Herbert Amann Joachim Escher. Analysis III. Zweite Auflage. Birkhäuser Basel Boston Berlin

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3 Herbert Amann Joachim Escher Analysis III Zweite Auflage Birkhäuser Basel Boston Berlin

4 Autoren: Herbert Amann Joachim Escher Institut für Mathematik Institut für Angewandte Mathematik Universität Zürich Universität Hannover Winterthurerstr. 190 Welfengarten Zürich Hannover Switzerland Germany herbert.amann@math.uzh.ch escher@ifam.uni-hannover.de Erste Auflage 2001 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. ISBN Birkhäuser Verlag, Basel Boston Berlin Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts Birkhäuser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz Ein Unternehmen von Springer Science+Business Media Satz und Layout mit L A T E X: Gisela Amann, Zürich Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF Printed in Germany ISBN e-isbn

5 Vorwort Der vorliegende dritte Band beschließt unsere Einführung in die Analysis, mit der wir ein Fundament für den weiteren Aufbau des Mathematikstudiums gelegt haben. Wie schon in den ersten beiden Teilen haben wir auch hier wesentlich mehr Stoff behandelt, als dies in einem Kurs geschehen kann. Bei der Vorbereitung von Vorlesungen ist deshalb eine geeignete Stoffauswahl zu treffen, auch wenn die Lehrveranstaltungen durch Seminare ergänzt und vertieft werden. Anhand der ausführlichen Inhaltsangabe und der Einleitungen zu den einzelnen Kapiteln kann ein rascher Überblick über den dargebotenen Stoff gewonnen werden. Das Buch ist insbesondere auch als Begleitlektüre zu Vorlesungen und für das Selbststudium geeignet. Die zahlreichen Ausblicke auf weiterführende Theorien sollen Neugierde wecken und dazu animieren, im Verlaufe des weiteren Studiums tiefer einzudringen und mehr von der Schönheit und Größe des mathematischen Gebäudes zu erfahren. Beim Verfassen dieses Bandes konnten wir wieder auf die unschätzbare Hilfe von Freunden, Kollegen, Mitarbeitern und Studenten zählen. Ganz besonders danken wir Georg Prokert, Pavol Quittner, Olivier Steiger und Christoph Walker, die den gesamten Text kritisch durchgearbeitet und uns so geholfen haben, Fehler zu eliminieren und substantielle Verbesserungen anzubringen. Unser Dank gilt auch Carlheinz Kneisel und Bea Wollenmann, die ebenfalls größere Teile des Manuskripts gelesen und uns auf Ungereimtheiten hingewiesen haben. Ohne den nicht zu überschätzenden großen Einsatz unseres Satzperfektionisten, der unermüdlich und mit viel Geduld nicht nur das Endprodukt, sondern auch zahlreiche Vorläuferversionen mittels TEX und anderer Datenverarbeitungssysteme in eine makellose und ansprechende Erscheinungsform gebracht hat, wäre dieser Band nie in der vorliegenden Form entstanden. Für dieses Mitwirken gilt ihm unser allergrößter Dank. Schließlich ist es uns eine Freude, Thomas Hintermann und dem Birkhäuser Verlag für die gewohnte Flexibilität und gute Zusammenarbeit zu danken. Zürich und Hannover, im Juli 2001 H. Amann und J. Escher

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort v Kapitel IX Elemente der Maßtheorie 1 Meßbare Räume σ-algebren Die Borelsche σ-algebra Das zweite Abzählbarkeitsaxiom Erzeugung der Borelschen σ-algebra durch Intervalle Basen topologischer Räume Die Produkttopologie Produkte Borelscher σ-algebren Die Meßbarkeit von Schnitten Maße Mengenfunktionen Maßräume Eigenschaften von Maßen Nullmengen Äußere Maße Die Konstruktion äußerermaße Das Lebesguesche äußere Maß Lebesgue-Stieltjessche äußere Maße Hausdorffsche äußeremaße Meßbare Mengen Motivation Die σ-algebra der μ -meßbaren Mengen Lebesguesche und Hausdorffsche Maße Metrische Maße Das Lebesguesche Maß Der Lebesguesche Maßraum Die RegularitätdesLebesgueschenMaßes

