Kapitel I a-algebren und Boreische. 1. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem

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1 Kapitel I a-algebren und Boreische Mengen 1. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem 2. Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlag 1. Bezeichnungen 2. Limes superior und Limes inferior 3. Ringe, Algebren, a-ringe und a-algebren 1. Ringstruktur von 9ß(X) 2. Ringe und Algebren 3. cr-ringe und o-algebren 4. Erzeuger und Boreische Mengen 1. Erzeuger 2. Boreische Mengen 3. Verhalten unter Abbildungen 5. Halbringe 1. Halbringe 2. Der von einem Halbring erzeugte Ring 6. Monotone Klassen und Dynkin-Systeme 1. Monotone Klassen 2. Dynkin-Systeme Kapitel II Inhalte und Maße 1. Inhalte, Prämaße und Maße 1. Definitionen und erste Folgerungen 2. Ein erster Fortsetzungssatz 3. Eigenschaften von Inhalten 4. Charakterisierung der cr-additivität 5. Historische Anmerkungen 2. Inhalte und Prämaße auf M 1. Endliche Inhalte auf 3 2. Endliche Prämaße auf 3 3. Kurzbiographie von E. BOREL

2 3. Inhalte und Prämaße auf W Das Lebesguesche Prämaß auf 3 P Differenzenoperatoren Inhalte auf 3 P Prämaße auf 3 P Kurzbiographie von J. RADON Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen Äußere Maße Der Fortsetzungssatz Die Lebesgue-meßbaren Teilmengen des R p Kurzbiographie von C. CARATHEODORY Eindeutigkeit der Fortsetzung a-endliche Inhalte Der Eindeutigkeitssatz Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungsfunktionen auf R Vollständige Maßräume Das Lebesguesche Maß Approximationssätze Charakterisierung der Lebesgue-Meßbarkeit Der Satz von H. STEINHAUS Meßbarkeit konvexer Mengen Das Cantorsche Diskontinuum Konstruktion von C Triadische Entwicklung Mächtigkeiten von 03^ und SP Die Cantorsche Funktion Metrische äußere Maße und Hausdorff-Maße Metrische äußere Maße Hausdorff-Maße Rektifizierbare Kurven Kurzbiographie von F. HAUSDORFF 80 82

3 xi Kapitel III. Meßbare Funktionen Meßbare Abbildungen und Bildmaße Meßbare Abbildungen Bildmaße Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes Das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen Abbildungen Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß Existenz nicht meßbarer Mengen Nicht Lebesgue-meßbare Mengen und Unlösbarkeit des Maßproblems Kurzbiographie von G. VITALI Weitere Beispiele nicht Lebesgue-meßbarer Mengen Existenz nicht meßbarer Mengen für Lebesgue-Stieltjessche Maße Meßbare numerische Funktionen Rechnen in R, Topologie von R Meßbare numerische Funktionen Approximation durch Treppenfunktionen Abzählbar erzeugte Meßräume Ein minimaler Erzeuger von Produkt-a- Algebren Initial-a-Algebren und Produkt-a-Algebren Borel-Mengen topologischer Produkte Meßbarkeit der Diagonalen Kapitel IV. Das Lehesgue-Integral Integration von Treppenfunktionen Integration nicht-negativer meßbarer Funktionen Definition des Integrals Der Satz von der monotonen Konvergenz Kurzbiographie von B. LEVI Maße mit Dichten

4 xii Inhaltsverzeichnis 3. Integrierbare Funktionen Integrierbare Funktionen Linearität und Monotonie des Integrals Der Raum C Stetige Funktionen mit kompaktem Träger Integration über meßbare Teilmengen Historische Anmerkungen Kurzbiographie von W.H. YOUNG Fast überall bestehende Eigenschaften Konvergenzsätze Das Lemma von FATOU Kurzbiographie von P. FATOU Der Satz von der majorisierten Konvergenz Von einem Parameter abhängige Integrale Der Satz von SCHEFFE Riemann-Integral und Lebesgue-Integral Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral Mittelwertsätze der Integralrechnung Kurzbiographie von H. LEBESGUE Kapitel V. Produktmaße, Satz von FUBINI und Transformationsformel Produktmaße Produkt-a-Algebren Produktmaße Das Cavalierische Prinzip Produkte endlich vieler Maßräume Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß Der Satz von FUBINI Der Satz von FUBINI Historische Anmerkungen Beispiele für Anwendungen des Satzes von FUBINI Der Gaußsche Integralsatz für die Ebene Kurzbiographien von G. FUBINI und L. TONELLI

