Interpolationsverfahren

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1 Kapitel 3 Interpolationsverfahren Peter-Wolfgang Gräber Systemanalyse in der Wasserwirtschaft

2 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Problem: Durch Messung sind einige Messwerte (abhängige Variable) in Abhängigkeit von unabhängigen Varibablen im ein-, zwei-, drei- oder vierdimensionalen Raum, der im Allgemeinen durch die drei Raumkoordinaten (je nach Koordinatensystem zb x n y n z n oder r n α n z n oder r n α n ϑ n (siehe Kapitel Vektorrechnung, Seite 47)) und die Zeit t n gebildet wird, bekannt Man hat in diesem Fall diskontinuierliche Wertetabellen Für den eindimensionalen Fall gilt z B: Unabhängige Variable Abhängige Variable x 0 y 0 = f (x 0 ) x 1 y 1 = f (x 1 ) x n y n = f (x n ) Die Stellen x 0 x 1 x n werden als so genannte Stützstellen bezeichnet, die y 0 y 1 y n als Stützwerte Werden Funktionswerte gesucht, deren unabhängige Variable innerhalb des Bereiches (x 0 x n ) liegen, spricht man von Interpolation Sollen dagegen Funktionswerte für unabhängige Variable außerhalb des Bereiches (x 0 x n ) gesucht werden, wird dies Extrapolation genannt Durch die Interpolation bzw Extrapolation wird eine kontinuierliche Ersatzfunktion w = p(x) gesucht, die die Originalfunktion y n = f (x n ) möglichst genau widerspiegelt (siehe Abbildung 31) Dabei ist immer davon auszugehen, dass die Ersatzfunktion nur an den Stützstellen mit der Originalfunktion übereinstimmt Für den dazwischen liegenden Raum hängt die Genauigkeit, dh die Übereinstimmung der beiden Funktionen, von der Anzahl und der Verteilung der Stützstellen ab Entsprechend dem Abtasttheorem nimmt der Quantisierungsfehler proportional zum Anstieg der Funktion zu Beachte: Kein Interpolationsalgorithmus kann als Ersatz für eine Vergrößerung der Messwertdichte benutzt werden Mittels der Interpolationsalgorithmen erhält man immer nur Näherungswerte 6

3 Abbildung 31: Darstellung der diskontinuierlichen Messwerterfassung 63

4 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Beispiel zur Anwendung von Interpolationen: Die Schadstoffkonzentration C(x), die von einer Altlast ausgeht, wird an den Stellen x 0 x 1 x gemessen (siehe Abbildung 3) Die Schadstoffkonzentration, die als Gefahr an der Stelle x F l in den Fluss fließen kann, soll durch Interpolation abgeschätzt werden Dabei soll eine Aussage erfolgen, ob dieser Wert den zulässigen Grenzwert überschreitet Abbildung 3: Darstellung eines Interpolationsproblems x 0 C 0 = f (x 0 ) x 1 C 1 = f (x 1 ) x F l? x C = f (x ) Zur Lösung dieses Problems wird eine Interpolationsfunktion w = p (x) als Ersatz für die Funktion C n = f (x n ) gesucht Diese Funktion soll folgende Voraussetzung erfüllen: dh w i = p (x i ) = C i (31) w 0 = p (x 0 ) = C 0 (3) w 1 = p (x 1 ) = C 1 w n = p (x n ) = C n Dann wird angenommen, dass sich die Zwischenwerte der Funktion w = p (x) den Zwischenwerten der Funktion C n = f (x n ) mit guter Näherung angleichen 64

5 Zur Bestimmung der Funktion w = p (x) können verschiedene Interpolationverfahren verwendet werden Man unterscheidet dabei die ein- und die mehrdimensionalen Verfahren Die mehrdimensionalen Verfahren spielen im Zusammenhang mit den Geografischen Informationssystemen (GIS) eine wesentliche Rolle und werden auch oft im Zusammenhang mit den Verfahren der Geostatistik betrachtet Im Folgenden sollen einige der im Zusammenhang mit wasserwirtschaftlichen Fragestellungen benutzten Verfahren vorgestellt werden Polynominterpolation Interpolierende Polynomteilstücke (Spline) Kriging-Verfahren 65

