KAPITEL 10. Numerische Integration

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1 KAPITEL 10. Numerische Integration 10.1 Einleitung Sei Es gilt I Ĩ = b I = b a a f(x) f(x) dx f(x) dx, Ĩ = b b a f(x) dx. a f(x) f(x) dx (b a) f f. I Ĩ I (b a) f f b a f(x) dx = ba f dx b a f(x) dx f f f =: κ rel f f f. Dahmen-Reusken Kapitel 10 1

2 Die gängige Strategie zur näherungsweisen Berechnung von b f(x) dx läßt sich folgendermaßen umreißen: a 1. Man unterteile [a, b] in Teilintervalle [t k 1, t k ] z.b. mit t j = a + jh, j = 0,..., n, h = b a n. 2. Approximiere f auf jedem Intervall [t k 1, t k ] durch eine einfach zu integrierende Funktion g k, und verwende n k=1 tk t k 1 g k (x) dx n k=1 tk t k 1 f(x) dx = b a f(x) dx als Näherung für das exakte Integral. Dahmen-Reusken Kapitel 10 2

3 Dabei wählt man speziell Trapezregel g k (x) = x t k 1 f(t k ) + t k x h h f(t k 1), d.h. die lineare Interpolation an den Intervallenden von [t k 1, t k ]. Folglich ist t k t g k 1 k (x) dx gerade die Fläche h 2 [f(t k 1) + f(t k )]. f h 2 [f(t k 1) + f(t k )] t k 1 t k Dahmen-Reusken Kapitel 10 3

4 Dies liefert die summierte Trapezregel [ 1 T(h) = h 2 f(a) + f(t 1) + + f(t n 1 ) f(b) ] als Näherung für b a f(x) dx. Für den Verfahrensfehler der Teilintegrale gilt folgende Darstellung: Lemma Sei f C 2 ([t k 1, t k ]). Es gilt: h 2 [f(t k 1) + f(t k )] = tk t k 1 f(x) dx + f (ξ k ) 12 h3, ξ k [t k 1, t k ]. Dahmen-Reusken Kapitel 10 4

5 Für den Verfahrensfehler von T(h) ergibt sich damit die Abschätzung T(h) b a f(x) dx = h3 12 n k=1 n k=1 12 h3 f (ξ k ) f (ξ k ) h3 12 n max x [a,b] f (x). Mit nh = b a ergibt sich insgesamt die Fehlerschranke T(h) b 12 a f(x) dx h 2 (b a) max x [a,b] f (x). Dahmen-Reusken Kapitel 10 5

6 Ebenfalls erhält man wegen und E(h) := T(h) lim h 0 E(h) b h 2 = 1 12 a f(x) dx = n b k=1 a f (x) dx = 1 12 f (ξ k ) 12 h3 = h2 12 n k=1 ( f (b) f (a) ) hf (ξ k ) die Fehlerschätzung E(h) Ê(h) := h2 12 ( f (b) f (a) ). Dahmen-Reusken Kapitel 10 6

7 Beispiel Zur näherungsweisen Berechnung von I = π/2 0 xcos x + e x dx = π 2 + e1 2 π 2 mit der Trapezregel ergeben sich die in folgender Tabelle angegebenen Näherungswerte, Verfahrensfehler und Fehlerschätzungen. n T(h) E(h) = T(h) I Ê(h) = 12 h2 ) π 2 f (0) e e e e e e e e 04 Dahmen-Reusken Kapitel 10 7

8 10.2 Newton-Cotes-Formeln Für ein typisches Teilintervall [t k 1, t k ] stehe der Einfachheit halber im Folgenden [c, d]. Seien nun x 0,..., x m [c, d] verschiedene Punkte. Integration des Interpolationspolynoms liefert die Quadraturformel I m (f) = d c P(f x 0,..., x m )(x) dx. Satz Sei I m (f) wie oben. Für jedes Polynom Q Π m gilt I m (Q) = d c Q(x) dx. Man sagt, die Quadraturformel ist exakt vom Grade m. Dahmen-Reusken Kapitel 10 8

9 Lemma Es gibt Gewichte c 0,..., c m, so daß I m (f) die Form I m (f) = h m j=0 c j f(x j ) hat, wobei wieder h = d c. Die c j sind durch c j = 1 h d c m k=0 k j x x k x j x k dx = 1 h d c l jm(x) dx gegeben, wobei l jm die Lagrange-Fundamentalpolynome zu den Stützstellen x 0,..., x m sind. Wählt man speziell die Stützstellen x j äquidistant x 0 = c h =: c + ξ 0h, wenn m = 0, x j = c + j m h =: c + ξ jh, j = 0,..., m, wenn m > 0, erhält man die Newton-Cotes-Formeln. Dahmen-Reusken Kapitel 10 9

