Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille Andreas Meister. Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen

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1 Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille Andreas Meister Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen

2 Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille Andreas Meister Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker 5., aktualisierte Auflage Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel STUDIUM

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geb in Pfronten/Allgäu Studium der Feinwerktechnik-Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen Diplomprüfung in Mathematik Wiss. Ass., 1968 Promotion Akad. Rat/Oberrat an der Universität Stuttgart Lehraufträge an der Universität Stuttgart Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie. Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb in Einbeck Studium der Mathematik mit Nebenfach Informatik an der Georg-August-Universität Göttingen Diplomprüfung in Mathematik Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt in Göttingen, 1996 Promotion an der TH Darmstadt Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik Kaiserslautern Wiss. Mitarb., Wiss. Ass. an der Universität Hamburg Habilitation und Privatdozent am FB Mathematik der Universität Hamburg Hochschuldozent an der Universität zu Lübeck. Seit 2003 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme. 1. Auflage , aktualisierte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ulrich Sandten Kerstin Hoffmann Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

4 Meinem verehrten akademischen Lehrer Prof. Dr. Peter Werner gewidmet

5 Vorwort Die vorliegende Neuauflage der Höheren Mathematik mit dem Schwerpunkt Partielle Differentialgleichungen und der Bereitstellung von Hilfsmitteln der Funktionalanalysis stellt die Abrundung unserer Lehrbuchreihe dar. Aufgrund ihrer Bedeutung für die Elektrodynamik haben wir zusätzlich eine Einführung in die Theorie der Maxwellschen Gleichungen in diesen Band aufgenommen (s. Abschn. 8). Die Adressaten sind wie schon bei den anderen Bänden in erster Linie Studierende der Ingenieurwissenschaften, aber darüber hinaus auch der Angewandten Mathematik, insbesondere der Technomathematik, sowie der Physik, der Physikalischen Chemie und der Informatik. Auch der»reine Mathematiker«wird manches Lesenswerte in diesem Buch finden. Zum Lernen, begleitend zur Vorlesung oder zum Selbststudium, zum Vertiefen, Nachschlagen und Wiederholen sind die Bände von Nutzen. Bei der Examensvorbereitung, wie auch in der späteren Berufspraxis findet der Leser Hilfe in dieser»wissensbank«. Auch dieser Band ist relativ unabhängig von den übrigen Bänden gestaltet. Das nötige Vorwissen steht natürlich in den vorangehenden Bänden, aus denen es der Leser entnehmen kann. Er kann es natürlich auch anders erworben haben. Auch muß man die vorangehenden Bände nicht Wort für Wort durchstudiert haben, um diesen verstehen zu können. Benötigte Inhalte aus früheren Bänden werden gezielt zitiert, oft sogar kurz wiederholt, so daß sich umständliches Nachschlagen erübrigt. Der erste Themenbereich dieses Bandes ist durch die Funktionalanalysis gegeben. Sie wurde im letzten Jahrhundert entwickelt und stellt mittlerweile auch für den primär an Anwendungen Interessierten ein nützliches und modernes mathematisches Instrumentarium dar. Nicht zuletzt ist die moderne Numerische Mathematik in hohem Maße auf sie angewiesen. Die Funktionalanalysis ist zweifellos von höherem Abstraktionsgrad. Doch schon der Teil partielle Differentialgleichungen zeigt recht überzeugend, wie leistungsfähig die Funktionalanalysis ist. Um die Theorie für den von uns angesprochenen Leserkreis nicht ausufern zu lassen, haben wir nicht sämtliche Prinzipien der Funktionalanalysis in diesen Band aufgenommen. Stattdessen haben wir uns in der Regel auf solche beschränkt, mit denen wir auch weitergearbeitet haben. Eine Ausnahme stellt hier der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach dar. Aufgrund seiner allgemeinen Bedeutung erscheint uns seine Aufnahme unverzichtbar. Er findet sich (mit Beweis) im Anhang. Einige lineare Integralgleichungen, etwa solche vom Volterraschen Typ oder verschiedene Fredholmsche Integralgleichungen 2-ter Art, wurden wie heute üblich in den Funktionalanalysis-Teil integriert. Abweichend vom Standardweg, der über die Lebesgue-Theorie führt, sind wir zur Einführung des Lebesgueraumes L 2 und der Sobolevräume H m und H m einem von P. Werner [158] eröffneten Zugang gefolgt (s. Abschnitt 3). Diese Räume werden hierbei auf funktionalanalytische Weise, genauer, unter distributionentheoretischen Gesichtspunkten, diskutiert. Welche Gründe sprechen dafür? Zum einen stehen uns die benötigten funktionalanalytischen Hilfsmittel durch

