Vorlesungen über Partielle und Pfaffsche Differentialgleichungen

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1 Vorlesungen über Partielle und Pfaffsche Differentialgleichungen von WOLFGANG HAACK em. o. Professor an der Technischen Universität Berlin WOLFGANG WENDLAND Priv.-Doz. an der Technischen Universität Berlin 1969 BIRKHAUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART

2 INHALTSVERZEICHNIS Teill Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen 1. Einführung und Existenzsatz von Cauchy Kowalewski Einführung, Existenzsatz von Cauchy Kowalewski für ein System erster Ordnung Fortsetzung: Die Majorantenmethode.; Fortsetzung: Die Konstruktion von analytischen Majoranten Das Cauchysche Anfangswertproblem für eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung Der allgemeine Existenzsatz von Cauchy Kowalewski Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Integralrelationen Pfaffsche Differentialformen in zwei Variablen und Pfaffsche Ableitungen Äußeres Produkt und äußere Ableitung Integralrelationen einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung Der d -Operator und die Typeneinteilung Die Greenschen Formeln und die adjungierte Differentialgleichung Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungen vom elliptischen und parabolischen Typus und das Energieintegral Das Maximuniprinzip Transformation auf Normalform Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus Netz der Charakteristiken; Bestimmtheitsgebiet Das Cauchysche Anfangswertproblem Das Anfangs-Randwertproblem Das charakteristische Anfangswertproblem Das Charakteristikenverfahren Die Riemannsche Methode für das Cauchysche Anfangswertproblem Die Lösung des charakteristischen Anfangswertproblems mit der Riemannschen Funktion und eine Symmetrieeigenschaft der Riemannsohen Funktion Randwertaufgabe für eine hyperbolische Differentialgleichung Die elliptische Differentialgleichung in der Normalform Formulierung der ersten und zweiten Randwertaufgabe Die Greenschen Funktionen Die erste Randwertaufgabe und O Die Lösung der Randwertaufgabe für die Poissonsohe Differentialgleichung Über die numerische Auswertung der Lösungsformel der ersten Randwertaufgabe i Die erste Randwertaufgabe für die allgemeine Differentialgleichung (4.0.1) Die zweite Randwertaufgabe für die Poissonsohe Differentialgleichung 123

3 10 Inhaltsverzeichnis 4.8 Die Lösung der zweiten Randwertaufgabe (Fortsetzung von 4.7) Allgemeinere Randwertaufgaben Zur numerischen Lösung der zweiten Randwertaufgabe im Falle S = Die Behandlung der ersten und zweiten Randwertaufgabe für Au = 0 mit Integralgleichungen auf Außenraumaufgaben Die Existenz von Lösungen der BeUramischen Differentialgleichung Die lokale Transformation auf die Normalform Die Lösung von (5.0.1) und die Transformation auf die Normalform im Großen Beweis von Satz 3 in Probleme vom gemischten Typus Hyperbolische Probleme mit parabolischem Randteil Elliptische Probleme mit parabolischem Randteil Probleme vom gemischten elliptisch-hyperbolischen Typus 185 Teil II Systeme erster Ordnung in zwei Variablen 7. Normalformen und Typus eines linearen Systems Charakteristiken und Typeneinteilung für ein System Normalform eines hyperbolischen Systems Die kennzeichnende Linearform eines Systems Normalform eines linearen Systems Greensche Formeln und adjungiertes System Integralrelationen im festen Gebiet Mehrgliedrige lineare Systeme Hyperbolische Systeme..._ Geschlossen integrierbare Systeme (B = 0 oder A = 0) Existenzsatz für das Cauchy-Problem des Systems in der Normalform Das Cauchy-Problem für das allgemeine hyperbolische System Die Ausbreitung von Unstetigkeiten der Ableitungen der Anfangswerte Das charakteristische Anfangswertproblem Gemischte Anfangs- und Randwertprobleme Verallgemeinerung der Riemannschen Methode ^, Beziehungen zur Riemannschen Methode für eine hyperbolische Differentialgleichung zweiter Ordnung Systeme quasilinearer Differentialgleichungen Integralgleichungen und die erste Bandwertaufgabe eines elliptischen Systems Die Hilbertsche Normalform und Greensche Formeln Greensche Funktionen und Integraldarstellungen Die Existenz der Hilbertschen Greenschen Funktion O Die erste Randwertaufgabe des Systems und der Existenzsatz von G. Hellwig Index oder Charakteristik allgemeiner Randwertaufgaben Allgemeine Randvorgaben Allgemeine Randwertaufgaben der Charakteristik Null Die Einführung isotroper Parameter und der komplexen Schreibweise Das lineare Integralgleichungssystem der ersten Randwertaufgabe in komplexer Schreibweise Das inhomogene und das homogene Differentialgleichungssystem Das Nullstellen verhalten der Lösungen eines homogenen elliptischen Systems 272