6 31 Polynominterpolation Bei diesem Verfahren hat p (x) die Form eines algebraischen Polynoms n-ten Grades: w = p (x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n (33) Dies weist den Vorteil auf, dass Zwischenwerte möglichst leicht zu berechnen sind Geht man von einer Messwerttabelle mit n + 1 Wertepaaren aus, so lässt sich maximal genau ein Polynom n-ten Grades dazu ermitteln: mit der Eigenschaft: y := p n (x) = y(x i ) p(x i ) = n a k x k (34) k=0 n a k x k i = w i (35) Dieses Polynom ist das Interpolationspolynom zu dem gegebenen System von Interpolationsstützstellen In der Regel werden Polynome niedrigen Grades (n 3) gesucht, die die Wertepaare zumindest stückweise anpassen: p (x) = a 0 + a 1 x lineare Interpolation p (x) = a 0 + a 1 x + a x quadratische Interpolation p (x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 kubische Interpolation Der Einsatz von Polynomen höheren Grades erschwert die Rechenarbeit und führt zu sehr große Schwankungen Aus den verschiedenen Darstellungsformen für Polynome ergeben sich auch die verschiedenen Interpolationsverfahren zur Bestimmung der Koeffizienten a i des Polynoms n-ten Grades Diese verschiedenen Verfahren führen alle zu dem selben Polynom So werden die Interpolationsformeln unterschieden nach: analytische Potenzfunktion LAGRANGE AIKEN NEWTON k=0 Systemanalyse in der Wasserwirtschaft Peter-Wolfgang Gräber

7 31 POLYNOMINTERPOLATION 311 Analytische Potenzfunktionen Dieser Polynomansatz geht davon aus, dass das Polynom w = p (x) für jede Stützstelle die Bedingung y(x i ) = p(x i ) erfüllt Man erhält in diesem Fall für die n + 1 Stützstellen n + 1 Gleichungen mit den n + 1 Unbekannten a 0 bis a n a 0 + a 1 x 0 + a x a nx n 0 = y 0 a 0 + a 1 x 1 + a x a nx n 1 = y 1 a 0 + a 1 x n + a x n + + a n x n n = y n (36) Dieses Gleichungssystem kann in gewohnter Weise auch als Matrixgleichung geschrieben werden: X A = Y Mit: 1 x 0 x 0 x n 0 1 x 1 x 1 x n 1 X = 1 x x x n 1 x n x n x n n A = a 0 a 1 a a n Y = y 0 y 1 y y n Dabei ist zu beachten, dass die Matrix X die bekannten Koeffizienten und Y die rechte Seite darstellen, wobei hier die Matrix A den gesuchten Lösungsvektor darstellt Das LGS kann mit allen bekannten Methoden (siehe Abschnitt 13 Lösung von Gleichungssystemen, Seite ) gelöst werden Die Determinante dieses linearen Gleichungssystems (LGS) ist: 1 x 0 x n 0 1 x 1 x n 1 D = = 1 x n x n n und wird als VANDERMONDsche Determinante bezeichnet (x 1 x 0 ) (x x 0 ) (x 3 x 0 ) (x n x 0 ) (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x n x 1 ) (x 3 x ) (x n x ) (x n 1 x n ) (x n x n ) (x n x n 1 ) Da alle Stützstellen verschieden von einander sind (sein müssen), ist D = 0 und das LGS eindeutig lösbar Es existiert genau ein Polynom n-ten Grades, das die Werte y i = f (x i ) annimmt und deren Koeffizienten sich ergeben zu (vgl Abschnitt 13 Determinanten, Seite 19): (37) a 0 = D a 0 D, a 1 = D a 1 D, a n = D an D Mit diesen Koeffizienten erhält man das gesuchte Interpolationspolynom zu: (38) y(x) p(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n Der gesuchte Interpolationswert an der Stelle x P ergibt sich damit zu: y(x P ) p(x P ) = a 0 + a 1 x P + a x P + + a n x n P 67