6 die vorhergehenden Abschnitte 1 und 2 bereits in vollem Umfang zur Verfügung, so daß wir auf ziemlich rasche und elegante Weise zu diesen Räumen gelangen. Ein weiterer Vorzug besteht darin, daß sich ein für die»hilbertraummethoden«(s. Abschn. 10) benötigter schwacher Ableitungsbegriff im Rahmen dieses Zugangs ganz natürlich einordnet. Die partiellen Differentialgleichungen, die den eigentlichen Schwerpunkt dieses Bandes ausmachen, besitzen eine große Anwendungsrelevanz. Von daher ist hier eine Motivierung möglich, die unmittelbar von konkreten Sachverhalten ausgeht. Sowohl das Aufstellen von partiellen Differentialgleichungen (s. Abschn ), als auch die Erarbeitung von Lösungsmethoden zeigen, daß wir den»abnehmer«von Mathematik sehr wohl im Blick haben. Aufgrund der außerordentlichen Breite des Gebietes ist es unumgänglich, eine Auswahl der Differentialgleichungstypen wie auch der Lösungsverfahren zu treffen. So haben wir ausschließlich lineare partielle Differentialgleichungen und im Rahmen der linearen Theorie insbesondere die»schwingungsgleichung«, die»wärmeleitungsgleichung«und die»wellengleichung«untersucht (Abschnitte 5 bis 7). Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung sind von uns nur kurz gestreift und auf Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt worden (s. Abschn. 4.2). Eine Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung findet sich in Abschnitt Die Helmholtzsche Schwingungsgleichung mit ihrem wichtigen Spezialfall, der Potentialgleichung, nimmt in diesem Band einen besonders breiten Raum ein (s. Abschn. 5). Dies läßt sich durch die Schlüsselstellung dieser Gleichung begründen. Neben ihrer unmittelbaren Bedeutung für die Anwendungen führen Separationsansätze bei der Wärmeleitungsgleichung, der Wellengleichung und den Maxwellschen Gleichungen auf die Schwingungsgleichung (s. Abschn und Üb. 4.7). Ganzraumprobleme haben wir ganz allgemein im R n untersucht. Dadurch gewinnen wir für jede Dimension n geeignete Abklingbedingungen im Unendlichen, die zur eindeutigen Lösung von Randwertaufgaben benötigt werden. Dabei lassen sich die in Burg/Haf/Wille [22], Abschnitt 5 mit funktionentheoretischen Methoden erarbeiteten Resultate über die Hankelschen Funktionen besonders schön anwenden. Es ist uns ein Anliegen, den mathematisch interessierten Leser möglichst schonend in zwei interessante und wichtige neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen einzuführen: In die»integralgleichungsmethoden«(s. Abschn. 5.3) und in die»hilbertraummethoden«(s. Abschn. 10). Beide Bereiche sind in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts entstanden. An ihnen wird der Nutzen der Funktionalanalysis überzeugend deutlich. Die den Hilbertraummethoden zugrunde liegenden»schwachen Formulierungen«(oder»Variationsformulierungen«) der entsprechenden Differentialgleichungsprobleme stellen den Ausgangspunkt für moderne numerische Verfahren zu deren Lösung dar (Ritz-Galerkin-Verfahren, Methode der finiten Elemente). Dieser Band kann die umfangreiche Numerik der partiellen Differentialgleichungen nicht abdecken. Hier verweisen wir auf die einschlägige Literatur (s. Literaturverzeichnis). In Abschnitt 5.5, der von F. Wille geschrieben wurde, geben wir eine kurze Einführung in die wichtige Methode der finiten Elemente. Dieser Abschnitt ist unabhängig von den Abschnitten 3 bzw. 10 gestaltet, um den an Theorie weniger interessierten Lesern dennoch eine Methode zur numerischen Lösungsbestimmung an die Hand zu geben. Zum besseren Verständnis der»hintergründe«empfiehlt sich allerdings ein Studium der genannten Abschnitte. Weiterführende Literatur zur Numerik partieller Differentialgleichungen, findet sich insbesondere am Ende der jeweiligen Abschnitte.