7 viii Inhalt Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen Bilder Lebesgue meßbarer Mengen Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes Der spezielle Transformationssatz Nicht Lebesgue meßbare Mengen Kapitel X Integrationstheorie 1 Meßbare Funktionen Einfache und meßbare Funktionen Ein Meßbarkeitskriterium Meßbare numerische Funktionen Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen Radonmaße Integrierbare Funktionen Das Integral füreinfachefunktionen Die L 1 -Seminorm Das Bochner-Lebesguesche Integral Die Vollständigkeit von L Elementare Eigenschaften des Integrals Konvergenz in L Konvergenzsätze Integration nichtnegativer numerischer Funktionen Der Satz über die monotone Konvergenz Das Lemma von Fatou Integration numerischer Funktionen Der Satz von Lebesgue Parameterintegrale Die Lebesgueschen Räume Wesentlich beschränkte Funktionen Die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung Die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume L p -Räume Stetige Funktionen mit kompaktem Träger Einbettungen Stetige Linearformen auf L p

8 Inhalt ix 5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral Lebesguesche Maßräume Das Lebesguesche Integral für absolut integrierbare Funktionen Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen Der Satz von Fubini Fast-überall definierte Abbildungen Das Cavalierische Prinzip Anwendungen des Cavalierischen Prinzips Der Satz von Tonelli Der Satz von Fubini für skalare Funktionen Der Satz von Fubini für vektorwertige Funktionen Die Minkowskische Ungleichung fürintegrale Eine Charakterisierung von L p (R m+n,e) Ein Spursatz Die Faltung Die Definition der Faltung Translationsgruppen Elementare Eigenschaften der Faltung Approximative Einheiten Testfunktionen Glatte Zerlegungen der Eins Faltungen E-wertigerFunktionen Distributionen Lineare Differentialoperatoren Schwache Ableitungen Der Transformationssatz Inverse Bilder des Lebesgueschen Maßes Der allgemeine Transformationssatz Ebene Polarkoordinaten n-dimensionale Polarkoordinaten Integration rotationssymmetrischer Funktionen Der Transformationssatz für vektorwertige Funktionen Die Fouriertransformation Definition und elementare Eigenschaften Der Raum der schnell fallenden Funktionen Die Faltungsalgebra S Rechenregeln Der Fouriersche Integralsatz Faltungen und Fouriertransformationen Fouriermultiplikationsoperatoren Der Satz von Plancherel

9 x Inhalt Symmetrische Operatoren Die Heisenbergsche Unschärferelation Kapitel XI Mannigfaltigkeiten und Differentialformen 1 Untermannigfaltigkeiten Definitionen und elementare Eigenschaften Submersionen Berandete Untermannigfaltigkeiten Lokale Karten Tangenten und Normalen Der Satz vom regulären Wert Eindimensionale Mannigfaltigkeiten Zerlegungen der Eins Multilineare Algebra Äußere Produkte Rücktransformationen Das Volumenelement Der Rieszsche Isomorphismus Der Hodgesche Sternoperator Indefinite innere Produkte Tensoren Die lokale Theorie der Differentialformen Definitionen und Basisdarstellungen Rücktransformationen Die äußere Ableitung Das Lemma von Poincaré Tensoren Vektorfelder und Differentialformen Vektorfelder Lokale Basisdarstellungen Differentialformen Lokale Darstellungen Koordinatentransformationen Die äußere Ableitung Geschlossene und exakte Formen Kontraktionen Orientierbarkeit Tensorfelder

10 Inhalt xi 5 Riemannsche Metriken Das Volumenelement Riemannsche Mannigfaltigkeiten Der Sternoperator Die Koableitung Vektoranalysis Der Rieszsche Isomorphismus Der Gradient Die Divergenz Der Laplace-Beltrami Operator Die Rotation Die Lie-Ableitung Der Hodge-Laplace Operator Das Vektorprodukt und die Rotation Kapitel XII Integration auf Mannigfaltigkeiten 1 Volumenmaße Die Lebesguesche σ-algebra von M Die Definition des Volumenmaßes Eigenschaften Integrierbarkeit Berechnung einiger Volumina Integration von Differentialformen Integrale von m-formen Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten Der Transformationssatz Der Satz von Fubini Berechnung einiger Integrale Flüsse von Vektorfeldern Das Transporttheorem Der Satz von Stokes Der Stokessche Satz fürglattemannigfaltigkeiten Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten Der Stokessche Satz mit Singularitäten Ebene Gebiete Höherdimensionale Probleme Homotopieinvarianz und Anwendungen Der Gaußsche Integralsatz Die Greenschen Formeln Der klassische Stokessche Satz Der Sternoperator und die Koableitung