10 Man kann dann die Quadraturformel in der Form I m (f) = h m j=0 c j f(c + ξ j h) mit normierten Stützstellen ξ j und Gewichten c j schreiben, die jetzt unabhängig vom speziellen Intervall [c, d] sind. Gängige Beispiele: m ξ j c j I m (f) d f(x) dx c 1 0 Mittelpunktsregel h3 f (2) (ξ) 1 1 Trapezregel 0, 1 2, h3 f (2) (ξ) 2 Simpson-Regel 0, 1 2,1 1 6, 4 6, (1 2 h)5 f (4) (ξ) Regel 0, 1 3, 2 3,1 1 8, 3 8, 3 8, (1 3 h)5 f (4) (ξ) 4 Milne-Regel 0, 1 4, 1 2, 3 4,1 7 90, 32 90, 12 90, 32 90, (1 4 h)7 f (6) (ξ) Dahmen-Reusken Kapitel 10 10

11 Summierte Newton-Cotes-Formeln Als Beispiel behandeln wir die summierte Simpson-Regel. mit S(h) = b a f(x) dx + E(h) S(h) = h [ ( ) ( ) t0 + t f(t 0 ) + 4f 1 t1 + t + 2f(t 1 ) + 4f ( ) 2 tn 1 + t n 2f(t 2 ) f(t n 1 ) + 4f + f(t n ) 2 ] und E(h) = n k= (1 2 h)5 f (4) (ξ k ) = h n k=1 hf (4) (ξ k ), ξ k [t k 1, t k ]. Dahmen-Reusken Kapitel 10 11

12 Es gilt, wegen nh = b a, E(h) h E(h) b h (b a) f(4), a f(4) (x) dx = h ( f (3) (b) f (3) (a) ). Man beachte, daß beim Aufsummieren der einzelnen Teilintegrale, b a f(x) dx = n k=1 im Fehler eine h-potenz verloren geht. tk t k 1 f(x) dx, Dahmen-Reusken Kapitel 10 12

13 Beispiel 10.5 Für das Integral in Beispiel 10.2 ergeben sich die Resultate wie in folgender Tabelle. n S(h) E(h) h f(3) ( π 2 ) f(3) (0) e e e e e e e e 08 Dahmen-Reusken Kapitel 10 13

14 10.3 Gauß-Quadratur Zielvorgaben: Entwickle für m N eine Formel m i=0 w i f(x i ) = d c P(f x 0,..., x m )(x)dx mit: positiven Gewichten w i, i = 0,..., m; mit möglichst hohem Exaktheitsgrad n m, d.h., d c Q(x) dx = m i=0 w i Q(x i ), Q Π n. Der Exaktheitsgrad bei Newton-Cotes-Formeln I m (f) ist entweder m oder m + 1. Es zeigt sich, daß man dies verbessern kann. Dahmen-Reusken Kapitel 10 14

15 Allerdings sieht man leicht, daß man mit einer Formel dieses Typs höchstens den Exaktheitsgrad 2m + 1 realisieren kann. Daß man jedoch den maximalen Exaktheitsgrad n = 2m+1 realisieren kann, zeigen die Gaußschen Quadraturformeln. Satz Sei m 0. Es existieren Stützstellen x 0,..., x m (c, d) und positive Gewichte w 0,..., w m, so daß mit h = d c und h m i=0 w i f(x i ) = d c f(x) dx + E f(h) E Q = 0 für alle Q Π 2m+1. Ferner gilt für passendes ξ [c, d] ( ) 4 (m + 1)! E f (h) = ( (2m + 2)! ) 3(2m + 3) h 2m+3 f (2m+2) (ξ). Dahmen-Reusken Kapitel 10 15

16 Daß die Gewichte w j tatsächlich positiv sind, ergibt sich aus der Exaktheit vom Grade 2m + 1 durch Anwendung auf das spezielle Polynom denn q(x) := m i=0,i k (x x i ) 2 Π 2m Π 2m+1, 0 < d c q(x)dx = m i=0 w i q(x i ) = w k q(x k ) = w k m i=0,i k (x k x i ) 2. Dahmen-Reusken Kapitel 10 16

17 Numerische Tests Wir untersuchen nun den in der Fehlerformel auftretenden Faktor C k,h := (k!) 4 ((2k)!) 3 (2k + 1) h2k+1 (k = m + 1). Für glatte Funktionen (d.h., f (2k) wird nicht allzu groß, wenn k größer wird) wird die Qualität der Gauß-Quadratur im Wesentlichen durch den Faktor C k,h bestimmt. h k = 2 k = 4 k = e e e e e e e e e e e e 28 Dahmen-Reusken Kapitel 10 17