4 Inhaltsverzeichnis Randwertaufgaben höherer Charakteristik Die Randwertaufgaben negativer Charakteristik^ Die Lösungsgesamtheit der homogenen Randwertaufgabe negativer Charakteristik Die Lösungen der Randwertaufgaben positiver Charakteristik mit Polstellen Charakteristik und Nullstellen für die Lösungen eines allgemeinen homogenen Systems Ein elementarer Beweis des Existenzsatzes für die homogene erste Randwertaufgabe : Nullstellen der Lösungen am Rande Die Randwertaufgabe mit einer Randschar mit Nullstellen und jr-sprüngen Beliebige Sprünge der Randschar Die Randwertaufgabe der Charakteristik Randwertprobleme positiver Charakteristik Das adjungierte Differentialgleichungssystem Die Integralbedingungen für eine stetige Lösung der Randwertaufgabe positiver Charakteristik. Die adjungierte Randwertaufgabe Darstellung der stetigen Lösung des Randwertproblems positiver Charakteristik mittels singulärer" Lösungen des homogenen adjungierten Systems Beweis der Unabhängigkeit der Integralbedingungen und der Existenz einer stetigen Lösung des Randwertproblems positiver Charakteristik Der Zusammenhang zwischen Systemen von Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus Existenzsätze im Großen Der Existensatz für die erste Randwertaufgabe eines elliptischen Systems im Großen Ein Beweis für das Ähnlichkeitsprinzip im Großen Einige Bemerkungen zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben für elliptische Systeme Zurückführung auf Randwertaufgaben der Charakteristik Null Das Integralgleichungssystem und die Abbildungsfunktion i3 Eine numerische Lösungsmethode für das lineare Integralgleichungssystem Beziehungen zwischen Näherungslösungen und exakten" Lösungen Eine numerische Lösungsmethode für die nichtlineare Integralgleichung der homogenen Randwertaufgabe Näherungslösung und exakte" Lösung Ein Differenzenverfahren für die Randwertaufgabe der Charakteristik Null Systeme vom gemischten Typus; parabolische Anfangskurve 366 Teil IH Systeme Pfaftscher Formen im R n und partielle Differentialgleichungen 16. Beispiel einer Pfaffschen Differentialgleichung in drei Variablen Eindimensionale Lösungsmannigfaltigkeiten Zweidimensionale Lösungsmannigfaltigkeit von (16.0.1) Potential eines Vektorfeldes 383

5 12 Inhaltsverzeichnis 17. Lineare Mannigfaltigkeiten und Pfaffache Formen Lineare Mannigfaltigkeiten im B n durch den Nullpunkt Definition und Eigenschaften der Pfaffschen Formen Der Zerlegungssatz von E. Cartan Äußere Ableitung und der Satz von Poincare Linearformen als Grundformen, Pfaffsche Ableitung IntegrolmannigfaUigkeiten Das Pfaffsche Problem Der Abschließungssatz von E. Cartan Integralmannigfaltigkeiten einer integrablen Pfaffsehen Gleichung ersten Grades, Integralmannigfaltigkeiten eines integrablen Pfaffschen Systems ersten Grades Beispiel einer Pfaffschen Gleichung ersten Grades im B A Pfaffsche Gleichungen zweiten Grades Existenz von Integralmannigfaltigkeiten Pfaffsche Gleichungen nullten Grades und Anfangspunkte Q Pfaffsche Formen ersten Grades und Aufbau einer Qi durch Pfaffsche Gleichungen bis zum zweiten Grad und der Aufbau einer Q 2 durch & Pfaffsche Formen bis zum v+l-ten Grad, Aufbau einer 3 +1 durch Q Partielle Differentialgleichungen als Systeme Pfaffscher Gleichungen Die Differentialgleichung f(x,y,z,z x,z y ) Legendre-Transformation; kanonische Transformation Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in n unabhängigen Variablen Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei Variablen Lineare Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Variablen Der Integralsatz und seine Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung Integrale über Pfaffsche Formen und der Integralsatz von Gauß- Stokes-Cartan Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung in n Variablen, d -Operator Integralrelation; Eindeutigkeitssätze Formel von Green und adjungierte Differentialgleichungen Normalformen und Typeneinteilung Existenz konjugierter Koordinaten Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im B n Singinaritätenfunktion und Darstellungsformeln bei Gleichungen mit dem Laplaceschen Hauptteil A ik ö ik Integralgleichungsmethode zur Lösung der Randvertaufgaben der Potentialgleichung Greensche Funktionen für die Laplace-Gleiehung Greensche Funktionen für die Einheitskugel; Poissonsche Formel und Mittelwertformel Überführung der Poissonschen Differentialgleichung in die Potentialgleichung Die Umformung der ersteh Randwertaufgabe mit allgemeinem Hauptteil in eine bilineare Funktionalgleichung Die Parametrixmethode für die erste Randwertaufgabe mit allgemeinem Hauptteil 502

6 * ' : : - : Inhaltsverzeichnis Hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung im R H Integralrelation; Charakteristikenverfahren zur Lösung des Cauchy- Problems Eindeutigkeitssätze für das Cauchy-Problem und das charakteristische Anfangswertproblem; Einflußgebiet Darstellungsformel für die Lösung des Cauchy-Problems der Wellengleichung im R a nach Hadamard Geodätische Entfernung zur Metrik da 2 = A (k da? <to* Singulare Grundlösung für elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen Darstellungsformel für die Lösung des Cauchy-Problems von [d, d n U] = 0 im Ä (n = 3 + 2r) nach Hadamard 535