Lineare Funktionalanalysis

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1 Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis Eine anwendungsorientierte Einführung Fünfte, überarbeitete Auflage Mit 19 Abbildungen 4y Spri inger

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung. 1 0 Strukturen Skalarprodukt Orthogonalität Norm Metrik Beispiele von Metriken Kugeln und Abstand von Mengen Offene und abgeschlossene Mengen Topologie Vergleich von Topologien Vergleich von Normen Konvergenz und Stetigkeit Konvergenz in metrischen Räumen Vollständigkeit Banachräume und Hilberträume Folgenräume Vervollständigung 28 U0 Übungen 30 U0.6 Vollständigkeit des Euklidischen Raumes 33 U0.7 Nichtvollständiger Funktionenraum 33 U0.9 Hausdorff-Abstand von Mengen 34 1 Funktionenräume Beschränkte Funktionen Stetige Funktionen auf kompakten Mengen Stetige Funktionen Träger einer Funktion Differenzierbare Funktionen Hölderstetige Funktionen Maße Messbare Funktionen Lebesgue-Räume 49

3 X Inhaltsverzeichnis 1.16 Hölder-Ungleichung Majorantenkriterium in L p Minkowski-Ungleichung Satz von Fischer-Riesz Vitali-Konvergenzsatz Allgemeiner Lebesgue-Konvergenzsatz Sobolev-Räume 62 Ul Übungen 66 U1.3 Standard Testfunktion 66 U1.4 L p -Norm für p -» oo 66 U1.6 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung AI Lebesgue-Integral 71 A1.3 Elementares Lebesgue-Maß 72 A1.4 Äußeres Maß 73 AI.5 Treppenfunktionen 74 AI.6 Elementares Integral 74 AI.8 Lebesgue-integrierbare Funktionen 78 AI.10 Axiome des Lebesgue-Integrals 79 AI.14 Integrierbare Mengen 84 AI.15 Maßerweiterung 86 AI.18 Satz von Egorov 90 AI.19 Majorantenkriterium 90 AI.20 Lemma von Fatou 92 AI.21 Konvergenzsatz von Lebesgue...' 93 2 Teilmengen von Funktionenräumen Konvexe Mengen Projektionssatz Fast orthogonales Element Kompaktheit Satz von Arzelä-Ascoli (Kompaktheit in C ) Faltung Dirac-Folge Satz von Riesz (Kompaktheit in L p ) Beispiele separabler Räume Abschneidefunktion Partition der Eins Fundamentallemma der Variationsrechnung Lokale Approximation von Sobolev-Funktionen Produktregel für Sobolev-Funktionen Kettenregel für Sobolev-Funktionen 124 U2 Übungen 126 U2.4 Strikt konvexe Räume 127 U2.5 Trennungssatz im K n 128 U2.6 Konvexe Funktionen 129

4 Inhaltsverzeichnis XI U2.7 Charakterisierung konvexer Funktionen 130 U2.8 Stützebenen 131 U2.9 Jensen'sche Ungleichung 132 U2.ll Raum L p für p < U2.13 Kompakte Mengen in U2.15 Vergleich der Hölderräume 136 U2.16 Kompaktheit bzgl. Hausdorff-Metrik 136 U2.18 Stetige Fortsetzung 137 U2.19 Satz von Dini 138 U2.20 Nichtapproximierbarkeit in C > a 138 U2.21 Kompakte Mengen in LP Lineare Operatoren Lineare Operatoren Neumann-Reihe Satz über invertierbare Operatoren Analytische Funktionen von Operatoren Beispiele (Exponentialfunktion) Lineare Differentialoperatoren Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren Distributionen (Der Raum >'(/?)) Topologie auf C (0) Der Raum V{Q) 156 U3 Übungen 159 U3.3 Eindeutige Fortsetzung linearer Abbildungen 159 U3.4 Limes linearer Abbildungen Lineare Funktionale Riesz'scher Darstellungssatz Satz von Lax-Milgram Elliptische Randwertprobleme Schwache Randwertprobleme Existenzsatz für Neumann-Problem Poincare-Ungleichung Existenzsatz für Dirichlet-Problem Variationsmaß Satz von Radon-Nikodym Dualraum von LP für p < oo Satz von Hahn-Banach Satz von Hahn-Banach für lineare Funktionale Räume additiver Maße Räume regulärer Maße Satz von Riesz-Radon Funktionen beschränkter Variation 190 U4 Übungen 193