8 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Obwohl bei diesem Verfahren der Ansatz sehr einfach ist, erfordert die endgültige Bestimmung des Interpolationspolynoms einen erheblichen Rechenaufwand, besonders wenn eine größere Anzahl von Stützwerten zu berücksichtigen ist Beispiel zur Anwendung der Interpolation nach dem Polynomansatz: Gesucht sind ein quadratisches Polynom, das die Werte der folgenden Tabelle annehmen soll, und der Wert y = f 1 an der Stelle x = 1 x 0 1 y Da nur drei Stützstellen vorhanden sind, kann das Polynom nur vom zweiten Grad sein Ein quadratisches Polynom hat die Form: p (x) = a 0 + a 1 x + a x Es muss gelten: y i = p (x i ) y i = a 0 + a 1 x i + a x i p (0) = 0 = a 0 + a a 0 = 0 = a 0 = 0 p (1) = 1 = a 0 + a a 1 = 1 = a 1 + a = 1 p () = 0 = a 0 + a 1 + a = 0 = a 1 + 4a = 0 Aus den drei Gleichungen folgt: Damit lautet das Interpolationspolynom: a 0 = 0 a 1 = a = 1 p (x) = x x Mit dieser Funktion kann der gesuchte Funktionswert an der Stelle x = 1 berechnet werden: 1 1 f p 1 p = f

9 31 POLYNOMINTERPOLATION 31 Interpolationsformel von LAGRANGE LAGRANGE hat die Interpolationsfunktion in folgender Form geschrieben: y(x P ) p (x P ) = L 0 (x P ) y 0 + L 1 (x P ) y L n (x P ) y n (39) Bei der Interpolation nach LAGRANGE werden keine geschlossenen analytische Funktionen berechnet, sondern nur jeweils einzelne Werte p (x P ) zur Interpolationsstelle x P Dabei sind die Koeffizienten (L i (x) (i = 0 1 n)) der Stützwerte y i Polynome n-ten Grades von x P Diese werden aus den Stützstellen x i berechnet Die LAGRANGEschen Polynome n-ten Grades haben folgende Gestalt: L 0 (x) = (x P x 1 ) (x P x ) (x P x n ) (x 0 x 1 ) (x 0 x ) (x 0 x n ) L 1 (x) = (x P x 0 ) (x P x ) (x P x n ) (x 1 x 0 ) (x 1 x ) (x 1 x n ) L i (x) = (x P x 0 ) (x P x 1 ) (x P x ) (x P x i 1 ) (x P x i+1 ) (x P x n ) (x i x 0 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 ) (x i x n ) L n (x) = (x P x 0 ) (x P x 1 ) (x P x ) (x P x n 1 ) (x n x 0 ) (x n x 1 ) (x n x n 1 ) Damit erhält das Interpolationspolynom von LAGRANGE die Form: (310) y = f(x P ) p (x P ) = L 0 (x P ) y 0 + L 1 (x P ) y L n (x P ) y n (311) = (x P x 1 ) (x P x ) (x P x n ) (x 0 x 1 ) (x 0 x ) (x 0 x n ) y 0 + (x P x 0 ) (x P x ) (x P x n ) (x 1 x 0 ) (x 1 x ) (x 1 x n ) y (x P x 0 ) (x P x 1 ) (x P x ) (x P x n 1 ) y n (x n x 0 ) (x n x 1 ) (x n x n 1 ) Setzt man für x P einen der Werte x 0 x 1 x n 1 x n ein, so wird immer ein Faktor des Zählers gleich Null Damit werden werden alle LAGRANGEschen Polynome außer dem i ten gleich Null Für das i te Polynom wird der Zähler gleich dem Nenner und erhält damit den Werte Eins Damit ist bewiesen: y i = f(x i ) p (x i ) = 1 y i Ein Nachteil des LAGRANGEschen Verfahrens besteht darin, dass bei einer Erhöhung der berücksichtigten Stützstellenzahl, welche mit der Erhöhung des Grades des Interpolationsalgorithmus identisch ist, die Berechnung der LAGRANGEschen Interpolationspolynome erneut durchgeführt werden muss Dies ist zb auch im folgenden Beispiel deutlich zu sehen Beachte: Die Gewichte (Faktoren) L i (x i ) der LANGRANGEschen Interpolationsformel müssen immer neu berechnet werden, wenn sich die Zahl der Stützstellen ändert Die Summe der Gewichte ist immer gleich Eins (zur Kontrolle der Ergebnisse wichtig) Li (x i ) = 1 69

