Maß- und Integrationstheorie

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1 Jürgen Elstrodt Maß- und Integrationstheorie Siebte, korrigierte und aktualisierte Auflage ~ Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. o-alqebreii und Boreische Mengen 1 l. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem 1 2. Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen 6 l. Bezeichnungen 6 2. Limes superior und Limes inferior Ringe, Algebren, er-ringe und o-algebren Ringstruktur von I.lJ(X) Ringe und Algebren o-ringe und rj"-algebren Erzeuger und Botelsehe Mengen 16 l. Erzeuger Borelsche Mengen Verhalten unter Abbildungen Halbringe 20 l. Halbringe Der von einem Halbring erzeugte Ring Monotone Klassen und Dynkin-Systeme Monotone Klassen Dynkin-Systeme Kapitel II. Inhalte und Maße 27 l. Inhalte, Prämaße und Maße 27 l. Definitionen und erste Folgerungen Ein erster Fortsetzungssatz Eigenschaften von Inhalten Charakterisierung der o-additivität Historische Anmerkungen Inhalte und Prämaße auf IR 37 l. Endliche Inhalte auf J Endliche Prämaße auf J Kurzbiographie von E. BOREL 41 42

3 x Inhaltsverzeichnis 3. Inhalte und Prämaße auf IRP Das Lebesguesche Prärnaß auf JP Differenzenoperatoren Inhalte auf JP Prämaße auf JP Kurzbiographie von.j, RADON Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen Äußere Maße Der Fortsetzungssatz Die Lebesgue-meßbaren Teilmengen des IRP Kurzbiographie von C. CARATHEODORY Eindeutigkeit der Fortsetzung a-endliche Inhalte Der Eindeutigkeitssatz Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungsfunktionen auf IR Vollständige Maßräume Das Lebesguesche Maß Approximationssätze Charakterisierung der Lebesgue-Meßbarkeit Der Satz von H. STEINHAUS Meßbarkeit konvexer Mengen Das Cantorsche Diskontinuum Konstruktion von C Triadische Entwicklung Mächtigkeiten von IJ3P und ~p Die Cantorsche Funktion Metrische äußere Maße und Hausdorff-Maße Metrische äußere Maße Hausdorff-Maße Rektifizierbare Kurven Kurzbiographie von F HAUSDORFF 80 82

4 lnhaltsverzeichnis Kapitel TTl. Meßbare Funktionen XI 83 1 Meßbare Abbildungen und Bildmaße Meßbare Abbildungen Bildmaße Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes Das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen Abbildungen Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß Existenz nicht meßbarer Mengen 96 1 Nicht Lebesgue-rneßbare Mengen und Unlösbarkeit des Maßproblems Kurzbiographie von G. VITALI 99 3 Weitere Beispiele nicht Lebesgue-meßbarer Mengen 99 4 Existenz nicht meßbarer Mengen für Lebesgue-Stieltjessche Maße Meßbare numerische Funktionen Rechnen in lr, Topologie von i: Meßbare numerische Funktionen Approximation durch Treppenfunktionen 10R 4. Abzählbar erzeugte Meßräume Ein minimaler Erzeuger von!bi Produkt-rr-Algebren Initial-a-Algebren und Produkt-o-Algebren Borel-Mengen topologieeher Produkte Meßbarkeit der Diagonalen Ktipiiel TV Das Lebesoue-Inieqral 31 Integration von Treppenfunktionen 2. Integration nicht-negativer meßbarer Funktionen l. Definition des Integrals 2. Der Satz von der monotonen Konvergenz 3. Kurzbiographie von B. LEVI 4. Maße mit Dichten ]

5 Xli Inhaltsverzeichnis 3. Integrierbare Funktionen 1. Integrierbare Funktionen 2. Linearität und Monotonie des Integrals 3. Der Raum [} 4. Stetige Funktionen mit kompaktem Träger 5. Integration über meßbare Teilmengen 6. Historische Anmerkungen 7. Kurzbiographie von W.H. YOUNG 4. Fast überall bestehende Eigenschaften 5. Konvergenzsätze 1. Das Lemma von FATOU 2. Kurzbiographie von P. FATOU 3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz 4. Von einem Parameter abhängige Integrale 5. Der Satz von SCHEFFE 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 3. Mittelwertsätze der Integralrechnung 4. Kurzbiographie von H. LEBESGUE Kapitel V. Produktmaße, Satz von FUBINI und Transformationsformel Produktmaße 1. Produkt-rr-Algebren 2. Produktmaße 3. Das Cavalierische Prinzip 4. Produkte endlich vieler Maßräume 5. Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß 2. Der Satz von FUBINI 1. Der Satz von FUBINI 2. Historische Anmerkungen 3. Beispiele für Anwendungen des Satzes von FUBINI 4. Der Gaußsche Integralsatz für die Ebene 5. Kurzbiographien von G. FUBINI und L. TONELLI

