Stefan Sauter, Christoph Schwab. Randelementmethoden. Analyse, Numerik und Implemen tierung schneller Algorithmen. Teubner

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1 Stefan Sauter, Christoph Schwab Randelementmethoden Analyse, Numerik und Implemen tierung schneller Algorithmen Teubner B. G.Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort VII 1 Einführung Das Konzept der Randelementmethode Grundbegriffe Ein physikalisches Beispiel Fundamentallösungen Potentiale und Randintegraloperatoren Numerik von Randintegralgleichungen Galerkin-Verfahren Effiziente Verfahren zur Lösung der Galerkin-GIeichungen Quadraturverfahren Lösen des linearen Gleichungssystems Panel-Clustering 12 2 Elliptische Differentialgleichungen Funktionalanalytische Grundlagen Banach- und Hilbert-Räume Normierte Räume Lineare Operatoren Banach-Räume Einbettungen Hilbert-Räume Dualräume Dualraum eines normierten, linearen Raumes Dualer Operator Adjungierter Operator Gelfand-Dreier Schwache Konvergenz Kompakte Operatoren Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie Bilinear- und Sesquilinearformen Existenzsätze Interpolationsräume Geometrische Grundlagen Funktionenräume Glattheit von Gebieten 38

3 INHALTSVERZEICHNIS Normalenvektoren Randintegrale Sobolev-Räume auf Gebieten Q Sobolev-Räume auf Oberflächen F Definition der Sobolev-Räume auf T Sobolev-Räume auf P 0 C T Einbettungssätze Spur-Operatoren Greensche Formeln und Normalenableitungen Der Lösungsoperator Elliptische Randwertprobleme Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP) Inneres Neumann-Randwertproblem (INP) Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP) Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP) Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP) Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP) Transmissionsproblem (TP) Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP) Inneres Neumann-Randwertproblem (INP) Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP) Funktionenräume für Außenraumprobleme Äußeres Dirichlet-Randwertproblem (ÄDP) Äußeres Neumann-Randwertproblem (ÄNP) Gemischtes äußeres Randwertproblem (ÄDNP) Transmissionsproblem (TP) Äquivalenz von starker und schwacher Formulierung Innenraumprobleme Außenraumprobleme Existenz und Eindeutigkeit Innenraumprobleme Inneres Dirichlet-Randwertproblem Inneres Neumann-Randwertproblem Gemischtes inneres Randwertproblem Außenraumprobleme Allgemeiner elliptischer Operator mit a min c > b Laplace-Operator Helmholtz-Gleichung 78 Elliptische Randintegralgleichungen Randintegraloperatoren Das Newton-Potential Abbildungseigenschaften der Randintegräloperatoren Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungen Sprungrelationen und Darstellungsformeln 91

4 INHALTSVERZEICHNIS XIII Sprungeigenschaften der Potentiale Explizite Darstellung des Randintegraloperators V Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren KundK' Explizite Darstellung des Randintegraloperators W Integralgleichungen für elliptische Randwertprobleme Die indirekte Methode Innenraumprobleme Außenraumprobleme Transmissionsproblem Die direkte Methode Innenraumprobleme Außenraumprobleme Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen Existenz und Eindeutigkeit für geschlossene Oberflächen und Dirichletoder Neumann-Randbedingungen Existenz- und Eindeutigkeit für das gemischte Randwertproblem Schirmproblem Calderön-Projektor Poincare-Steklov-Operator Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung Helmholtz-Gleichung Integralgleichungen und Resonanzen Existenz von Lösungen des Aussenraumproblems Modifizierte Randintegralgleichungen Randelementmethoden Randelemente für die Potentialgleichung in R Modellproblem 1: Dirichlet-Problem Paneelierungen Unstetige Randelemente Galerkin-Randelementmethode Konvergenzrate unstetiger Randelemente Modellproblem 2: Neumann Problem Stetige Randelemente Galerkin-BEM mit stetigen Randelementen Konvergenzraten mit stetigen Randelementen Modellproblem 3: Gemischtes Randwertproblem Modellproblem 4: Schirmprobleme Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren Abstraktes Variationsproblem Galerkin-Approximation Kompakte Störungen Konsistente Störungen. Lemma von Strang 184