7 Wir haben uns auch in diesem Band wieder um eine Ausgewogenheit zwischen Theorieanspruch und Anwendungsbezogenheit bemüht. Rücksichtnahme auf den»abnehmer«von Mathematik, ohne Preisgabe mathematischer Genauigkeit, war uns dabei wichtig. Im Teil partielle Differentialgleichungen spiegelt sich die prägende Wirkung zahlreicher ausgezeichneter Vorlesungen und Vorträge wieder, die der Verfasser als Student bei den Professoren R. Leis und C. Müller, bzw. als Assistent und Mitarbeiter bei Professor P. Werner gehört hat. Ihnen möchten wir an dieser Stelle danken. Besonderer Dank gebührt hierbei Herrn Prof.Dr. P. Werner (Universität Stuttgart), dem dieser Band gewidmet ist. Sein Rat, seine wertvollen Hinweise und Anregungen waren uns sehr hilfreich. Originalarbeiten von ihm bilden die Grundlage für die Abschnitte 3 und 10. Ferner danken wir Herrn Dipl.-Inf. J. Barner für die Erstellung der ausgezeichneten LATEX- Vorlage. Nicht zuletzt gilt unser Dank dem Verlag B.G. Teubner für seine ständige Gesprächsbereitschaft, Rücksichtnahme auf Terminprobleme und Gestaltungswünsche. Kassel, Juli 2004 Herbert Haf Vorwort zur vierten Auflage Die vorliegende vierte Auflage dieses Bandes stellt eine Überarbeitung und Erweiterung der vorangehenden Auflage dar. Aufgrund ihrer Bedeutung für die Strömungsmechanik wurden die Eulerschen Gleichungen der Gasdynamik aufgenommen. Die Verfasser hoffen nun, daß dieser letzte Band unseres sechsteiligen Gesamtwerkes»Höhere Mathematik für Ingenieure«auch weiterhin eine freundliche Aufnahme durch die Leser findet. Für Anregungen sind wir dankbar. Unser Dank gilt in besonderer Weise Herrn Prof. Dr. Thomas Sonar von der Technischen Universität Braunschweig für die kritische Sichtung der neuen Abschnitte und für wertvolle Hinweise zu diesem Band. Desweiteren möchten wir Herrn Dr.-Ing. Jörg Barner für die Erstellung der hervorragenden LATEX-Vorlage und Herrn Klaus Strube für die gewohnt präzise Erstellung der in dieser Auflage neu aufgenommenen Abbildungen danken. Nicht zuletzt danken wir dem Verlag Vieweg+Teubner für eine bewährte und angenehme Zusammenarbeit. Kassel, Juni 2009 Herbert Haf, Andreas Meister Vorwort zur fünften Auflage Die vorliegende Neuauflage dieses Bandes unterscheidet sich nur geringfügig von der vorhergehenden Auflage. Es wurden lediglich kleinere Veränderungen und insbesondere Fehlerkorrekturen vorgenommen. Kassel, März 2010 Herbert Haf, Andreas Meister

8 Inhaltsverzeichnis I Funktionalanalysis 1 1 Grundlegende Räume Metrische Räume Definition und Beispiele Topologische Hilfsmittel Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit Bestapproximation in metrischen Räumen Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen Normierte Räume. Banachräume Lineare Räume Normierte Räume. Banachräume Skalarprodukträume. Hilberträume Skalarprodukträume Hilberträume Ein Approximationsproblem Der Zerlegungssatz Orthonormalsysteme in Hilberträumen Fourierentwicklung in Hilberträumen Struktur von Hilberträumen Lineare Operatoren in normierten Räumen Beschränkte lineare Operatoren Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren Die Neumannsche Reihe. Anwendungen Lineare Funktionale in normierten Räumen Der Rieszsche Darstellungssatz Adjungierte und symmetrische Operatoren Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen Vollstetige Operatoren Ausgeartete Operatoren Die Fredholmsche Alternative Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen Symmetrische vollstetige Operatoren...119

