01145 Maß- und Integrationstheorie

Transkript

1 01145 Maß- und Integrationstheorie Eine Einführung Prof. Dr. Werner Kirsch Wissenschaftliche Mitarbeit: Dr. Tobias Mühlenbruch Lehrgebiet Stochastik FernUniversität in Hagen 25. April 2012

2 Volumen, Flächeninhalt,...

3 Volumen, Flächeninhalt,... Wir alle haben eine Vorstellung, was der Flächeninhalt eines ebenen Fläche, was das Volumen eines Körpers ist.

4 Volumen, Flächeninhalt,... Wir alle haben eine Vorstellung, was der Flächeninhalt eines ebenen Fläche, was das Volumen eines Körpers ist. Im Folgenden betrachten wir den Flächeninhalt als zweidimensionales Volumen!

5 Volumen, Flächeninhalt,... Wir alle haben eine Vorstellung, was der Flächeninhalt eines ebenen Fläche, was das Volumen eines Körpers ist. Im Folgenden betrachten wir den Flächeninhalt als zweidimensionales Volumen! Wir haben gelernt, das Volumen einiger Mengen zu berechnen: Rechteck, Kreis, Kugel (?)

6 Volumen, Flächeninhalt,... Wir alle haben eine Vorstellung, was der Flächeninhalt eines ebenen Fläche, was das Volumen eines Körpers ist. Im Folgenden betrachten wir den Flächeninhalt als zweidimensionales Volumen! Wir haben gelernt, das Volumen einiger Mengen zu berechnen: Rechteck, Kreis, Kugel (?) Eine richtige Definition für das Volumen einer Menge haben wir bisher nicht gehabt!

7 Das Volumen (= Flächeninhalt) eines Rechtecks

8 Das Volumen (= Flächeninhalt) eines Rechtecks

9 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

10 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

11 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

12 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

13 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

14 Das Volumen eines rechtwinkligen Dreiecks

15 Dabei haben wir stillschweigend folgende Regeln benutzt:

16 Dabei haben wir stillschweigend folgende Regeln benutzt: 1 Das Volumen V eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist V = a b.

17 Dabei haben wir stillschweigend folgende Regeln benutzt: 1 Das Volumen V eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist V = a b. 2 Zwei Mengen, die durch Drehung und/oder Verschiebung auseinander hervorgehen, haben das gleiche Volumen.

18 Dabei haben wir stillschweigend folgende Regeln benutzt: 1 Das Volumen V eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist V = a b. 2 Zwei Mengen, die durch Drehung und/oder Verschiebung auseinander hervorgehen, haben das gleiche Volumen. 3 Das Volumen ist additiv, d. h.: Sind A und B zwei disjunkte Mengen (A B = ), dann gilt: V (A B) = V (A) + V (B).

19 Warnung In unserem Beispiel haben wir vernachlässigt, dass die beiden Dreiecke A und B eine gemeinsame Kante haben, also nicht wirklich disjunkt sind.

20 Die Fläche unter einer Funktion In der Schule (oder im Kurs Mathematische Grundlagen ) haben wir gelernt, dass das Integral b a f (x) dx die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen der Funktion f (zwischen den Werten x = a und x = b) berechnet.

21 f (x) = 1 x 2 Die Fläche eines Halbkreises

22 Die Fläche eines Halbkreises f (x) = 1 x 2 Approximation des Integrals durch Riemannsummen = Vereinigung von Rechtecken

23 Die Fläche eines Halbkreises f (x) = 1 x 2 Approximation des Integrals durch Riemannsummen = Vereinigung von Rechtecken

24 Die Fläche eines Halbkreises f (x) = 1 x 2 Approximation des Integrals durch Riemannsummen = Vereinigung von Rechtecken

25 σ Additivität Mit Hilfe der Riemannsummen approximieren wir das Volumen unter dem Funktionsgraphen (hier: des Halbkreises) durch die Flächen von Rechtecken.