11 xii Inhalt Literaturverzeichnis Index

12 Kapitel IX Elemente der Maßtheorie In diesem Kapitel befassen wir uns mit der allgemeinen Theorie des Messens von Inhalten von Strecken, Flächen, Körpern und Mengen in höherdimensionalen Räumen. Dabei lassen wir uns von elementargeometrischen Tatsachen leiten. Insbesondere wollen wir Intervallen ihre Länge, Rechtecken ihren durch Länge mal Breite bestimmten Flächeninhalt und Quadern ihr durch Länge mal Breite mal Höhe berechnetes Volumen zuordnen. Natürlich wollen wir nicht nur die Volumina der Elementarbereiche Intervall, Rechteck und Quader messen, sondern auch diejenigen wesentlich allgemeinerer Mengen. Um dies zu erreichen, ist es naheliegend, eine gegebene Menge durch eine disjunkte Vereinigung von Elementarbereichen auszuschöpfen und die Summe der Volumina der verwendeten Elementarbereiche als Inhalt der betrachteten Menge festzulegen. Hier wird es von grundlegender Bedeutung sein, daß wir nicht nur endliche, sondern abzählbare Ausschöpfungen zulassen. Wir werden sehen, daß wir auf diese Weise jeder offenen Teilmenge des R n ein Volumen oder Maß zuordnen können und daß dieses Maß natürliche Eigenschaften besitzt wie z.b. die, von der Lage der Menge im Raum unabhängig zu sein. Außerdem werden wir nicht nur offene Mengen messen können, sondern beispielsweise auch abgeschlossene oder solche, die sich durch offene Mengen geeignet approximieren lassen. Allerdings ist es nicht möglich, auf diese Weise jede Teilmenge des R n zu messen. Zur praktischen Einführung eines Maßes werden wir jedoch einen anderen Weg beschreiten, der wesentlich allgemeiner und technisch einfacher ist. Erst an seinem Ende werden wir dann die beschriebene Charakterisierung meßbarer Mengen in R n finden. Unser allgemeiner Zugang, der über die abstrakte Maßtheorie führt, hat neben seiner relativen Einfachheit den Vorteil, auch andere Maße zu liefern, die nichts mit der unmittelbaren elementargeometrischen Anschauung zu tun haben. Solche allgemeineren Theorien werden wir im letzten Kapitel dieses Bandes benötigen. Darüber hinaus sind sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Physik und in vielen innermathematischen Anwendungen von Bedeutung.

13 2 IX Elemente der Maßtheorie Der erste Paragraph dieses Kapitels ist den σ-algebren gewidmet. Hierbei handelt es sich um diejenigen Mengensysteme, welche als Definitionsbereiche von Maßen auftreten. Ist die zugrunde liegende Menge mit einer Topologie versehen, so besitzt die Borelsche σ-algebra, welche durch die offenen Mengen bestimmt ist, eine herausragende Bedeutung. Unter anderem zeigen wir, daß die Borelsche σ-algebra eines topologischen Produktes in allen praktisch relevanten Fällen bereits durch die Produkte offener Mengen bestimmt ist. Im Zentrum des zweiten Paragraphen stehen die grundlegenden Eigenschaften von allgemeinen Maßen. Ferner beweisen wir, daß jeder Maßraum eine Vervollständigung, d.h. eine gewisse natürliche minimale Erweiterung, besitzt. In den folgenden zwei Paragraphen konstruieren wir die für die Anwendungen wichtigsten Maße, nämlich die auf Lebesgue, Stieltjes und Hausdorff zurückgehenden. Hierbei verwenden wir den von Carathéodory vorgeschlagenen Zugang, der auf dem Begriff des äußeren Maßes aufbaut. Der letzte Paragraph dieses Kapitels ist dem ausführlichen Studium des Lebesgueschen Maßes gewidmet. Zuerst charakterisieren wir die σ-algebra der Lebesgue meßbaren Mengen als Vervollständigung der Borelschen σ-algebra. Danach studieren wir das Abbildungsverhalten des Lebesgueschen Maßes, was uns zur Bewegungs- und insbesondere Translationsinvarianz dieses Maßes führt. Letztere zeichnet das Lebesguesche Maß unter allen lokal endlichen Borelschen Maßen aus und ist auch bei der Konstruktion von nicht Lebesgue meßbaren Mengen von fundamentaler Bedeutung.