5 xiii 3. Faltung und Fourier-Transformation Integration in bezug auf Bildmaße Transformation von Maßen mit Dichten Die Faltung auf C l (W, ß p ) Die Fourier-Transformation Die Transformationsformel Die Transformationsformel Der Satz von SARD Verallgemeinerte Transformationsformel Transformation von Maßen mit Dichten bez. \ p Der Brouwersche Fixpunktsatz Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Maßund Integrationstheorie Die Ungleichungen von JENSEN, HOLDER und MINKOWSKI Die Jensensche Ungleichung Die Höldersche Ungleichung Die Minkowskische Ungleichung Historische Anmerkungen Die Räume L p und der Satz von RIESZ-FISCHER Die Räume C p und LP Der Satz von RIESZ-FISCHER Die Banach-Algebra L 1 (R n, Q3 N, ß n ) Der Hilbert-Raum L 2 (» Der Banach-Verband L^ Dichte Unterräume von L p Der Satz von PLANCHEREL Der Satz von FATOU über Potenzreihen Historische Anmerkungen Kurzbiographien von F. RIESZ und E. FISCHER Der Satz von JEGOROW Konvergenz //-fast überall Fast gleichmäßige Konvergenz Kurzbiographie von D.F. JEGOROW

6 xiv Inhaltsverzeichnis 4. Konvergenz nach Maß Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß Vergleich der Konvergenzbegriffe Charakterisierung der Konvergenz n.m. und der Konvergenz lokal n.m Konvergenz in C p Der Satz von PRATT Konvergenz in C p Der Konvergenzsatz von VITALI Schwache Konvergenz in CP Kapitel VII. Absolute Stetigkeit Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz Signierte Maße Der Hahnsche Zerlegungssatz Positive Variation, negative Variation und Variation Jordanscher Zerlegungssatz Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße Kurzbiographie von H. HAHN Der Satz von RADON-NIKODYM und der Lebesguesche Zerlegungssatz Absolute Stetigkeit Der Satz von RADON-NIKODYM Kurzbiographie von O. NIKODYM Der Lebesguesche Zerlegungssatz Der Dualraum von L p (1 < p < oo) Der Dualraum von L p {ß) (1 < p < oo) Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra L l {ß m ) Absolut stetige Funktionen auf R Der Überdeckungssatz von VITALI Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü Der Dichtesatz Absolut stetige Funktionen auf R Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Maße Rektifizierbare Kurven

7 xv Kapitel VIII. Maße auf topologischen Räumen Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität Grundbegriffe Regularität ssätze Moderate Borel-Maße Regularität von Borel-Maßen Regularität von Borel-Maßen auf polnischen Räumen Der Satz von LUSIN Kurzbiographie von N.N. LUSIN Der Darstellungssatz von F. RIESZ Problemstellung Fortsetzungssatz Der Darstellungssatz von F. RIESZ für lokal-kompakte Räume Der Darstellungssatz von F. RIESZ für vollständig reguläre Räume Träger von Maßen Der Darstellungssatz von F. RIESZ für stetige Linearformen auf C 0 (X) Das Haarsche Maß Topologische Gruppen Linksinvariante Linearformen und Maße Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes Anwendungen des Haar-Maßes Invariante und relativ invariante Maße auf Restklassenräumen Kurzbiographie von A. HAAR Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit Eine Regularitätseigenschaft endlicher Maße auf metrischen Räumen Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Maßen Das Portmanteau-Theorem Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Sätze von HELLY-BRAY und HELLY Der Satz von PROCHOROV Die Laplace-Transformation Die Prochorov-Metrik

8 xvi Inhaltsverzeichnis Anhang A. Topologische Räume 410 Anhang B. Transfinite Induktion 414 Literaturverzeichnis 416 Namenverzeichnis 423 Symbolverzeichnis 428 Sachverzeichnis 429