18 Sei I k,n b a f(x) dx = I(f) die Quadraturformel, wobei [a, b] in n Teilintervalle mit Länge b a n = h unterteilt wird und auf jedem Teilintervall eine Gauß-Quadratur mit k Stützstellen angewandt wird. Sowohl für I 2k,n als auch für I k,2n wird die Anzahl der Funktionsauswertungen etwa verdoppelt im Vergleich zu I k,n. In obiger Tabelle kann man sehen, daß man I I I 2k,n Ik,2n erwarten darf. Daher wird in der Praxis bei Gauß-Quadratur n in der Regel klein gewählt, oft sogar n = 1. Dahmen-Reusken Kapitel 10 18

19 Beispiel Die Gauß-Quadratur mit [c, d] = [0, π 2 ] (d.h. n = 1) für das Integral in Beispiel 10.2 ergibt die Resultate: m I m I m I e e e e 10 Man sieht, daß in diesem Beispiel die Genauigkeit der Gauß-Quadratur mit 5 Funktionswerten (m = 4; k = 5) besser ist als die der Simpson- Regel angewandt auf n = 32 Teilintervalle (vgl. Tabelle 10.3), wobei insgesamt 65 Funktionswerte benötigt werden. Dahmen-Reusken Kapitel 10 19

20 Beispiel Es sei [c, d] = [ 1,1] und m = 1. Die Gauß-Quadraturformel muß für p Π 3 exakt sein, d.h. 1 I 1 (f) = 2(c 0 f(x 0 ) + c 1 f(x 1 )) 1 p(x) dx = 2(c 0p(x 0 ) + c 1 p(x 1 )) für p(x) = x k, k = 0,1,2,3. 1 Aus 1 xk dx = 2(c 0 x k 0 + c 1x k 1 ), k = 0,1,2,3, erhält man die Gleichungen 2 = 2(c 0 + c 1 ), 0 = 2(c 0 x 0 + c 1 x 1 ), 2 3 = 2(c 0 x c 1x 2 1 ), 0 = 2(c 0x c 1x 3 1 ). Dieses nichtlineare Gleichungssystem hat genau zwei Lösungen: c 0 = c 1 = 1 2, x 0 = 1 3, x1 = 1 3, 3 3 c 0 = c 1 = 1 2, x 0 = 1 3, x1 = Dahmen-Reusken Kapitel 10 20

21 10.4 Extrapolation und Romberg-Quadratur Zu berechnen sei das Integral I = b a f(x) dx. Die Trapezsumme T(h) liefert eine Approximation der Ordnung h 2. Die wesentliche Grundlage für den Erfolg von Extrapolationstechniken bildet eine sogenannte asymptotische Entwicklung des Diskretisierungsfehlers: T(h) I = c 1 h 2 + c 2 h 4 + c 3 h c p h 2p + O(h 2p+2 ). Hieraus erhält man also [ 4 T ( 1 2 h) I = c h2 + ĉ 2 h ĉ p h 2p + O(h 2p+2 ), 3 T(1 2 h) 1 3 T(h)] I = c 1 h c p h 2p + O(h 2p+2 ). Dahmen-Reusken Kapitel 10 21

22 Man kann diese Idee systematisch weitertreiben. Sei Es gilt T 1 (h) = 4T(1 2h) T(h). 3 T 1 (h) I = c 1 h 4 + c 2 h O(h 2p+2 ), und damit T 1 ( 1 2 h) I = c h4 + c 2 64 h O(h 2p+2 ), und 16( T1 ( h) I) 1 ( T1 (h) I ) = 16T 1( 2 1 h) T 1(h) I = d 1 h 6 + d 2 h O(h 2p+2 ). Man erkennt, daß die Entwicklung des Fehlers der Quadraturformel T 2 (h) := 16T 1( 1 2 h) T 1(h) 15 mit einem Glied der Ordnung h 6 beginnt. Dahmen-Reusken Kapitel 10 22

23 Allgemeine Idee der Extrapolation Die zugrunde liegende Idee ist folgende. Der gesuchte Wert ist T(0) = b a f(x)dx = I. Bestimmt man das lineare Interpolationspolynom der Funktion x g(x) = T( x) = I + c 1 x + c 2 x c p x p + O(x p+1 ), (x 0), zu den Punkten (h 2, T(h)) und ( 4 1 h2, T( 1 2h)), ergibt sich P(T( ) h 2, 1 4 h2 )(x) = T(h) + T(1 2h) T(h) 1 4 h2 h 2 (x h 2 ). Da man T(0) annähern will, extrapoliert man an der Stelle x = 0, d.h. P(T( ) h 2, 1 4 h2 )(0) = T(h) + 4 ( 1 T( 3 2 h) T(h)) = T 1 (h). Dahmen-Reusken Kapitel 10 23