14 1 Meßbare Räume In Kapitel VI haben wir mit Hilfe des Cauchy-Riemannschen Integrals Gebieten, die zwischen dem Graphen einer genügend regulären Funktion und der entsprechenden Abszisse liegen, einen Flächeninhalt zugeschrieben. Ziel der folgenden Überlegungen ist es, eine möglichst große Klasse von Bereichen in R n anzugeben, denen sinnvollerweise ein Inhalt zugeordnet werden kann. Wir suchen also eine Teilmenge A von P(R n ) und eine Abbildung μ : A [0, ), so daß für A Adie Zahl μ(a) als Inhalt von A interpretiert werden kann. Dabei muß diese Inhaltsfunktion gewissen Regeln genügen, die man vernünftigerweise erwartet, wenn man an den Fall von Flächeninhalten ebener Bereiche denkt. Beispielsweise soll der Inhalt der Vereinigung zweier disjunkter Bereiche gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen sein. Außerdem soll der Inhalt eines Bereiches unabhängig sein von der Lage der Menge im Raum. Nach einer Klärung des Begriffes Inhalt wird sich (in Paragraph 5) herausstellen, daß es nicht möglich ist, auf nichttriviale Weise einen solchen Wert, ein Maß, für alle Teilmengen von R n zu definieren, d.h., A = P(R n )istnichtmöglich. In diesem Paragraphen sind X, X 1 und X 2 nichtleere Mengen. σ-algebren Die axiomatische Einführung derjenigen Mengensysteme, auf denen später Maße erklärt werden, geschieht durch die folgende Definition: Eine Teilmenge A von P(X) heißt σ-algebra über X, falls die Eigenschaften (i) X A; (ii) A A= A c A; (iii) (A j ) A N = j N A j A erfüllt sind. Ist A eine σ-algebra über X, sonenntman(x, A) meßbaren Raum, und jedes A Aheißt A-meßbar. 1.1 Bemerkung Es seien A eine σ-algebra, (A j ) A N und m N. Danngehört jede der Mengen, A 0 \A 1, m m A j, j=0 j, j=0 j j N ebenfalls zu A. Beweis Setzt man { Ak, k m, B k := A m, k > m, so gilt (B k ) A N und deshalb k N B k = m j=0 Aj A. Die restlichen Aussagen folgen aus den Regeln von De Morgan (Satz I.2.7(iii)).

15 4 IX Elemente der Maßtheorie Das Mengensystem S P(X)heißtabgeschlossen unter allen endlichen Mengenoperationen, wenn A S= A c S (1.1) gilt und mit jeder endlichen Familie A 0,...,A m auch m j=0 A j zu S gehört. Erfüllt S die Bedingung (1.1) und gehört für jede Folge (A j )ins auch j=0 A j zu S, so heißt S abgeschlossen unter allen abzählbaren Mengenoperationen. Diese Definitionen sind gerechtfertigt, denn aufgrund der Regeln von De Morgan gehört auch m j=0 A j bzw. j=0 A j zu S. Man nennt S Algebra über X, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: (i) X S; (ii) A S= A c S; (iii) A, B S= A B S. 1.2 Bemerkungen Für S P(X) mitx S gelten die folgenden Aussagen: (a) S ist genau dann eine Algebra, wenn S unter allen endlichen Mengenoperationen abgeschlossen ist. (b) S ist genau dann eine σ-algebra, wenn S unter allen abzählbaren Mengenoperationen abgeschlossen ist. In diesem Fall ist S auch eine Algebra. (c) Es sei S eine Algebra, und für jede disjunkte Folge 1 (B j ) S N gelte j N B j S. Dann ist S eine σ-algebra. Beweis Es sei (A k ) S N. Wir setzen rekursiv B 0 := A 0, B j+1 := A j+1 j k=0 A k, j N. Dann ist (B j) eine disjunkte Folge mit k A k = j Bj. Nach Voraussetzung gilt j Bj S, woraus die Behauptung folgt. 1.3 Beispiele (a) {,X} und P(X) sind σ-algebren. (b) { A X ; A oder A c ist abzählbar} ist eine σ-algebra. (c) { A X ; A oder A c ist endlich} ist eine Algebra, und eine σ-algebra genau dann, wenn X endlich ist. (d) Es sei A eine nichtleere Menge, und für jedes α A sei A α eine σ-algebra über X. Dannist α A A α eine σ-algebra über X. (e) Es seien Y eine nichtleere Menge und f Y X. Ferner sei A bzw. B eine σ-algebra über X bzw. Y.Dannist f 1 (B) := { f 1 (B) ; B B } bzw. f (A) := { B Y ; f 1 (B) A } 1 Wir vereinbaren die folgende vereinfachende Sprechweise: Eine Folge (A j ) S N ist disjunkt, falls A j A k = für alle j, k N mit j k gilt.