5 XII Inhaltsverzeichnis U4.1 Duale Norm auf H 193 U4.2 Dualraum des Kreuzprodukts 193 U4.3 Integralgleichung 193 U4.5 Dualraum von C m (I) 195 U4.6 Dualraum von Co und c 197 U4.8 Positive Funktionale auf C 199 U4.9 Funktionen mit beschränkter Variation 200 U4.10 Darstellung von C ([o,6])' 202 A4 Aussagen aus der Maßtheorie 204 A4.1 Jordan-Zerlegung 204 A4.2 Hahn-Zerlegung 205 A4.5 Lemma von Alexandrov 209 A4.7 Satz von Lusin 210 A4.8 Produktmaß 211 A4.10 Satz von Fubini Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Baire'scher Kategoriensatz Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit Satz von Banach-Steinhaus Satz von der offenen Abbildung Satz von der inversen Abbildung Satz vom abgeschlossenen Graphen 221 U5 Übungen 222 U5.2 Punktweise Konvergenz in &{X\ Y) 222 U5.4 Sesquilinearformen Schwache Konvergenz Schwache Konvergenz Einbettung in den Bidualraum Schwache Topologie Reflexivität Trennungssatz Lemma von Mazur Allgemeine Poincare-Ungleichung Elliptisches Minimumproblem 241 U6 Übungen 248 U6.4 Schwache Konvergenz in C 249 U6.7 Schwache Konvergenz oszillierender Funktionen 252 U6.8 Variationsungleichung 253 A6 Eigenschaften von Sobolev-Funktionen 256 A6.1 Relhch'scher Einbettungssatz in H^" p (0) 256 A6.2 Lipschitz-Rand 257 A6.3 Lokalisierung 259 A6.4 Relhch'scher Einbettungssatz in H m < p {Q) 259

6 Inhaltsverzeichnis XIII A6.5 Randintegral 261 A6.6 Spursatz 265 A6.8 Schwacher Gauß'scher Satz 267 A6.12 Fortsetzungssatz für Sobolev-Funktionen 272 A6.13 Einbettungssatz auf den Rand 272 A6.14 Schwache Folgenkompaktheit in L l (p) 273 A6.15 Satz von Vitali-Hahn-Saks Endlich-dimensionale Approximation Schauder-Basis Duale Basis Bessel'sche Ungleichung Orthonormalbasis Weierstraß'scher Approximationssatz Lineare Projektionen Stetige Projektionen Satz vom abgeschlossenen Komplement Stückweise konstante Approximation Stetige stückweise lineare Approximation Ritz-Galerkin-Approximation Cea-Lemma 308 U7 Übungen 310 U7.1 Hamelbasis 310 U7.2 Unstetige lineare Abbildungen 310 U7.8 Projektoren in L 2 (] - ir,tt [) Kompakte Operatoren Kompakte Operatoren Einbettungssatz in Hölder-Räumen Sobolev-Zahl Satz von Sobolev Einbettungssatz in Sobolev-Räumen Satz von Morrey Einbettungssatz von Sobolev-Räumen in Holder-Räume Inverser Laplace-Operator Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren Schur-Integraloperatoren Fundamentallösung des Laplace-Operators Singulare Integraloperatoren Hölder-Kom-Lichtenstein-Ungleichung Calderon-Zygmund-Ungleichung 346 U8 Übungen 348 U8.2 Ehrling-Lemma 348 U8.8 Sobolev-Räume auf JR" 351 U8.9 Einbettungssatz im BT 352

7 XIV Inhaltsverzeichnis U8.10 Poincare-Ungleichungen 353 U8.13 Nukleare Operatoren 354 U8.15 Dimensionsabschätzung für Eigenräume 354 A8 Calderon-Zygmund-Ungleichung Spektrum kompakter Operatoren Fredholm-Operatoren Spektralsatz für kompakte Operatoren Fredholm-Alternative Endlich-dimensionaler Fall Jordan-Normalform Reeller Fall Selbstadjungierte Operatoren Adjungierter Operator Hilbertraum-Adjungierte Annihilator Satz von Schauder Satz von Fredholm Normale Operatoren Spektralsatz für kompakte normale Operatoren Eigenwertproblem als Variationsproblem Selbstadjungierter Integraloperator Eigenwertproblem für den Laplace-Operator 396 U10 Übungen 403 U10.1 Adjungierte Abbildung auf C 403 A10 L 2 -Regularitätstheorie 408 A10.2 Satz von Friedrichs 409 Literaturverzeichnis 415 Symbolverzeichnis 417 Sachverzeichnis 421