6 Inhaltsverzeichnis 3. Faltung und Fourier-Transformation 1. Integration in bezug auf Bildmaße 2. Transformation von Maßen mit Dichten 3. Die Faltung auf LI(JRP, I)3P, ßP) 4. Die Fourier-Transformation 4. Die Transformationsformel 1. Die Transformationsformel 2. Der Satz von SARD 3. Verallgemeinerte Transformationsformel 4. Transformation von Maßen mit Dichten bez. AP 5. Der Brouwersche Fixpunktsatz Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Maßund Integrationstheorie xiii Die Ungleichungen von JENSEN, HÖLDER und MINKOWSKI Die Jensensehe Ungleichung Die Höldersche Ungleichung Die Minkowskische Ungleichung Historische Anmerkungen Die Räume LP und der Satz von RIEsz-FISCHER Die Räume 0 und LP Der Satz von RIEsz-FISCHER Die Banach-Algebra LI (lr n, I)3n, ßn) Der Hilbert-Raum L 2 (fl ) Der Banach-Verband L~ Dichte Unterräume von LP Der Satz von PLANCHEREL Der Satz von FATOU über Potenzreihen Historische Anmerkungen Kurzbiographien von F. RIESZ und E. FISCHER Der Satz von JEGOROW Konvergenz fl-fast überall Fast gleichmäßige Konvergenz Kurzbiographie von D.F. JEGOROW

7 xiv Inhaltsverzeichnis 4. Konvergenz nach Maß Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß Vergleich der Konvergenzbegriffe Charakterisierung der Konvergenz n.m. und der Konvergenz lokal n.m Konvergenz in Der Satz von PRATT Konvergenz in Der Konvergenzsatz von VITALl Schwache Konvergenz in Kapitel VII. Absolute Stetigkeit Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz Signierte Maße Der Hahnsehe Zerlegungssatz Positive Variation, negative Variation und Variation Jordanscher Zerlegungssatz 273 o. Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße Kurzbiographie von H. HAHN Der Satz von RADON-NlKODYM und der Lebesguesche Zerlegungssatz Absolute Stetigkeit Der Satz von RADON-NlKODYM Kurzbiographie von O. NIKODYM Der Lebesguesche Zerlegungssatz Der Dualraum von LP (1::; P < 00) Der Dualraum von LP (p,) (1::; P < 00) Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra LI (P,m) Absolut stetige Funktionen auf lr Der Überdeckungssatz von VITALI Differenzierbarkeit monotoner Funktionen X-f. ü Der Dichtesatz Absolut stetige Funktionen auf lr Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Maße Rektifizierbare Kurven

8 Inhal tsverzeichnis Kapitel V/Ir Maße auf iopoloqisclien Räumen xv Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität Grundbegriffe 313 2, Regularitätssätze Moderate Borel-Maße Regularität von Borel-Maßen 318 j Regularität von Borel-Maßen auf polnischen Räumen Der Satz von LUSIN Kurzbiographie von N.N LUSIN Der Darstellungssatz von F. RIESZ :i28 1. Problemstellung Fortsetzungssatz Der Darstellungssatz von F. RIESZ für lokal-kompakte Räume Der Darstellungssatz von F. RIESZ für vollständig reguläre Räume 339 o. Träger von Maßen Der Darstellungssatz von F. RIESZ für stetige Linearformen auf Co(X) Das Haarsehe Maß 3.')J 1. Topologische Gruppen Linksinvariante Linearformen und Maße Existenz und Eindeutigkeit des Haarsehen Maßes Anwendungen des Haar-Maßes Invariante und relativ invariante Maße auf Restklassenräumen Kurzbiographie von A HAAR Schwache Konvergenz und schwache Kornpaktheit Eine Regularitätseigenschaft endlicher Maße auf metrischen Räumen 379 :2. Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Maßen 380 :1. Das Portmanteau-Theorem Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Sätze von HELLy--BRAY und HELLY 3~6 Cl Der Satz von Pnocnonov :i92 6 Die Laplace-Transformation Die Prochorov-Metrik

9 XVI Anhang A. Topologische Räume Anhang B. Transfinite Induktion Literaturverzeichnis Namenverzeichnis Symbolverzeichnis Sachverzeichnis Inhaltsverzeichnis