16 IX.1 Meßbare Räume 5 eine σ-algebra über X bzw. Y.Mannenntf 1 (B) Urbild von B bzw. f (A) direktes Bild von A unter f. Beweis Wir verifizieren nur die letzte Aussage und überlassen den Nachweis der übrigen Behauptungen dem Leser. Offensichtlich gehört Y zu f (A). Für B f (A) gehört f 1 (B) zua. Aufgrund von Satz I.3.8 (ii ) und (iv )gelten f 1 (B c )= [ f 1 (B) ] c und f 1( j Bj ) = j f 1 (B j). Also liegt mit B auch B c in f (A), und aus B j f (A)für j N folgt j N Bj f (A). Die Borelsche σ-algebra Es sei S eine nichtleere Teilmenge von P(X). Dann heißt A σ (S) := { A P(X) ; A S, A ist σ-algebra über X } von S erzeugte σ-algebra, und S ist ein Erzeugendensystem für A σ (S). 1.4 Bemerkungen (a) A σ (S) ist wohldefiniert und die kleinste σ-algebra, die S enthält. Beweis Dies folgt aus den Beispielen 1.3(a) und (d). (b) Ist S eine σ-algebra, so gilt A σ (S) =S. (c) Aus S T folgt A(S) A(T ). (d) Für S = {A} gilt A σ (S) ={,A,A c,x}. Es sei X := (X, T ) ein topologischer Raum. Dann ist T nicht leer, und folglich ist die von T erzeugte σ-algebra wohldefiniert. Man nennt sie Borelsche σ-algebra von X, und wir bezeichnen sie mit B(X). Die Elemente von B(X) sind die BorelschenTeilmengenvonX. ZurAbkürzung schreiben wir B n := B(R n ). Eine Teilmenge A von X heißt G δ -Menge, wenn es offene Mengen O j gibt mit A = j N O j, d.h., falls A ein Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen in X ist. Die Menge A heißt F σ -Menge 2, wenn sie eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Teilmengen von X ist. Somit ist A genau dann eine F σ -Menge, wenn A c eine G δ -Menge ist. 2 Die Definition einer F σ-bzw.g δ -Menge kann man sich folgendermaßen merken: F steht für (franz.) fermé und σ für Summe (manchmal wird die Vereinigung von Mengen auch als deren Summe bezeichnet). Ferner stehen G für Gebiet und δ für Durchschnitt. Offene Mengen werden in der älteren Literatur gelegentlich als Gebiete bezeichnet.