5 XIV INHALTSVERZEICHNIS Aubin-Nitsche-Dualitätstechnik Fehler in Funktionalen der Lösung Störungen Beweis der Approximationseigenschaft Approximationseigenschaften auf ebenen Paneelen Approximation auf gekrümmten Paneelen Stetigkeit von Funktionen in H s stw (T) für s > Approximationseigenschaften von S p g~ l Approximationseigenschaften von Sf Inverse Abschätzungen Kondition der Systemmatrizen Berechnung der Matrixkoeffizienten Kernfunktionen und stark singulare Integrale Geometrische Voraussetzungen Cauchy-singuläre Integrale Explizite Voraussetzungen an Cauchy-singuläre Kernfunktionen Kernfunktionen in lokalen Koordinaten Relativkoordinaten Der Fall identischer Paneele Der Fall einer gemeinsamen Kante Der Fall eines gemeinsamen Punktes Überblick: Regularisierende Koordinatentransformationen Berechnung der rechten Seite und des integralfreien Terms Numerische Integration Numerische Quadraturverfahren Einfache Quadraturverfahren Tensor-Gauß-Quadratur Lokale Quadraturfehlerabschätzungen Lokale Fehlerabschätzungen für einfache Quadraturverfahren Ableitungsfreie Quadraturfehlerabschätzungen für analytische Integranden Abschätzung der Analytizitätsellipsen der regularisierten Integranden Quadraturordnungen für regularisierte Kernfunktionen Einfluß der Quadratur auf den Diskretisierungsfehler Überblick über die Quadraturordnungen für das Galerkin-Verfahren mit Quadratur Integralgleichungen negativer Ordnung Gleichungen nullter Ordnung Gleichungen positiver Ordnung Lösung der linearen Gleichungssysteme cg-verfahren cg-grundalgorithmus Vorkonditionierungsverfahren Orthogonalitätsrelationen 274

6 INHALTSVERZEICHNIS XV Konvergenzrate des cg-verfahrens Verallgemeinerungen Abstiegsverfahren für nichtsymmetrische Systeme Abstiegsverfahren Konvergenzrate von MR und Orthomin(fc) Iterative Löser für Gleichungen negativer Ordnung Iterative Löser für Gleichungen positiver Ordnung Integralgleichungen positiver Ordnung Iterationsverfahren Mehrgitterverfahren Motivation Mehrgitteralgorithmus für Integralgleichungen positiver Ordnung Geschachtelte Iteration Konvergenzanalyse für Mehrgitterverfahren Mehrgitterverfahren für Gleichungen negativer Ordnung Panel-Clustering Der Panel-Clustering-Algorithmus Voraussetzungen an den Integraloperator Clusterbaum und zulässige Überdeckung Approximation der Kernfunktion Cebysev-Interpolation Multipol-Entwicklung Abstrakte Panel-Clustering-Approximation Die Matrix-Vektor-Multiplikation im Panel-Clustering-Format Berechnung der Fernfeldkoeffizienten Cluster-Cluster-Wechselwirkung Auswertung der Panel-Clustering-Approximation einer Matrix- Vektor-Multiplikation Algorithmische Beschreibung des Panel-Clustering-Verfahrens Realisierung der Teilalgorithmen Algorithmische Realisierung der Cebysev-Approximation Entwicklung mit variabler Ordnung Fehleranalyse für das Panel-Clustering-Verfahren Lokale Fehlerabschätzungen Lokale Fehlerabschätzung für die Cebysev-Interpolation Globale Fehlerabschätzungen L 2 Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers ohne partielle Integration L 2 Abschätzungen des Panel-Clustering-Fehlers mit partieller Integration Stabilität und Konsistenz für das Panel-Clustering-Verfahren Der Aufwand der Panel-Clustering-Methode Anzahl der Cluster und Blöcke Der algorithmische Aufwand der Panel-Clustering-Methode Panel-Clustering für Kollokationsverfahren 365

7 XVI INHALTSVERZEICHNIS Literaturverzeichnis 367 Liste der Symbole 377 Index 380