Lehrgang der höheren Mathematik

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1 Lehrgang der höheren Mathematik Teil 1V/2 von W. I. Smirnow Mit 16 Abbildungen /-. \ D W VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1989

2 Inhalt I. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Differentialgleichungen erster Ordnung Quasilineare Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen Das Cauchysehe Problem und die Charakteristiken Quasilineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen Beispiele Ein Hilfssatz Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung Charakteristische Mannigfaltigkeiten Die Cauchysche Methode Das Cauchysche Problem Die Eindeutigkeit der Lösung Der singulare Fall Nichtlineare Differentialgleichungen mit beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen Vollständiges, allgemeines und singuläres Integral Das vollständige Integral und das Cauchysche Problem Beispiele Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen Der Satz von JACOBI Systeme zweier Differentialgleichungen erster Ordnung Die Methode von LAGRANGE und CHABPIT Systeme linearer Differentialgleichungen Vollständige und Jacobische Systeme Die Integration vollständiger Systeme Die Poissonschen Klammern Die Methode von JACOBI Kanonische Systeme Beispiele Die Majorantenmethode Der Satz von S. KOWALEWSKAJA Differentialgleichungen höherer Ordnung Differentialgleichungen höherer Ordnung Die Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Normalformen bei zwei unabhängigen Veränderlichen Das Cauchysche Problem Charakteristische Streifen Ableitungen höherer Ordnung Reelle und komplexe Charakteristiken 89

3 8 Inhalt 37. Die grundlegenden Sätze Vorintegrale Die Monge-Amperesche Differentialgleichung Charakteristiken bei beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen Bicharakteristiken Der Zusammenhang mit einem Variationsproblem Ausbreitung von Unstetigkeiten Starke Unstetigkeiten Die Riemannsche Integrationsmethode Charakteristische Anfangswerte Existenzsätze Die Formel der partiellen Integration und die Greensche Formel Die Methode von VOLTEBRA Die Formel von SOBOLEW Die Formel von SOBOLEW (Fortsetzung) Die Konstruktion der Funktion a Allgemeine Anfangsbedingungen Die verallgemeinerte Wellengleichung Die Wellengleichung für beliebig viele unabhängige Veränderliche Die energetische Ungleichung Der Eindeutigkeitssatz und der Satz über die stetige Abhängigkeit der Lösungen Der Fall der Wellengleichung Der Satz über die Einbettung in den Raum stetiger Funktionen und einige, seiner Folgerungen Verallgemeinerte Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung Über die Existenz und Eindeutigkeit verallgemeinerter Lösungen des Cauchyschen Problems für die Wellengleichung Elliptische Differentialgleichungen Systeme partieller Differentialgleichungen Charakteristiken bei Systemen partieller Differentialgleichungen Die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen Die dynamischen Kompatibilitätsbedingungen Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik Die Gleichungen der Elastizitätstheorie ' Anisotrope elastische Körper Elektromagnetische Wellen Starke Unstetigkeiten in der Elastizitätstheorie Charakteristiken und große Frequenzen Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher Beispiele 185 II. Randwertprobleme 1. Randwertprobleme bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung Die Greensche Funktion einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung Überführung in eine Integralgleichung Die Symmetrie der Greenschen Funktion Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwertproblems. 19^ 78. Über das Vorzeichen der Eigenwerte 19 ß 79. Beispiele 19-