9 XII Inhaltsverzeichnis Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren. Fourierentwicklung Zusammenfassung Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem Das Spektrum eines symmetrischen Operators Der Hilbertraum L 2 (Ω) und zugehörige Sobolevräume Der Hilbertraum L 2 (Ω) Motivierung Definition von L 2 (Ω) Einbettung von C0 (Ω) in L 2(Ω) Restriktion und norminvariante Erweiterung von L 2 -Funktionalen Produkt von L 2 -Funktionalen mit stetigen Funktionen Differentiation in L 2 (Ω) Sobolevräume Der Sobolevraum H m (Ω) Der Sobolevraum H m (Ω) Ergänzungen II Partielle Differentialgleichungen Einführung Was ist eine partielle Differentialgleichung? Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung Beispiele Herleitung von partiellen Differentialgleichungen Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung Klassifikation Separationsansätze Der Reynoldssche Transportsatz Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung Grundlagen Hilfsmittel aus der Vektoranalysis Radialsymmetrische Lösungen Die Darstellungsformel für Innengebiete Mittelwertformel und Maximumprinzip Flächen- und Volumenpotentiale Ganzraumprobleme Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung...209

10 Inhaltsverzeichnis XIII Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung Die Darstellungsformel für Außengebiete Ganzraumprobleme Randwertprobleme Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen Sprungrelationen Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators Einführung in die Finite-Elemente-Methode Die Fréchet-Ableitung Variationsprobleme Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM) Diskretes Variationsproblem Beispiele Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode Die Wärmeleitungsgleichung Rand- und Anfangswertprobleme Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung Die Eindeutigkeitsfrage Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie Ein Anfangswertproblem Aufgabenstellung Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation Die Wellengleichung Die homogene Wellengleichung Anfangswertprobleme im R Anfangswertprobleme im R Anfangswertprobleme im R 2 (»Method of descent«) Das Huygenssche Prinzip Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen Die inhomogene Wellengleichung im R Das Duhamelsche Prinzip Die Kirchhoffsche Formel Erzwungene Schwingungen...325

11 XIV Inhaltsverzeichnis 8 Die Maxwellschen Gleichungen Die stationären Maxwellschen Gleichungen Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung Grundlösungen Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen Darstellungsformeln Randwertprobleme Problemstellungen Außenraumprobleme Innenraumprobleme Die Euler-Gleichungen und hyperbolische Bilanzgleichungen Kompressible und inkompressible Strömungen Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Schwache Lösungen Die Euler-Gleichungen Hilbertraummethoden Einführung Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung Nachweis einer schwachen Lösung Ein äquivalentes schwaches Problem Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen Das klassische Dirichletproblem Das schwache Dirichletproblem Ein äquivalentes schwaches Problem Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung Nachweis einer schwachen Lösung Ausblick auf den allgemeinen Fall Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem Innenregularität Randregularität Anhang 417 A Anhang 419 A.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach A.2 Der Satz von Lax-Milgram...421

12 Inhaltsverzeichnis XV B Lösungen zu den Übungen 423 Symbole 455 Literaturverzeichnis 457 Stichwortverzeichnis 465

13 XVI Band I: Analysis (F. Wille, bearbeitet von H. Haf, A. Meister) 1 Grundlagen 1.1 Reelle Zahlen 1.2 Elementare Kombinatorik 1.3 Funktionen 1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen 1.6 Stetige Funktionen 2 Elementare Funktionen 2.1 Polynome 2.2 Rationale und algebraische Funktionen 2.3 Trigonometrische Funktionen 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen 2.5 Komplexe Zahlen 3 Differentialrechnung einer reellen Variablen 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung 3.2 Ausbau der Differentialrechnung 3.3 Anwendungen 4 Integralrechnung einer reellen Variablen 4.1 Grundlagen der Integralrechnung 4.2 Berechnung von Integralen 4.3 Uneigentliche Integrale 4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung 5 Folgen und Reihen von Funktionen 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen 5.2 Potenzreihen 5.3 Der Weierstraß sche Approximationssatz 5.4 Interpolation 5.5 Fourierreihen 6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 6.1 Der n-dimensionale Raum R n 6.2 Abbildungen im R n 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen 6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen

