Mathematik für Physiker

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1 Mathematik für Physiker Band 2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Von Dr. rer. nat. Helmut Fischer und Prof. Dr. rer. nat. Helmut Kaul Universität Tübingen Mit zahlreichen Figuren, Aufgaben und Beispielen B.G.Teubner Stuttgart 1998

2 Inhalt Kapitel I Übersicht 1 Beispiele für Differentialgleichungsprobleme 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 11 2 Partielle Differentialgleichungen 13 3 Was bedeutet Lösung einer Differentialgleichung"? 21 4 Die Schrödinger-Gleichung 22 Kapitel II Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 Grundlegende Theorie 1 Das allgemeine Anfangswertproblem 25 2 Das Anfangswertproblem als Integralgleichung 27 3 Die Standardvoraussetzung für DG-Systeme 28 4 Kontrollierbarkeit und Eindeutigkeit von Lösungen 30 5 Existenz von Lösungen 32 6 Zum Definitionsintervall maximaler Lösungen 36 7 Differenzierbarkeitseigenschaften von Lösungen 42 3 Allgemeine lineare Theorie 1 Lineare Systeme 53 2 Zur Berechnung von e ia 57 3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 65 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1 Problemstellung 68 2 Sturm-Liouville-Form und Fundamentalsysteme 69 3 Potenzreihenentwicklungen von Lösungen 72 4 Reihendarstellung von Lösungen in singulären Randpunkten Einführung in die qualitative Theorie 1 Autonome Systeme 95 2 Phasenportraits linearer Systeme in der Ebene Die Differentialgleichung x = F(x) Stabilität von Gleichgewichtspunkten Die direkte Methode von Ljapunow Die Sätze von Liouville und Poincare-Bendixson 125

3 6 Inhalt Kapitel III Partielle DG, elementare Lösungsmethoden 6 Separationsansätze und Fourierreihen 1 Die schwingende Saite I Fourierreihen Die schwingende Saite II Wärmeleitung im Draht Das stationäre Wärmeleitungsproblem für die Kreisscheibe Die Charakteristikenmethode für DG 1. Ordnung 1 Die quasilineare Differentialgleichung Die allgemeine Differentialgleichung JP(X,M, V«) = Wellenfronten und Lichtstrahlen Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 196 Kapitel IV Hilfsmittel aus der Analysis 8 Lebesgue Theorie und L p Räume 1 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals Die Räume L p (fi) Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Hilberträume 1 Beispiele für Hilberträume Abgeschlossene Teilräume und orthogonale Projektionen Dichte Teilräume Vollständige Orthonormalsysteme Glättung von Funktionen, Fortsetzung stetiger Funktionen 1 Testfunktionen Faltung mit Testfunktionen Glättung von Funktionen Das Fundamentallemma der Variationsrechnung Fortsetzung stetiger Funktionen, die Räume C k (Q) Gaußscher Integralsatz und Greensche Formeln 1 Untermannigfaltigkeiten des R" Integration auf Untermannigfaltigkeiten Der Gaußsche Integralsatz Die Greenschen Identitäten Der Laplace Operator in krummlinigen Koordinaten 276

4 Inhalt 7 12 Die Fouriertransformation 1 Zielsetzung Die Fouriertransformation auf L (K.") Die Fouriertransformation auf,5? und L Anwendungen Schwache Lösungen und Distributionen 1 Schwache Lösungen von Differentialgleichungen Distributionen Konvergenz von Distributionenfolgen Differentiation von Distributionen Grundlösungen Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen 317 Kapitel V Die drei Grundtypen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung 14 Randwertprobleme für den Laplace Operator 1 Übersicht Eigenschaften des Laplace-Operators Eindeutigkeit von Lösungen Existenz von Lösungen: Perron-Methode Existenz von Lösungen: Integralgleichungsmethode Existenz von Lösungen: Variationsmethode Eigenwertprobleme für den Laplace Operator 1 Entwicklung nach Eigenfunktionen des Laplace-Operators Geometrische Eigenschaften von Eigenwerten und -funktionen Eigenwerte und Eigenfunktionen auf Kugeln Die Wärmeleitungsgleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen Eigenschaften des Wärmeleitungsoperators Das Anfangswertproblem Das Anfangs-Randwertproblem Die Wellengleichung 1 Bezeichnungen, Problemstellungen Eigenschaften des d'alembert-operators Das Anfangswertproblem Das Anfangs-Randwertproblem 451

5 8 Inhalt Kapitel VI Mathematische Grundlagen für die Quantenmechanik 18 Mathematische Fragen zur Quantenmechanik 1 Ausgangspunkt, Zielsetzung, Wegweiser Beugung und Interferenz von Elektronen Dynamik eines Teilchens unter dem Einfluß eines Potentials Das mathematische Gerüst der Pionier-Quantenmechanik Maß und Wahrscheinlichkeit 1 Diskrete Verteilungen Erwartungswert und Streuung einer diskreten Verteilung Varianz und Streuung einer diskreten Verteilung Verteilungen mit Dichten cr-algebren und Borelmengen Eigenschaften von Maßen Konstruktion von Maßen durch Fortsetzung Das Lebesgue-Maß Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Integration bezüglich eines Maßes 1 Das Konzept des /x-integrals Das /i-integral für Elementarfunktionen Meßbare Funktionen Das /i-integral Vertauschbarkeit von Limes und Integral Das ^i-integral für Wahrscheinlichkeitsmaße auf TR, L p -Räume und ihre Eigenschaften Dichte Teilräume und Separabilität Spektrum und Funktionalkalkül symmetrischer Operatoren 1 Beschränkte Operatoren und Operatornorm Beispiele Die C*-Algebra if(jt) Konvergenz von Operatoren Das Spektrum beschränkter Operatoren Analytizität der Resolventen, Folgerungen für das Spektrum Der Funktionalkalkül für symmetrische Operatoren Positive Operatoren und Zerlegung von Operatoren Erweiterung des Funktionalkalküls 592

6 Inhalt 9 22 Der Spektralsatz für beschränkte symmetrische Operatoren 1 Spektralzerlegung und Spektralsatz Beispiele Diagonalisierung beschränkter symmetrischer Operatoren Spektralzerlegung kompakter symmetrischer Operatoren Anwendung auf Rand-Eigenwertprobleme Der allgemeine Zustandsbegriff Unbeschränkte Operatoren 1 Definitionen und Beispiele Abgeschlossene Operatoren Der Abschluß gewöhnlicher Differentialoperatoren Der adjungierte Operator Spektrum und Resolvente Zur praktischen Bestimmung des Spektrums Selbstadjungierte Operatoren 1 Charakterisierung selbstadjungierter Operatoren Wesentlich selbstadjungierte Operatoren Symmetrische Operatoren mit diskretem Spektrum Störung wesentlich selbstadjungierter Operatoren Der Spektralsatz und der Satz von Stone 1 Spektralzerlegung und Funktionalkalkül Ausführung der Beweise Selbstadjungierte Operatoren und unitäre Gruppen Hilbertraumtheorie und Quantenmechanik 723 Namen und Lebensdaten 732 Literaturverzeichnis 734 Symbole und Abkürzungen 744 Index 746