17 6 IX Elemente der Maßtheorie 1.5 Beispiele (a) Für F := { A X ; A ist abgeschlossen } gilt B(X)=A σ (F). (b) Jede G δ -Menge und jede F σ -Menge ist eine Borelsche Menge. (c) Jedes abgeschlossene Intervall I ist sowohl eine F σ -alsaucheineg δ -Menge. Beweis Es sei I =[a, b] mit <a b<. Esistklar,daßI eine F σ-menge ist. Wegen [a, b] = k N (a 1/k, b +1/k) isti auch eine G δ -Menge. Die Fälle I =[a, ) und I =(,a]mita R werden analog behandelt. Der Fall I = R ist klar. (d) Es sei Y X mit Y und Y X. Ferner sei T := {,X} die indiskrete Topologie auf X. DannistY weder eine F σ -nocheineg δ -Menge in (X, T ). (e) Q ist eine F σ -, aber keine G δ -Menge in R. Beweis Q ist als abzählbare Menge offensichtlich eine F σ-menge in R (vgl. Korollar III.2.18). Nehmen wir an, Q sei eine G δ -Menge in R. Dann gibt es offene Mengen Q j, j N, mit Q = j Qj. Wegen Q Qj für j N und Satz I.10.8 ist jedes Qj offen und dicht in R. Nun folgt aus Aufgabe V.4.4, daß Q überabzählbar ist, was nicht richtig ist. Das zweite Abzählbarkeitsaxiom Es sei (X, T ) ein topologischer Raum. Man nennt M T Basis von T, falls es zu jedem O T ein M M gibt mit O = { M X ; M M }, d.h., falls sich jede offene Menge als Vereinigung von Mengen aus M darstellen läßt. Der topologische Raum (X, T )erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn T eine abzählbare Basis besitzt. Schließlich heißt (X, T ) Lindelöfscher Raum, wenn jede offene Überdeckung von X eine abzählbareteilüberdeckung besitzt. Offensichtlich ist jeder kompakte Raum Lindelöfsch. 1.6 Bemerkungen (a) M T ist genau dann eine Basis von T, wenn es zu jedem Punkt x X und zu jeder Umgebung U von x ein M Mgibt mit x M U. Beweis (i) = Es seien M eine Basis von T, x X und U U(x). Dann gibt es ein O T mit x O U. Ferner gibt es ein M Mmit O = { M X ; M M }. Also finden wir ein M M Mmit x M O U. (ii) = Es sei O T.Für jedes x O ist O eine Umgebung von x. Also gibt es nach Voraussetzung ein M x Mmit x M x O, und wir finden O = {x} M x O, d.h., es gilt O = x O Mx. x O (b) Erfüllt ein topologischer Raum das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann erfüllt er auch das erste (vgl. Bemerkung III.2.29(c)). Beweis Dies folgt unmittelbar aus (a). (c) Die Umkehrung von (b) ist falsch. x O

18 IX.1 Meßbare Räume 7 Beweis Es sei X überabzählbar. Dann erfüllt ( X, P(X) ) das erste Abzählbarkeitsaxiom, denn für jedes x X ist { {x} } eine Umgebungsbasis von x. Hingegen kann in ( X, P(X) ) das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht gelten, denn jede Basis von P(X) muß die Menge { } {x} ; x X enthalten, kann also nicht abzählbar sein. 1.7 Lemma Es sei X ein metrischer Raum, und A X sei dicht in X. Ferner sei M := { B(a, r) ; a A, r Q + }.Dannläßt sich jede offene Menge in X als Vereinigung von Mengen aus M darstellen. Beweis Es seien O offen in X und x O. Dann gibt es ein ε x > 0mitB(x, ε x ) O. Weil A dicht ist in X und Q dicht ist in R, gibt es ein a x A mit d(x, a x ) <ε x /4 und ein r x Q + mit r x (ε x /4,ε x /2). Dann ergibt sich x B(a x,r x ) B(x, ε x ) O aus der Dreiecksungleichung, und es folgt O = x O B(a x,r x ). 1.8 Satz Es sei X ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. (ii) X ist ein Lindelöfscher Raum. (iii) X ist separabel. Beweis (i)= (ii) Es seien M eine abzählbare Basis und { O α ; α A } eine offene Überdeckung von X. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem α A eine Folge (U α,j ) j N in M mit O α = j N U α,j. Wir setzen M := { U α,j ; α A, j N }. Wegen M Mist M eine abzählbare Überdeckung von X.Essei{ M j ; j N } eine Abzählung von M. Nach Konstruktion von M gibt es zu jedem j N ein α j A mit M j O αj.alsoist{ O αj ; j N } eine abzählbare Teilüberdeckung von { O α ; α A }. (ii)= (iii) Für jedes n N ist U n := { B(x, 1/n) ; x X } eine offene Überdeckung von X. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem n N Punkte x n,k X, k N, so daß V n := { B(x n,k, 1/n) ; k N } eine Teilüberdeckung von U n ist. Gemäß Satz I.6.8 ist D := { x n,k ; n N, k N } abzählbar. Es seien nun x X, ε>0 und n>1/ε. Aufgrund der Überdeckungseigenschaft von V n gibt es ein x n,k D mit x B(x n,k, 1/n). Also ist D dicht in X. (iii)= (i) Ist X separabel, so folgt aus Lemma 1.7, daß X das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. 1.9 Korollar (i) Es sei X ein separabler metrischer Raum, und A sei abzählbar und dicht in X. Dann gilt B(X) =A σ ({ B(a, r) ; a A, r Q + }).