10 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Beispiel zur Anwendung der LAGRANGEschen Interpolationsfunktion: Für die Funktion y n = f (x n ) sind die Werte an den äquidistanten Stellen x n = x 0 + nh, mit n = 1; 0; 1; (siehe Tabelle) gegeben: n 1 1 x n x 0 h x 0 x 0 + h x 0 + 4h f (x n ) y 1 y 0 y 1 y Gesucht ist ein Näherungswert w = f (x) = f (x 0 + h) für x = 1 Nach den Regeln des Polynomansatzes kann in diesem Fall mit den vier Stützstellen maximal ein Interpolationspolynom dritten Grades entwickelt werden Es ist aber auch möglich, eine stückweise Interpolation durchzuführen Dies hat den Vorteil, dass man den Rechenaufwand reduzieren kann Die Genauigkeit wird dadurch aber verschlechtert Es gilt in diesem Fall, ein Optimum zwischen erforderlicher Genauigkeit und Rechenaufwand zu finden Bei der stückweisen Interpolation werden die Stützstellen benutzt, die dem Interpolationspunkt am nächsten liegen 1 Lineare Interpolation Die Interpolationsfunktion an der Stelle x = 1 wird mit Hilfe der LAGRANGEschen Interpolationsformel folgenderweise geschrieben (siehe Gleichung 39): w 1 = L 0 (x 1 )y 0 + L 1 (x 1 )y 1 Dabei werden die Stützstellen benutzt, zwischen denen der Wert x = 1 liegt, die Werte x = 0 und x = 1 Die Faktoren L 0 und L 1 sind (siehe Gleichung 310): Dann ist der gesuchte Wert: L 0 x 1 = x 1 x 1 = x 0 + h x 0 h = 1 x 0 x 1 x 0 x 0 h L 1 x 1 = x 1 x 0 = x 0 + h x 0 = 1 x 1 x 0 x 0 + h x 0 w 1 = 1 (y 0 + y 1 ) Das Ergebnis der linearen Interpolation ist damit gleich dem arithmetischen Mittel Quadratische Interpolation In diesem Fall ist(siehe Gleichung 39): w 1 = L 0 x 1 y 0 + L 1 x 1 y 1 + L Die entsprechenden Faktoren sind (siehe Gleichung 310): x 1 x 1 x 1 x L 0 x 1 = (x 0 x 1 ) (x 0 x ) L 1 x 1 = L x 1 = x 1 x 0 x 1 x (x 1 x 0 ) (x 1 x ) x 1 = 3 8 y = 3 4 x 1 x 0 x 1 x 1 = 1 (x x 0 ) (x x 1 ) 8 70