26 σ Additivität Mit Hilfe der Riemannsummen approximieren wir das Volumen unter dem Funktionsgraphen (hier: des Halbkreises) durch die Flächen von Rechtecken. Dafür brauchen wir mehr als die einfache Additivität, nämlich die σ Additivität, d. h.:

27 σ Additivität Mit Hilfe der Riemannsummen approximieren wir das Volumen unter dem Funktionsgraphen (hier: des Halbkreises) durch die Flächen von Rechtecken. Dafür brauchen wir mehr als die einfache Additivität, nämlich die σ Additivität, d. h.: Additivität: Sind A 1, A 2, A 3,... A n disjunkte Mengen (also A i A j = für i j), dann gilt: ( n ) V A j j=1 = n V (A j ) j=1

28 σ Additivität Mit Hilfe der Riemannsummen approximieren wir das Volumen unter dem Funktionsgraphen (hier: des Halbkreises) durch die Flächen von Rechtecken. Dafür brauchen wir mehr als die einfache Additivität, nämlich die σ Additivität, d. h.: σ Additivität: Sind A 1, A 2, A 3,... disjunkte Mengen (also A i A j = für i j), dann gilt: ( ) V A j j=1 = V (A j ) j=1

29 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion.

30 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion. Volumen Eine Mengenfunktion V : P(R d ) R { } heißt eine (vollständige) Volumenfunktion, wenn folgendes gilt:

31 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion. Volumen Eine Mengenfunktion V : P(R d ) R { } heißt eine (vollständige) Volumenfunktion, wenn folgendes gilt: 1 V (A) 0 für alle Mengen A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. Also: Für disjunkte A 1, A 2,... gilt: V ( j=1 A j) = j=1 V (A j). 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

32 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion. Volumen Eine Mengenfunktion V : P(R d ) R { } heißt eine (vollständige) Volumenfunktion, wenn folgendes gilt: 1 V (A) 0 für alle Mengen A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. Also: Für disjunkte A 1, A 2,... gilt: V ( j=1 A j) = j=1 V (A j). 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

33 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion. Volumen Eine Mengenfunktion V : P(R d ) R { } heißt eine (vollständige) Volumenfunktion, wenn folgendes gilt: 1 V (A) 0 für alle Mengen A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. Also: Für disjunkte A 1, A 2,... gilt: V ( j=1 A j) = j=1 V (A j). 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

34 Programm der Maßtheorie (1. Versuch) Wir nennen P(M) = {A A M} die Potenzmenge von M. Ist M P(M), dann heißt eine Funktion f : M R { } eine Mengenfunktion. Volumen Eine Mengenfunktion V : P(R d ) R { } heißt eine (vollständige) Volumenfunktion, wenn folgendes gilt: 1 V (A) 0 für alle Mengen A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. Also: Für disjunkte A 1, A 2,... gilt: V ( j=1 A j) = j=1 V (A j). 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

35 Dieser Versuch mißlingt! Satz (Banach-Tarski u.a.) Es gibt keine (vollständige) Volumenfunktion, die für alle Teilmengen M R d definiert ist und die Bedingungen 1-4 erfüllt!

36 Dieser Versuch mißlingt! Satz (Banach-Tarski u.a.) Es gibt keine (vollständige) Volumenfunktion, die für alle Teilmengen M R d definiert ist und die Bedingungen 1-4 erfüllt! Das Banach-Tarski-Paradox Man kann eine Kugel mit Radius 1 so in endlich viele Teilmengen zerlegen, dass man aus diesen Mengen durch Verschieben und Drehen zwei Kugeln mit Radius 1 zusammensetzen kann. (siehe z.b.

37 Dieser Versuch mißlingt! Satz (Banach-Tarski u.a.) Es gibt keine (vollständige) Volumenfunktion, die für alle Teilmengen M R d definiert ist und die Bedingungen 1-4 erfüllt! Das Banach-Tarski-Paradox Man kann eine Kugel mit Radius 1 so in endlich viele Teilmengen zerlegen, dass man aus diesen Mengen durch Verschieben und Drehen zwei Kugeln mit Radius 1 zusammensetzen kann. (siehe z.b. Rettungsversuch Wir verzichten darauf, das Volumen für alle Mengen zu definieren.

