Maß und Wahrscheinlichkeit

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1 Klaus D. Schmidt Maß und Wahrscheinlichkeit Springer

2 Einleitung 1 Teil I Mengensysteme und Abbildungen 1 Mengensysteme Topologien er-algebren Dynkin-Systeme n-stabile Mengensysteme Halbringe und Ringe 20 2 Topologische Räume und messbare Räume Urbilder von Mengensystemen Topologische Räume und stetige Abbildungen Messbare Räume und messbare Abbildungen 29 3 Produkträume Produkte und Projektionen Produkte von topologischen Räumen Produkte von messbaren Räumen 39 Teil II Maßtheorie 4 Mengenfunktionen Inhalte Maße Signierte Maße 56

3 viii 5 Fortsetzung von Maßen Eindeutigkeitssatz Äußere Maße Existenzsatz Approximationssatz Lebesgue-Maß 72 6 Transformation von Maßen Bildmaße Translationsinvariante Maße auf ß(E") Lineare Abbildungen des Lebesgue-Maßes 85 Teil III Integrationstheorie 7 Messbare Funktionen Messbare Funktionen auf einem Messraum Messbare Funktionen auf einem Maßraum Lebesgue-Integral Positive einfache Funktionen Positive messbare Funktionen Integrierbare Funktionen LP-Räume Berechnung des Lebesgue-Integrals Integralinduzierte Maße und signierte Maße Integration nach einem Maß mit Dichte Absolutstetige und singulare Maße Integration nach einem Bildmaß Integration nach einem eingeschränkten Maß Produktmaße Integration nach einem Produktmaß Lebesgue-Integral und Riemann-Integral 180 Teil IV Wahrscheinlichkeitstheorie 10 Wahrscheinlichkeitsräume Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsgrößen Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Symmetrische Wahrscheinlichkeitsräume Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsräumen Satz von Andersen/Jessen 209

4 ix 11 Unabhängigkeit Unabhängige Familien von Ereignissen Unabhängige Familien von Ereignissystemen Unabhängige Familien von Zufallsgrößen Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen Univariate Verteilungen Verteilungen und Verteilungsfunktionen Transformationen von Verteilungen Momente Zentrale Momente Multivariate Verteilungen Verteilungen und Verteilungsfunktionen Transformationen von Verteilungen Randverteilungen Unabhängigkeit Verteilungen von Summen von Zufallsvariablen Momente Zentrale Momente Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen Fast sichere Konvergenz Stochastische Konvergenz Konvergenz im p-ten Mittel Gesetze der Großen Zahlen Schwache Gesetze der Großen Zahlen Starke Gesetze der Großen Zahlen Satz von Glivenko/Cantelli Irrfahrten 357 Teil V Vertiefung der Wahrscheinlichkeitstheorie 16 Erzeugende Funktionen Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Momenterzeugende Funktion Kumulantenerzeugende Funktion Charakteristische Funktion Schwache Konvergenz und Zentraler Grenzwertsatz Schwache Konvergenz Straffheit Zentraler Grenzwertsatz 405

5 x 18 Bedingte Erwartung Bedingte Erwartung einer positiven Zufallsvariablen Bedingte Erwartung und bedingte Integrierbarkeit Bedingte Erwartung als Projektion Martingale Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Verteilung Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Unabhängigkeit Bedingte Verteilung Bedingte Dichte Bedingte Gesetze der Großen Zahlen Regularität und Satz von Kolmogorov Regularität Satz von Kolmogorov 458 Anhang A Fakultät und Gamma-Funktion 465 Al Fakultät und Binomial-Koeffizient 465 A.2 Gamma-Funktion und Beta-Funktion 466 В Vektorräume, Ordnung und Topologie 467 B.l Vektorräume 467 B.2 Ordnung 468 B.3 Topologie 469 B.4 Ordnung und Topologie 470 С Der Euklidische Raum 471 C.l Vektoren und Matrizen 471 C.2 Ordnung 473 C.3 Topologie 474 C.4 Ordnung und Topologie 474 Literaturverzeichnis 475 Symbolverzeichnis 477 Sachverzeichnis 481