11 31 POLYNOMINTERPOLATION und der gesuchte Wert ist: w 1 = 3 8 y y y 3 Kubische Interpolation Auf dieselbe Weise folgt (siehe Gleichung 39): w 1 = L 1 x 1 y 1 + L 0 x 1 y 0 + L 1 x 1 y 1 + L Man erhält folgende LAGRANGEfaktoren (siehe Gleichung 310): x 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x L 1 x 1 = (x 1 x 0 ) (x 1 x 1 ) (x 1 x ) = 1 16 L 0 x 1 = L 1 x 1 = L x 1 = Damit lautet der interpolierte Wert: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x (x 0 x 1 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x ) x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x (x 1 x 1 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x ) x 1 = 9 16 = 9 16 x 1 x 1 x 1 x 0 x 1 x 1 = 1 (x x 1 ) (x x 0 ) (x x 1 ) 16 w 1 = 1 16 y y y y y 71

12 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN 313 NEWTONsche Interpolationsformel 3131 Beliebige Stützstellen Der Nachteil des LAGRANGEschen Verfahrens, dass die LAGRANGEschen Polynome neu berechnet werden müssen, wird bei dem NEWTONschen Verfahren vermieden Bei dem NEWTONschen Verfahren wird bei Berücksichtigung weiterer Stützstellen nur ein Zusatzglied addiert Das Verfahren geht von folgenden Ansatz aus: p(x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b (x x 0 )(x x 1 ) + b 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x ) + b n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) (31) Wenn ein bestimmter Interpolationswert p(x P ) gesucht wird, wird im Polynomausdruck x durch x P ersetzt Die Koeffizienten werden wieder so bestimmt, dass das Polynom die Stützstellen (x n y n ) exakt widerspiegelt Setzt man in den NEWTONschen Ansatz für x P die Werte x 0 x 1 x n ein, so erhält man ein gestaffeltes Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Unbekannte, da jeweils die entsprechenden Faktoren ((x P x i ) = 0) Null werden und damit die Polynomglieder wegfallen Dabei muss der Polynomwert p(x i ) den Stützwert y i annehmen y 0 = b 0 + b 1 (x 0 x 0 ) + (313) =0 y 1 = b 0 + b 1 (x 1 x 0 ) + b (x 1 x 0 )(x 1 x 1 ) + =0 y = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b (x x 0 )(x x 1 ) y n = b 0 + b 1 (x n x 0 ) + b (x n x 0 )(x n x 1 ) + + b n (x n x 0 )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) Das Gleichungssystem lässt sich schrittweise nach b 0 b 1 b b n auflösen Durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite erhält man b 1 Dieses wiederum in die dritte eingesetzt liefert b In die (n + 1)-te Gleichung werden die zuvor bestimmten b 0 b 1 b b n 1 eingesetzt und liefern dann b n 7

13 31 POLYNOMINTERPOLATION b 0 = y 0 b 1 = (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) = [x 1x 0 ] b = (y y 0 ) (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) (x x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) = (y y 1 ) + (y 1 y 0 ) [x 1 x 0 ] (x x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) (y y 1 ) = (x x 0 )(x x 1 ) + (y 1 y 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) [x 1x 0 ] (x x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) = [x x 1 ] (x x 0 ) + [x 1x 0 ] (x 1 x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) [x 1x 0 ] (x x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) = [x x 1 ] (x x 0 ) + [x 1x 0 ] (x 1 x 0 ) [x 1 x 0 ] (x x 0 ) (x x 0 )(x x 1 ) = [x x 1 ] (x x 0 ) + [x 1x 0 ] (x x 1 ) (x x 0 )(x x 1 ) b = [x x 1 ] [x 1 x 0 ] = [x x 1 x 0 ] (x x 0 ) Allgemein kann man folgende gekürzte Schreibweise, die als dividierte Differenzen höherer Ordnung bezeichnet werden, einführen: [x k x i ] := (y k y i ) (x k x i ) [x l x k x i ] := [x lx k ] [x k x i ] (x l x i ) [x m x l x k x i ] := [x mx l x k ] [x l x k x i ] (x m x i ) (314) erster und (315) [x n x n 1 x 1 x 0 ] := [x nx n 1 x 1 ] [x n 1 x 1 x 0 ] (x n x 0 ) Damit ergeben sich die gesuchten Koeffizienten zu: b 0 = y 0 (316) b 1 = (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) = [x 1x 0 ] b = [x x 1 ] [x 1 x 0 ] (x x 0 ) b 3 = [x 3x x 1 ] [x x 1 x 0 ] (x 3 x 0 ) = [x x 1 x 0 ] = [x 3 x x 1 x 0 ] b n = [x nx n 1 x 1 ] [x n 1 x 1 x 0 ] (x n x 0 ) = [x n x n 1 x 1 x 0 ] 73