24 T(h) T( x) T( 1 2 h) T 1 (h) h2 h 2 x Dahmen-Reusken Kapitel 10 24

25 Beispiel Sei I = π/2 0 xcos x + e x dx = π 2 + e1 2 π 2 und T(h) die zugehörige Trapezregel. Die Extrapolation angewandt auf die Trapezregel liefert folgende Resultate: n T(h) T 1 (h) = 4 3 T(h) 1 3 T(2h) T 1(h) I e e e 07 Dahmen-Reusken Kapitel 10 25

26 Die Näherung T 2 (h) läßt sich wie T 1 (h) ebenfalls über Extrapolation erklären. Es gilt P(T( ) h 2, 1 4 h2, 1 16 h2 )(0) = T 2 (h). Allgemeine Vorgehensweise. Sei T i,0 := T(2 i h), i = 0,1,2,..., wobei h eine feste Anfangsschrittweite ist. Es soll das Interpolationspolynom P(T( ) h 2,...,(2 k h) 2 )(x) an der Stelle x = 0 ausgewertet werden. Anwendung des Neville-Aitken Schemas um den Wert T k (h) = T k,k = P(T( ) h 2,...,(2 k h) 2 )(0) zu berechnen, liefert die Rekursion T i,j = 4j T i,j 1 T i 1,j 1 4 j, j = 1,2,..., i j. 1 Dahmen-Reusken Kapitel 10 26

27 Romberg-Schema T(h) = T 0,0 ց T( 1 2 h) = T 1,0 T 1,1 ց ց T( 1 4 h) = T 2,0 T 2,1 T 2,2 ց ց ց T( 8 1 h) = T 3,0 T 3,1 T 3,2 T 3, T i 1,j 1 ց T i,j j 1 4 j 4 j 1 T i,j Dahmen-Reusken Kapitel 10 27

28 Sei I = π/2 0 Beispiel xcos x + e x dx = π 2 + e1 2 π 2, wie in Beispiel 10.2, und T i,0 = T(2 i h), wobei T( ) die Trapezregel ist. Für die Anfangsschrittweite h = 4 1π 2 ergibt das Romberg-Schema folgende Werte: i T i,0 T i,1 T i,2 T i, Fehler: i I T i,j e e e e e e e e e e 12 Dahmen-Reusken Kapitel 10 28

29 10.5 Zweidimensionale Integrale Transformation von Integralen. Eindimensionales Integral b f(x) dx. Sei a I 1 = [a, b], I 2 = [c, d] und ψ : I 1 I 2 eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung. Es gilt die Transformationsformel f(ψ(x)) ψ (x) dx = I 1 I 2 f(y) dy. Ein interessanter Spezialfall ergibt sich, falls ψ affin ist, d.h. ˆψ : [a, b] [c, d], ˆψ(x) = x a b a d + b x b a c. Dahmen-Reusken Kapitel 10 29

30 Wenn Q m (g; I 1 ) = (b a) m i=0 w i g(x i ) eine Formel zur Annäherung von b a g(x) dx ist, ergibt sich eine entsprechende Quadraturformel für das Intervall I 2 = [c, d]: I 2 f(y) dy = also insgesamt: b a f(ˆψ(x)) ˆψ (x) dx = d c b a b a f(ˆψ(x)) dx (d c) m i=0 w i f(ˆψ(x i )), Q m (g; I 1 ) = (b a) Q m (f; I 2 ) = (d c) m i=0 m i=0 w i g(x i ) ŵ i f(ˆx i ), mit ŵ i = w i, ˆx i = x i a b a d + b x i b a c. Dahmen-Reusken Kapitel 10 30

31 Beispiel Gauß-Quadraturformeln werden oft für das Intervall [ 1, 1] spezifiziert, z.b. 1 [ 1 f(x) dx f( 1 ) f( 1 ) ] 3 3 aus Beispiel Die entsprechende Formel für ein beliebiges Intervall [c, d]: d f(x) dx h [ f ( c + ( 1 3 c )h) + f ( c + ( )h)], h := d c. Analog kann man für die Gauß-Quadratur mit 4 Stützstellen 1 1 f(x) dx 2 3 i=0 w i f(x i ), w 0 = w 3 = , w 1 = w 2 = 1 2 w 0, x 0 = x 3 = , x 1 = x 2 = , eine Formel für ein beliebiges Intervall [c, d] herleiten. Dahmen-Reusken Kapitel 10 31