14 XVII 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 7.1 Integration bei zwei Variablen 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen 7.3 Parameterabhängige Integrale Band II: Lineare Algebra (F. Wille, H. Haf, K. Burg, bearbeitet von H. Haf, A. Meister) 1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen 1.1 Vektoren in der Ebene 1.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum 2 Vektorräume beliebiger Dimensionen 2.1 Die Vektorräume R n und C n 2.2 Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus 2.3 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper 2.4 Vektorräume über beliebigen Körpern 3 Matrizen 3.1 Definition, Addition, s-multiplikation 3.2 Matrizenmultiplikation 3.3 Reguläre und inverse Matrizen 3.4 Determinanten 3.5 Spezielle Matrizen 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.7 Die Jordansche Normalform 3.8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 3.9 Matrix-Funktionen 3.10 Drehungen 3.11 Lineare Ausgleichsprobleme 4 Anwendungen 4.1 Technische Strukturen 4.2 Roboter-Bewegung Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen (H. Haf, A. Meister) Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.1 Was ist eine Differentialgleichung? 1.2 Differentialgleichungen 1-ter Ordnung

15 XVIII 1.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung 1.4 Ebene autonome Systeme 2 Lineare Differentialgleichungen 2.1 Lösungsverhalten 2.2 Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung 2.3 Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung 2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 3.2 Lineare Systeme 1-ter Ordnung 4 Potenzreihenansätze und Anwendungen 4.1 Potenzreihenansätze 4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze 5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen 5.1 Rand- und Eigenwertprobleme 5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung 5.3 Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung) Distributionen 6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs 6.1 Motivierung und Definition 6.2 Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen 7 Rechnen mit Distributionen. Anwendungen 7.1 Rechnen mit Distributionen 7.2 Anwendungen Integraltransformationen 8 Fouriertransformation 8.1 Motivierung und Definition 8.2 Umkehrung der Fouriertransformation 8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation 8.4 Anwendung auf partielle Differentialgleichungsprobleme 8.5 Diskrete Fouriertransformation

16 XIX 9 Laplacetransformation 9.1 Motivierung und Definition 9.2 Umkehrung der Laplacetransformation 9.3 Eigenschaften der Laplacetransformation 9.4 Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen 10 Z-Transformation 10.1 Motivierung und Definition 10.2 Eigenschaften der Z-Transformation 10.3 Anwendungen Band Vektoranalysis: (F. Wille, bearbeitet von H. Haf) 1 Kurven 1.1 Wege, Kurven, Bogenlänge 1.2 Theorie ebener Kurven 1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte 1.4 Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen 1.5 Theorie räumlicher Kurven 1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 2 Flächen und Flächenintegrale 2.1 Flächenstücke und Flächen 2.2 Flächenintegrale 3 Integralsätze 3.1 Der Gaußsche Integralsatz 3.2 Der Stokessche Integralsatz 3.3 Weitere Differential- und Integralformeln im R Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale 4 Alternierende Differentialformen 4.1 Alternierende Differentialformen im R Alternierende Differentialformen im R n 5 Kartesische Tensoren 5.1 Tensoralgebra 5.2 Tensoranalysis

17 XX Band Funktionentheorie: (H. Haf) 1 Grundlagen 1.1 Komplexe Zahlen 1.2 Funktionen einer komplexen Variablen 2 Holomorphe Funktionen 2.1 Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie 2.2 Komplexe Integration 2.3 Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse 2.4 Asymptotische Abschätzungen 3 Isolierte Singularitäten, Laurent-Entwicklung 3.1 Laurentreihen 3.2 Residuensatz und Anwendungen 4 Konforme Abbildungen 4.1 Einführung in die Theorie konformer Abbildungen 4.2 Anwendungen auf die Potentialtheorie 5 Anwendung der Funktionentheorie auf die Besselsche Differentialgleichung 5.1 Die Besselsche Differentialgleichung 5.2 Die Besselschen und Neumannschen Funktionen 5.3 Anwendungen