14 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Die Koeffizienten lassen sich besonders bequem nach dem folgenden Rechenschema bestimmen (in diesem Beispiel für 5 Stützstellen): x 0 y 0 = b 0 x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) = [x 1x 0 ] = b 1 (y y 1 ) (x x 1 ) = [x x 1 ] (y 3 y ) (x 3 x ) = [x 3x ] (y 4 y 3 ) (x 4 x 3 ) = [x 4x 3 ] [x x 1 x 0 ] = b [x 3 x x 1 ] [x 4 x 3 x ] [x 3 x x 1 x 0 ] = b 3 [x 4 x 3 x x 1 ] [x 4 x 3 x x 1 x 0 ] = b 4 Entsprechend Gleichung 31 ergibt sich der zu interpolierende Wert y an der Stelle x zu: (317) y(x) p(x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) (318) + b (x x 0 )(x x 1 ) + b 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x ) + b 4 (x x 0 )(x x 1 )(x x )(x x 3 ) Diese Gleichung kann natürlich auch benutzt werden, um den Funktionsverlauf der Interpolationsfunktion w = p(x) zu berechnen und eventuell grafisch darzustellen 313 Äquidistante Stützstellenverteilung Sei die äquidistanten Stützstellenverteilung x 0 x 1 = x 0 + h x n = x 0 + nh (h ist die Schrittweite) gegeben, dann lautet nach NEWTON die Interpolationsfunktion: p (x) = y 0 + Δy 0 h (x x 0)+ Δ y 0 h (x x 0) (x x 1 )++ Δn y 0 n h n (x x 0) (x x n 1 ) (319) Die Elemente Δy 0 Δ y 0 Δ n y 0 werden als finite Differenzen bezeichnet Dabei stellen die Exponenten nicht die Potenzierung, sondern die schrittweise Differenzenbildung dar Vergleicht man diese Gleichung 319 mit der Gleichung 31 auf Seite 7 so erhält man: b 0 y 0 b 1 = y 1 y 0 Δy 0 x 1 x 0 h b = [x x 1 ] [x 1 x 0 ] (x x 0 ) Δ y 0 h (30) 74

15 31 POLYNOMINTERPOLATION Diese Differenzen werden nach folgendem Schema berechnet: x 0 y 0 x 1 y 1 x y x n1 x n y n1 y n Δy 0 = y 1 y 0 Δy 1 = y y 1 Δy n = y n1 y n Δy n1 = y n y n1 Δ y 0 = Δy 1 Δy 0 Δ y 1 = Δy Δy 1 Δ y n = Δy n1 Δy n Δ n y 0 = Δ n1 y 1 Δ n1 y 0 Das Schema ist zb für n = 4: x 0 y 0 Δy 0 = y 1 y 0 x 1 y 1 x y x 3 y 3 x 4 y 4 Δy 1 = y y 1 Δy = y 3 y Δy 3 = y 4 y 3 Δ y 0 = Δy 1 Δy 0 Δ y 1 = Δy Δy 1 Δ y = Δy 3 Δy Δ 3 y 0 = Δ y 1 Δ y 0 Δ 3 y 1 = Δ y Δ y 1 Δ 4 y 0 = Δ 3 y 1 Δ 3 y 0 Durch rückwärtiges Einsetzen sieht man, dass jede finite Differenz eine Kombination der y-werte der ersten Spalte ist Es gilt z B : Δ 3 y 0 = y 3 3y + 3y 1 y 0 (31) 3133 Beispiele zur Anwendung des Newtonschen Verfahren 1 Für die Funktion y n = f (x n ) sind die Werte an den äquidistanten Stellen x n = x 0 + nh, n = 1; 0; 1; (siehe Tabelle) gegeben: n 1 1 x n x 0 h x 0 x 0 + h x 0 + 4h f (x n ) y 1 y 0 y 1 y Gesucht ist ein Näherungswert x = 1 für y 1 = f (x 0 + h) Lösen Sie dieses Beispiel mit dem NEWTONschen Verfahren und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen der LANGRANGEschen Interpolationsformel a) Lineare Interpolation: p x 1 In dem Beispiel beträgt Δx = h p x 1 = y 0 + Δy 0 Δx = y 0 + y 1 y 0 h = 1 (y 0 + y 1 ) x 1 x 0 (x 0 + h x 0 ) 75