19 8 IX Elemente der Maßtheorie (ii) Es sei X R n nicht leer. Dann besitzt der metrische Raum X eine abzählbare Basis. Beweis (i) Es sei S := { B(a, r) ; a A, r Q + } und T bezeichne die Topologie von X. Aufgrund von Lemma 1.7 gilt T A σ (S), und wir finden mit den Bemerkungen 1.4(b) und (c): B(X) =A σ (T ) A σ ( Aσ (S) ) = A σ (S). Die Inklusion A σ (S) B(X) folgt aus S T und Bemerkung 1.4(a). (ii) Dies ergibt sich aus Aufgabe V.4.13 und Satz 1.8. Für allgemeine topologische Räume gilt das folgende Resultat Korollar Es sei X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis. Dann ist X separabel und Lindelöfsch. Beweis (i) Es sei { B j ; j N } eine Basis für X. Zu jedem j N wähle man b j B j und setze D := { b j ; j N }. OffenbaristD abzählbar. Es seien nun x X und U eine offene Umgebung von x. DanngibtesI N mit U = i I Bi. Also gilt U D, d.h., D ist dicht in X. (ii) Der Beweis der Implikation (i)= (ii) von Satz 1.8 zeigt, daß X ein Lindelöfscher Raum ist. Erzeugung der Borelschen σ-algebra durch Intervalle Auf R n verwenden wir die natürliche (Produkt-)Ordnung, d.h., für a, b R n gilt a b genau dann, wenn a k b k für 1 k n richtig ist. Eine Teilmenge J von R n heißt Intervall in R n,wennes( gewöhnliche ) Intervalle J k R, 1 k n, gibt mit J = n k=1 J k.für a, b R n mit a b verwenden wir die Bezeichnungen n n (a, b) := (a k,b k ), [a, b] := [a k,b k ], (a, b] := k=1 n (a k,b k ], k=1 Ist a b nicht erfüllt, so setzen wir [a, b) := k=1 n [a k,b k ). k=1 (a, b) :=[a, b] :=(a, b] :=[a, b) :=. In Analogie zum eindimensionalen Fall nennen wir (a, b) bzw.[a, b] offenes bzw. abgeschlossenes Intervall in R n. Offensichtlich sind offene bzw. abgeschlossene Intervalle in R n offene bzw. abgeschlossene Teilmengen von R n. Die Menge aller offenen Intervalle in R n bezeichnen wir mit J(n).

20 IX.1 Meßbare Räume 9 Es seien Y eine Menge und E eine Eigenschaft, welche für y Y entweder wahr oder falsch ist. Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, um welche Menge es sich handelt, verwenden wir die Abkürzung [E] := [ E(y) ] := { y Y ; E(y) istwahr }. Beispielsweise ist [x k α] für k {1,...,n} und α R der abgeschlossene Halbraum H k (α) :={ x R n ; x k α } in R n.istf Y X, so setzen wir [ E(f) ] := { x X ; E ( f(x) ) ist wahr }. Für f R X gilt dann zum Beispiel [f >0] = { x X ; f(x) > 0 }. Das folgende Theorem zeigt insbesondere, daß die Borelsche σ-algebra über R n bereits von der Menge der Halbräume mit rationalen Koordinaten erzeugt wird Theorem Es seien A Q := A σ ({ (a, b) ; a, b Q n }) und sowie Dann gilt A 0 := A σ ({ Hk (α) ; 1 k n, α Q }) A 1 := A σ ({ Hk (α) ; 1 k n, α R }). B n = A σ ( J(n) ) = AQ = A 0 = A 1. Beweis Da jeder abgeschlossene Halbraum zu B n gehört, folgt A 0 A 1 B n. (1.2) Es seien nun a, b R n mit a b. Für k {1,...,n} gelten [x k <b k ]=[x k b k ] c = H k (b k ) c A 1 sowie [x k >a k ]= [x k a k +1/j] A 1, j=1 da A 1 eine σ-algebra ist. Hieraus ergibt sich n n ( (a, b) = (a k,b k )= [xk <b k ] [x k >a k ] ) A 1. k=1 k=1