38 Programm der Maßtheorie (2. Versuch) Eine (nichtleere) Teilmenge A von P(M) heißt ein Mengensystem über der Grundmenge M. Volumen (2. Versuch) Ist A ein Mengensystem über R d, dann heißt eine Mengenfunktion V : A R { } heißt eine Volumenfunktion (auf A), wenn folgendes gilt: 1 V (A) 0 für alle Mengen A A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

39 1 V (A) 0 für alle Mengen A A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A).

40 1 V (A) 0 für alle Mengen A A und V ( ) = 0. 2 V ist σ additiv. 3 Ein Würfel mit Seitenlängen a 1, a 2,..., a d hat das Volumen d j=1 a j. 4 Entsteht A aus A durch Verschiebung (oder Drehung), dann gilt: V (A ) = V (A). Eigenschaften von A Damit diese Definition überhaupt sinnvoll ist, sollte das Mengensystem A folgende Eigenschaften haben: 1 A und R d A. 2 Gilt A 1, A 2,... A, dann ist auch j=1 A j A. Gilt A 1, A 2 A, dann ist auch A 1 \ A 2 A. 3 Würfel gehören zu A. 4 Entsteht A aus A A durch Verschiebung oder Drehung, dann gilt: A A.

41 Abstrakte Zielsetzung für die Maßtheorie σ Algebra M sei eine nichtleere Menge. Ein Mengensystem A über M heißt eine σ Algebra, wenn gilt: 1 A und M A. 2 Gilt M 1, M 2,... A, dann ist auch j=1 M j A. 3 Gilt M 1, M 2 A, dann ist auch M 1 \ M 2 A.

42 Abstrakte Zielsetzung für die Maßtheorie σ Algebra M sei eine nichtleere Menge. Ein Mengensystem A über M heißt eine σ Algebra, wenn gilt: 1 A und M A. 2 Gilt M 1, M 2,... A, dann ist auch j=1 M j A. 3 Gilt M 1, M 2 A, dann ist auch M 1 \ M 2 A. Maß Ist A eine σ Algebra über einer Menge M, dann heißt eine Mengenfunktion µ : A R { } ein Maß auf A, wenn gilt: 1 µ(a) 0 für alle Mengen A A und µ( ) = 0. 2 µ ist σ additiv.

43 Abstrakte Zielsetzung für die Maßtheorie σ Algebra M sei eine nichtleere Menge. Ein Mengensystem A über M heißt eine σ Algebra, wenn gilt: 1 A und M A. 2 Gilt M 1, M 2,... A, dann ist auch j=1 M j A. 3 Gilt M 1, M 2 A, dann ist auch M 1 \ M 2 A. Maß Ist A eine σ Algebra über einer Menge M, dann heißt eine Mengenfunktion µ : A R { } ein Maß auf A, wenn gilt: 1 µ(a) 0 für alle Mengen A A und µ( ) = 0. 2 µ ist σ additiv. Abstrakte Aufgabe Finde möglichst große σ Algebren A über einer Menge M und Maße µ auf A.

44 Konkrete Zielsetzung: Das Volumen Konkrete Aufgabe Finde eine möglichst große σ Algebra A über der Menge R d, die mindestens die (d-dimensionalen) Würfel enthält, und ein Maß auf A, das auf den Würfeln mit dem (durch das Produkt der Seitenlängen definierten) Volumen übereinstimmt.

45 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt:

46 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H.

47 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H. Im konkreten Fall des d dimensionalen Volumens besteht H aus den (achsenparallelen, d dimensionalen) Würfeln. Die Mengenfunktion µ für einen Würfel Q ist das Produkt der Seitenlängen von Q, die elementare Volumenfunktion auf H.