4 Inhalt Die verallgemeinerte Greensche Funktion Die Legendreschen Polynome Die Hermiteschen und Laguerreschen Funktionen Differentialgleichungen vierter Ordnung...< Erweiterung des Entwicklungssatzes durch W. A. STEKLOW Rechtfertigung der Fouriermethode für die Wärmeleitungsgleichung Rechtfertigung der Fouriermethode für die Schwingungsgleiohung Die Eindeutigkeitssätze Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen Ein Satz von COTTBANT Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenfunktionen Das Ritzsche Verfahren Ein Beispiel von RITZ Elliptische Differentialgleichungen Das Newtonsche Potential Das Potential einer Doppelschicht Eigenschaften des Potentials einer einfachen Schicht Die Normalableitung des Potentials einer einfaohen Schicht Die Normalableitung des Potentials einer einfachen Schicht (Fortsetzung) Der direkte Wert der Normalableitung auf S Die Ableitung des Potentials einer einfachen Schicht nach einer beliebigen Richtung Das logarithmische Potential Integralformeln und Parallelflächen Folgen harmonischer Funktionen Formulierung der inneren Randwertprobleme für die Laplace^che Gleichung Äußere Probleme im ebenen Fall Die Kelvintransformation Die Eindeutigkeit der Lösung des Neumannschen Problems Lösung der Randwertprobleme im dreidimensionalen Fall Untersuchung der auftretenden Integralgleichungen Übersicht über die Ergebnisse zur Lösbarkeit der betrachteten Randwertprobleme Randwertprobleme in der Ebene Die Integralgleichung der Kugelfunktionen Das Wärmegleichgewicht eines Wärme ausstrahlenden Körpers Das alternierende Verfahren von SCHWABZ Beweis des Hilf ssatzes Das alternierende Verfahren von SCHWABZ (Fortsetzung) Sub-und superharmonische Funktionen Einige Hilfssätze Die Methode der Unter-und Oberfunktionen Untersuchung der Randwerte Die Laplacesche Differentialgleichung im n-dimensionalen Raum Die Greensche Funktion des Laplaceschen Operators Die Eigenschaften der Greenschen Funktion Die Greensche Funktion für ebene Bereiche Beispiele Die Greensche Funktion und die inhomogene Differentialgleichung Eigenwerte und Eigenfunktionen Die Normalableitung der Eigenfunktionen Die Extremaleigenschaften der Eigenwerte und Eigenfunktionen

5 10 Inhalt 130. Die Helmholtzsche Gleichung und das Ausstrahlungsprinzip Der Eindeutigkeitssatz Die Prinzipien der Grenzamplitude und der Grenzabsorption Randwertprobleme für die Helmholtzsche Differentialgleichung Die Beugung einer elektromagnetischen Welle Der Vektor der magnetischen Feldstärke Der Eindeutigkeitssatz über die Lösung des Dirichletschen Problems für elliptische Differentialgleichungen Die Differentialgleichung Av~Xv= Ein asymptotischer Ausdruck für die Eigenwerte Der Beweis des Satzes aus [138] ' Lineare Differentialgleichungen allgemeinerer Gestalt Der Greensche Tensor Das ebene statische Problem der Elastizitätstheorie Über die Ergebnisse von SCHAUDER Die verallgemeinerten Lösungen der Klasse W\(D) Die erste grundlegende (energetische) Ungleichung Der Raum W\ Ü (D) und die zweite grundlegende Ungleichung Einige Ausführungen über Hilbertsche Räume und über Operatoren in Hilbertschen Räumen Über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems im Raum W\(D) Über die Fredholmsche Lösbarkeit des Dirichletschen Problems Über das Spektrum symmetrischer Operatoren Parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen Die Abhängigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung von der Anfangs- und Randbedingung sowie von der Störfunktion Die Potentiale der Wärmeleitungsgleichung im eindimensionalen Fall Wärmequellen im mehrdimensionalen Fall Die Greensche Funktion der Wärmeleitungsgleichung Anwendung der Laplacetransformation Anwendung des Differenzen Verfahrens Die Fouriermethode zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung Die inhomogene Differentialgleichung Die Eigenschaften der Lösungen der Wärmeleitungsgleichung Die verallgemeinerten Potentiale einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht im eindimensionalen Fall Sub-und superparabolische Funktionen Parabolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung Die Fouriermethode für parabolische Differentialgleichungen Die zweite grundlegende Ungleichung und die Lösbarkeit des ersten Anfangs-Randwertproblems Hyperbolische Gleichungen in allgemeiner Gestalt. Die energetische Ungleichung für das erste Anfangs-Randwertproblem Die Fouriermethode für Gleichungen vom hyperbolischen Typus Ein Randwertproblem für die Kugel Die Schwingungen des Innengebietes einer Kugel Untersuchung der Lösung Das Randwertproblem der Telegraphengleichung 449 Literaturhinweise 452 Namen- und Sachverzeichnis 467