16 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN b) Quadratische Interpolation: p x 1 = y 0 + Δy 0 Δx In dem Beispiel beträgt Δx = h p x 1 = 1 (y 0 + y 1 ) + y y 1 + y 0 (h) = 3 8 y y y x 1 x 0 + Δ y 0 Δx x 1 x 0 x 1 x 1 (x 0 + h x 0 ) (x 0 + h x 0 h) Es gilt: Δ y 0 = Δy 1 Δy 0 = y y 1 (y 1 y 0 ) = y y 1 + y 0 Bemerkung: Der Vorteil des NEWTONschen Verfahrens liegt darin, dass sich die Polynome L i (x) nicht ändern, wenn die Anzahl der Stützstellen verändert wird, dh man braucht jedes Mal nur das zusätzliche Glied der Interpolationsfunktion zu berechnen Gegeben sind folgende Messwerte: x y Bestimmen Sie den Wert y = f ( 5) Wählen Sie dazu ein Polynom geeigneten Grades Wie groß ist die Abweichung, wenn sich der Grad des Polynoms ändert? Zur Berechnung des gesuchten Wertes mittels Polynomen verschiedenen Grades ist das NEW- TONsche Verfahren geeignet Da die gegebenen Stützstellen äquidistant sind (h = 1), ist seine Anwendung möglich Zunächst werden die finiten Differenzen berechnet: x 0 = 0 y 0 = 1 x 1 = 1 y 1 = x = y = 4 x 3 = 3 y 3 = 8 x 4 = 4 y 4 = 15 x 5 = 5 y 5 = 6 Δy 0 = 1 Δy 1 = Δy = 4 Δy 3 = 7 Δy 4 = 11 Δ y 0 = 1 Δ y 1 = Δ y = 3 Δ y 3 = 4 Δ 3 y 0 = 1 Δ 3 y 1 = 1 Δ 3 y = 1 Δ 4 y 0 = 0 Δ 4 y 1 = 0 Δ 5 y 0 = 0 Daraus ist ersichtlich, dass das Interpolationspolynom maximal dritten Grades ist a) Lineare Interpolation Der gesuchte Wert bei x = 5 liegt zwischen x = und x 3 = 3 Deshalb wird die lineare Interpolation nur zwischen diesen beiden Werte durchgeführt p (x) = y + Δy h (x x ) = ( 5 ) 1 p ( 5) = 6 b) Quadratische Interpolation Da der gesuchte Wert bei x = 5 liegt, wird die quadratische Parabel zwischen den 76

