(H) ran P und ker P sind invariant unter T } Aufgabe 32. Ein Vektor x H heißt zyklisch für einen Operator T B(H), wenn L{T n x n N 0 } dicht in H liegt. Zeige, daß jeder Vektor x = (ξ 0, ξ 1,... ) mit der Eigenschaft lim n 1 ξ n 2 ξ n+k 2 = 0 (z.b. der Vektor x = ( 1 n! ) n N 0 ) zyklisch ist für den Linksshift k=1 S : l 2 l 2 (x 0, x 1,... ) (x 1, x 2,... ).