48 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H. Im konkreten Fall des d dimensionalen Volumens besteht H aus den (achsenparallelen, d dimensionalen) Würfeln. Die Mengenfunktion µ für einen Würfel Q ist das Produkt der Seitenlängen von Q, die elementare Volumenfunktion auf H. Wir konstruieren in zwei Schritten aus dem Ausgangs-Mengensystem H eine σ Algebra A(H), die kleinste σ Algebra, die H umfasst.

49 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H. Im konkreten Fall des d dimensionalen Volumens besteht H aus den (achsenparallelen, d dimensionalen) Würfeln. Die Mengenfunktion µ für einen Würfel Q ist das Produkt der Seitenlängen von Q, die elementare Volumenfunktion auf H. Wir konstruieren in zwei Schritten aus dem Ausgangs-Mengensystem H eine σ Algebra A(H), die kleinste σ Algebra, die H umfasst. Im konkreten Fall ist dies die σ Algebra der Borel-Mengen. Sie umfasst eine große Vielfalt von Mengen, z. B. alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in R d.

50 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H. Im konkreten Fall des d dimensionalen Volumens besteht H aus den (achsenparallelen, d dimensionalen) Würfeln. Die Mengenfunktion µ für einen Würfel Q ist das Produkt der Seitenlängen von Q, die elementare Volumenfunktion auf H. Wir konstruieren in zwei Schritten aus dem Ausgangs-Mengensystem H eine σ Algebra A(H), die kleinste σ Algebra, die H umfasst. Im konkreten Fall ist dies die σ Algebra der Borel-Mengen. Sie umfasst eine große Vielfalt von Mengen, z. B. alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in R d. Wir setzen die Mengenfunktion µ von H auf A(H) fort. Unter geeigneten Voraussetzungen an µ ist die Fortsetzung ein Maß auf A(H).

51 Die abstrakte und die konkrete Aufgabe werden in der gleichen Weise durchgeführt: Wir beginnen mit einer geeigneten Mengenfunktion µ auf einem möglichst einfachen Mengensystem H. Im konkreten Fall des d dimensionalen Volumens besteht H aus den (achsenparallelen, d dimensionalen) Würfeln. Die Mengenfunktion µ für einen Würfel Q ist das Produkt der Seitenlängen von Q, die elementare Volumenfunktion auf H. Wir konstruieren in zwei Schritten aus dem Ausgangs-Mengensystem H eine σ Algebra A(H), die kleinste σ Algebra, die H umfasst. Im konkreten Fall ist dies die σ Algebra der Borel-Mengen. Sie umfasst eine große Vielfalt von Mengen, z. B. alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in R d. Wir setzen die Mengenfunktion µ von H auf A(H) fort. Unter geeigneten Voraussetzungen an µ ist die Fortsetzung ein Maß auf A(H). Im konkreten Fall ist die Fortsetzung der elementaren Volumenfunktion tatsächlich ein Mass, wir nennen es das (d dimensionale) Lebesgue-Mass.

52 Warum abstrakte Maße? Abstrakte Maße sind nicht nur von theoretischem Interesse!!

53 Warum abstrakte Maße? Abstrakte Maße sind nicht nur von theoretischem Interesse!! Bei vielen Aufgaben ist die Translationsinvarianz des Volumens nicht sinnvoll:

54 Warum abstrakte Maße? Abstrakte Maße sind nicht nur von theoretischem Interesse!! Bei vielen Aufgaben ist die Translationsinvarianz des Volumens nicht sinnvoll: Bei der Verteilung von Ladungen im Raum. Bei der Beschreibung der durchschnittlichen Niederschlagsmenge auf der Erde. Bei der Berechnung von Grundstückpreisen....

55 Warum abstrakte Maße? Die wohl wichtigste Anwendung abstrakter Maße findet sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wahrscheinlichkeitsmaße bilden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. So wird man zur Beschreibung zufälliger zeitlicher Prozesse, z.b. bei der Beschreibung von Aktienkursen oder des radioaktiven Zerfalls Funktionenräume wie die stetigen Funktionen auf einem (Zeit-)Intervall als Grundmenge M nehmen.