32 Wir betrachten nun die Transformation eines zweidimensionalen Integrals B f(x, y) dx dy, B R2. Sei B 1, B 2 R 2 und ψ : B 1 B 2 eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung mit Jacobi-Matrix J(x, y) = ψ 1 ψ 2 x (x, y) ψ 1 y (x, y) x (x, y) ψ 2 y (x, y) Es gilt folgende Verallgemeinerung von (10.38):. Satz Falls det J(x, y) 0 für alle (x, y) B 1, so gilt f(ψ(x, y)) det J(x, y) dx dy = f( x, ỹ) d x dỹ. B 1 B 2 Dahmen-Reusken Kapitel 10 32

33 Für den Spezialfall, daß ψ affin ist, ψ(x, y) = A ( x) + b, A R 2 2, det(a) 0, b R 2, y ergibt sich daraus die Transformationsformel det A f(a ( x) + b) dx dy = f( x, ỹ) d x dỹ. B 1 y B 2 Mit Hilfe dieser Transformationsformel kann man, wie im eindimensionalen Fall, eine Quadraturformel für einen Standardbereich (z.b. Einheitsquadrat, Einheitsdreieck) in eine Formel für einen affin-äquivalenten Bereich überführen. Dahmen-Reusken Kapitel 10 33

34 Wichtiger Unterschied zwischen ein- und mehrdimensionaler Integration: Zwei Intervalle [a, b] und [c, d] lassen sich stets durch affine Transformationen aufeinander abbilden. Hingegen ist es meistens nicht möglich, einfache Gebiete in R n, n 2, durch eine affine Transformation ineinander zu überführen. Beispiel Sei B 1 = [0,1] [0,1] das Einheitsquadrat. Jede affine Abbildung bildet B 1 auf ein Parallelogramm ab. Eine affine Abbildung von B 1 auf den Einheitskreis S = {(x, y) (x 2 + y 2 ) 1} ist also nicht möglich. Dahmen-Reusken Kapitel 10 34

35 Affine Transformationen B 1 ψ B B 2 ψ B Dahmen-Reusken Kapitel 10 35

36 Sei Integration über dem Einheitsquadrat Q m (g) = f(x, y) dx dy. m i=0 w i g(x i ) eine Quadraturformel für das eindimensionale Integral 1 0 g(x) dx und F(y) := 1 0 f(x, y) dx f(x, y) dx dy = 1 = = 0 F(y) dy m m 1 w j j=0 m i,j=0 j=0 w j F(x j ) 0 f(x, x j) dx m m w j j=0 i=0 w i w j f(x i, x j ) =: Q (2) m (f). w i f(x i, x j ) Dahmen-Reusken Kapitel 10 36

37 Beispiel Sei Q 1 (g) = 1 2 g(x 0) g(x 1), x 0 := , x 1 := , die eindimensionale Gauß-Quadraturformel mit zwei Stützstellen für das Intervall [0,1]. Daraus ergibt sich die Produktregel Q (2) 1 (f) = 1 4 f (x 0, x 0 ) f (x 0, x 1 ) f (x 1, x 0 ) f (x 1, x 1 ) für den Bereich [0,1] [0,1]. Diese Formel ist exakt für alle Linearkombinationen von Polynomen x k 1y k 2, 0 k 1, k 2 3. Dahmen-Reusken Kapitel 10 37

38 Integration über dem Einheitsdreieck Für Dreiecke ist es zweckmäßig, von den Monomen 1, x, y, x 2, xy, y 2, usw. auszugehen und die Frage nach solchen Quadraturformeln zu stellen, die alle Monome der Form x k 1y k 2, 0 k 1 + k 2 M exakt integrieren. Einige typische Beispiele: (i) Q(f) = 1 2 f(1 3, 1 3 ) (ii) Q(f) = 1 [f(0,0) + f(1,0) + f(0,1)] 6 (iii) Q(f) = 1 6 [f(1 2,0) + f(0, 1 2 ) + f(1 2, 1 2 )] (iv) Q(f) = 1 6 [f(1 6, 1 6 ) + f(2 3, 1 6 ) + f(1 6, 2 3 )]. Die Monome 1, x, y werden durch die Formeln in (i), (ii) exakt integriert. Die Monome 1, x, y, xy, x 2, y 2 werden durch die Formeln in (iii), (iv) exakt integriert. Dahmen-Reusken Kapitel 10 38