Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen

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1 Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille I Andreas Meister Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis I Funktionalanalysis 1 1 Grundlegende Räume Metrische Räume Definition und Beispiele Topologische Hilfsmittel Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit Bestapproximation in metrischen Räumen Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen Normierte Räume. Banachräume Lineare Räume Normierte Räume. Banachräume Skalarprodukträume. Hilberträume Skalarprodukträume Hilberträume Ein Approximationsproblem Der Zerlegungssatz Orthonormalsysteme in Hilberträumen Fourierentwicklung in Hilberträumen Struktur von Hilberträumen 69 2 Lineare Operatoren in normierten Räumen Beschränkte lineare Operatoren Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren Die Neumannsche Reihe. Anwendungen Lineare Funktionale in normierten Räumen Der Rieszsche Darstellungssatz Adjungierte und symmetrische Operatoren Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen Vollstetige Operatoren Ausgeartete Operatoren Die Fredholmsche Alternative Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen Symmetrische vollstetige Operatoren 119

3 XII Inhaltsverzeichnis Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren. Fourierentwicklung Zusammenfassung Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem Das Spektrum eines symmetrischen Operators Der Hilbertraum L 2 (.ß) und zugehörige Sobolevräume Der Hilbertraum L 2 (Q)' Motivierung Definition von L 2 (ß) Einbettung von C (ß) in L 2 (ß) Restriktion und norminvariante Erweiterung von /^-Funktionalen Produkt von L 2 -Funktionalen mit stetigen Funktionen Differentiation in L 2 (ß) Sobolevräume DerSobolevraumff m (ß) Der Sobolevraum H m { 2) Ergänzungen 166 II Partielle Differentialgleichungen Einführung Was ist eine partielle Differentialgleichung? Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung Beispiele Herleitung von partiellen Differentialgleichungen Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung Klassifikation Separationsansätze Der Reynoldssche Transportsatz Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung Grundlagen Hilfsmittel aus der Vektoranalysis Radialsymmetrische Lösungen Die Darstellungsformel für Innengebiete Mittelwertformel und Maximumprinzip 203 f Flächen-und Volumenpotentiale Ganzraumprobleme Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung 208

4 Inhaltsverzeichnis XIII Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung Die Darstellungsforme] für Außengebiete Ganzraumprobleme Randwertprobleme." Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen Sprungrelationen Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators Einführung in die Finite-Elemente-Methode Die Frecher-Ableitung Variationsprobleme Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM) Diskretes Variationsproblem...." Beispiele Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode Die Wärmeleitungsgleichung Rand-und Anfangs Wertprobleme Ein Rand-und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung Die Eindeutigkeitsfrage Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie Ein Anfangswertproblem Aufgabenstellung Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation Die Wellengleichung Die homogene Wellengleichung Anfangswertprobleme im R Anfangswertprobleme im M Anfangswertprobleme im M 2 (»Method of descent«) Das Huygenssche Prinzip Bemerkungen zu Rand-und Anfangswertproblemen Die inhomogene Wellengleichung im IR :2.1 Das Duhamelsche Prinzip Die Kirchhoffsche Formel Erzwungene Schwingungen 323

5 XIV Inhaltsverzeichnis 8 Die Maxwellschen Gleichungen Die stationären Maxwellschen Gleichungen Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung Grundlösungen Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen Darstellungsformeln Randwertprobleme Problemstellungen Außenraumprobleme Innenraumprobleme Die Euler-Gleichungen und hyperbolische Bilanzgleichungen Kompressible und inkompressible Strömungen Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen Charakteristiken im skalären eindimensionalen Fall Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Schwache Lösungen Die Euler-Gleichungen Hilbertraummethoden Einführung Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung Nachweis einer schwachen Lösung Ein äquivalentes schwaches Problem Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen Das klassische Dirichletproblem Das schwache Dirichletproblem Ein äquivalentes schwaches Problem Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung Nachweis einer schwachen Lösung Ausblick auf den allgemeinen Fall Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem Innenregularität Randregularität 408 Anhang 415 Anhang 417 A.l Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach 417 A.2 Der Satz von Lax-Milgram 419

6 Inhaltsverzeichnis XV B Lösungen zu den Übungen Symbole Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis