Entwicklung einer hp-fast-multipole-

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1 Entwicklung einer hp-fast-multipole- Boundary-Elemente-Methode Übersicht: 1. Motivation 2. Theoretische Grundlagen a) Boundary-Elemente-Methode b) Fast-Multipole-Methode 3. Erweiterungen a) Elementordnung b) hp-methode c) Burton-Miller-Formulierung d) Halbraum-Formulierung 4. Reifen-Rollgeräusch-Simulation 5. Fazit und Ausblick

2 Motivation Produkte müssen hohe Umweltauflagen einhalten Messungen sind teuer und zeitaufwändig Numerische Simulation akustischer Eigenschaften Boundary-Elemente- Methode für Abstrahlungsprobleme besonders geeignet Methoden zur Beschleunigung und Fehlerreduktion erforderlich 2

3 Boundary-Elemente-Methode Wellengleichung Helmholtz-Gleichung 2 u x, t = 1 c 2 2 u(x, t) t 2 2 p x = k 2 p x BEM-Formulierung: Gewichtete Form der DGL Ω p x + k 2 p x w dω = 0 Fundamentallösung G x, y = 1 4π x y eik x y 3

4 Boundary-Elemente-Methode Randintegralgleichung c x p x = G x, y q y Γ G x, y n y p(y) dγ Diskretisierung N c i x p i x = G x, y φ j (y) dγ j j=1 Γ j q j N j=1 Γ j G x, y n y φ j (y) dγ j p j Gleichungssystem a 11 a 1N a N1 a NN x 1 x N = b 1 b N 4

5 Fast-Multipole-Methode Approximation der Einflüsse weit entfernter Kollokationspunkte Beschleunigung der BEM 1. Baumstruktur c i p i = NF (Gq G n p) dγ NF + FM (Gq G n p) dγ FM 5

6 Fast-Multipole-Methode 2. upward pass: multipole-to-multipole- Translationen 3. downward pass: local-to-local- und multipoleto-local-translationen 4. Auswertung: Nahfeld- und Fernfeld- Einflüsse 6

7 Elementordnung - Grundlagen Verlauf des Randwertes wird durch Ansatzfunktionen approximiert QUAD-Element 3. Ordnung Interpolation zwischen Randwerten in den Kollokationspunkten Grad des Interpolationspolynoms bestimmt Präzision der Näherung TRIA-Element 2. Ordnung 7

8 Interpolation - Grundlagen Viereckelemente: Multiplikation der Formeln für die eindimensionale Polynominterpolation Dreieckelemente: Verwendung von Flächenkoordinaten φ ij ξ, η = p j=0,j i ξ ξ j ξ i ξ j p i=0,i j η η i η j η i L i = A i A φ 0 = c(l 0 0)(L ) 8

9 Elementordnung - Grundlagen φ ξ, η = 1 im betrachteten Punkt und φ ξ, η = 0 in allen anderen Knoten p j m y = φ j m (y)p j Randwertverlauf über ein Element aus Superposition der Ansatzfunktionen K p m y = φ k m (y)p k k=1 N c i x p i x = G x, y φ j (y) dγ j j=1 Γ j q j N j=1 Γ j G x, y n y φ j (y) dγ j p j 9

10 Elementordnung - Ergebnisse p exakt x = ρce ikx e = p num p exakt p num Geringerer Fehler bei Elementen höherer Ordnung Höhere Elementordnung bei steigender Frequenz (Kollokationspunkte pro Wellenlänge) Rechenzeit und Speicherbedarf steigen stark an (Freiheitsgrade, Integrationsordnung) 10

11 hp-methode - Grundlagen Adaptive Netzverfeinerung zur Fehlerreduktion h-methode: Element wird geteilt (an geometrischen Singularitäten) p-methode: Elementordnung wird erhöht (sonst) Adaptivität durch Grenzwert für Fehlerindikator ε Mindestdruck 11

12 hp-methode - Ergebnisse Adaptive Netzverfeinerung e = p num p ref p num Reduktion des Fehlers Beschleunigung durch FMM Optimierung möglich 12

13 Burton-Miller-Formulierung - Grundlagen Problem der kritischen Frequenzen bei Außenraumproblemen Eigenfrequenzen des zugehörigen Innenraumproblems Burton-Miller-Formulierung: Kombination der konventionellen und der hypersingulären Randintegralgleichung c x p x = G x, y q y Γ G x, y n y p(y) dγ c x q x = Γ G x, y n x q y G x, y n y n x p(y) dγ CBIE + α HBIE = 0 Integration hypersingulärer Funktionen erfordert spezielle Techniken 13

14 Hypersinguläre Integration - Grundlagen Regularisierung G x, y n x n y φ(y) Γ e dγ e = L L 0 φ(y) dγ e Γ e Hypersinguläre Integral wird zu schwach singulären Integrale umgeformt Gradienten für beliebige Elementordnungen erforderlich Integration über gesamte Oberfläche nötig + φ(y) φ(x) φ(x) r L 0 dγ e Γ e M + ( φ(x) φ(x) r)l 0 dγ m m=1,m e M Γ m + φ(x) n y K 0 dγ m m=1 Γ m 14

15 Burton-Miller-Formulierung - Ergebnisse p exakt r = 1 4πr eikr e = p num p exakt p num Reduktion des Fehlers bei kritischen Frequenzen Hypersinguläre Integration sowohl über konstante als auch Elemente höherer Ordnung möglich 15

16 Halbraum-Formulierung - Grundlagen Reflektierende Ebene beeinflusst das akustische Feld Diskretisierung der Ebene wird durch Halbraum- Formulierung vermieden Modifizierte Fundamentallösung: G H x, y = 1 4π r eik r + 1 4π r eik r Implementierung mittels Spiegelungstechnik 16

17 Halbraum-Formulierung - Ergebnisse p exakt r = 1 4πr eikr e = p num p exakt p num Fehler unter 8% Adaptive Netzverfeinerung Reduktion des Fehlers durch hp- Methode 17

18 Reifen-Rollgeräusch-Simulation Reduktion des Fehlers durch hp-methode Einfluss der Fahrbahn berücksichtigt Problem der kritischen Frequenzen behoben 18

19 Fazit und Ausblick Fazit: hp-fmbem ermöglicht effiziente Berechnung bei hoher Genauigkeit Burton-Miller-Formulierung für beliebige Elementordnungen anwendbar Effiziente Untersuchung von Halbraum-Problemen möglich Reale Probleme können kostengünstig und zeitsparend untersucht werden Ausblick: Optimale Berechnungsparameter Verbesserung des hp-algorithmus Effiziente hypersinguläre Integration 19

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21 Berechnung der Fehlerindikatoren Fehlerindikatoren Mindestdruck μ 1 = K k=1 ( p k p elem ) K p min,1 = N j=1 p j N μ 2 = μ 1 p Netz p min,2 = p Netz μ 3 = μ 1 p elem p min,3 = p Netz0,2 p elem = K k=1 p k K 21

22 Diskretisierung des Quaders Diskretisierung h1 Diskretisierung h3 22