17 31 POLYNOMINTERPOLATION Werten x 1 x, und x 3 aufgespannt p (x) = y + Δy h (x x ) + Δ y h (x x ) (x x 3 ) = ( 5 ) + ( 5 ) ( 5 3) = 4 + p ( 5) = 5 65 c) Kubische Interpolation Die kubische Interpolationsformel benötigt vier Stützstellen p (x) = y 1 + Δy 1 h (x x 1) + Δ y 1 h (x x 1) (x x ) + Δ3 y 1 3h 3 (x x 1)(x x )(x x 3 ) = + ( 5 1) + ( 5 1)( 5 ) ( 5 1)( 5 )( 5 3) 6 1 = p ( 5) = Für das zweite Tripel ergibt sich: p (x) = y + Δy h (x x ) + Δ y h (x x ) (x x 3 ) + Δ3 y 3h 3 (x x ) (x x 3 ) (x x 4 ) = ( 5 ) + ( 5 ) ( 5 3) ( 5 ) ( 5 3) ( 5 4) = p ( 5) = Die Abweichung zwischen dem linearen und dem quadratischen Ergebnis ist = 6 7% während die Abweichung zwischen dem quadratischen und dem kubischen Ergebnis nur = 1 1% beträgt Um die Ergebnisse zu beurteilen, können die gegebenen Punkte graphisch dargestellt werden (siehe Abbildung 33) 77

18 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Abbildung 33: Darstellung der Messwerte und des interpolierten Wertes Die graphische Darstellung zeigt, dass der gesuchte Wert tatsächlich zwischen 5 und 6 liegen soll Es wird auch deutlich, dass die lineare Interpolation in diesem Fall kein gutes Ergebnis liefern kann Aus diesem Grund ist es sinnvoll, gegebene Punkte graphisch darzustellen und den gesuchten Wert einzuschätzen Im Fall eines realen Versuches ist es wichtig, genug Punkte zu haben, um die Form der Funktion mit guter Näherung zu bekommen Dies kann festgestellt werden, wenn zusätzliche Punkte dazugenommen werden und sich die Form der Funktion nicht wesentlich ändert 78

19 3 Interpolierende Polynomteilstücke (Spline) Zur Darstellung einer gegebenen Funktion in einem Intervall kann man an Stelle eines einzigen Polynoms mit hohem Grad Abschnitte mehrerer Polynome niedrigeren Grades miteinander verknüpfen Das klassische Beispiel sind Geradenstücke in Teilintervallen (siehe Abbildung 34) Dabei wird angenommen, dass die Funktion zwischen zwei Stützstellen fast linear ist Dieses gilt vor allem, wenn die Stützstellen eng genug bei einander liegen Derartige Approximationen sind zwar stetig, die er- Abbildung 34: Darstellung von linearen Spline-Kurven ste Ableitung ist aber unstetig, dh es treten Ecken beim Übergang vom einem Intervall zum anderen auf Im Folgenden wird ein Weg beschrieben, die Methode der Spline-Interpolation, bei dem kubische Parabelbögen so zusammengesetzt werden, dass die Ecken gerundet sind, die erste und zweite Ableitung der Approximation stetig ist Polynome höheren Grades werden in der Regel nicht verwendet, da sie stark oszillieren Ein gegebenes Intervall I = (a b) wird durch die x-werte x 0 = a x 1 x x n = b in n Teilintervalle aufgeteilt Die kubischen Parabelbögen werden so in jedes dieser Teilintervalle eingepasst, indem vorgegebene y-werte y i an den Stellen x i angenommen werden An den Übergangsstellen zwischen den Teilintervallen müssen die links- und rechtsseitige erste und zweite Ableitung übereinstimmen (siehe Abbildung 35) Die Stützstellen (x i y i ) werden die Knoten des Splines (das Wort Spline bezeichnete ursprünglich ein flexibles Kurvenlineal) genannt Abbildung 35: Darstellung von Spline-Kurven für ein kubisches System Peter-Wolfgang Gräber Systemanalyse in der Wasserwirtschaft

20 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Ein kubisches Polynom dritten Grades hat vier Koeffizienten Allgemein lautet der Ansatz: p i (x) = c 0i + c 1i x + c i x + c 3i x 3 (3) Die Spline-Funktion ist demnach folgendermaßen definiert: 1 S(x) ist im Bereich [a b] zweimal stetig differenzierbar S (x) ist in jedem Intervall [x i x i+1 ] durch ein kubisches Polynom p i (x) gegeben S(x) p i (x) p i (x) := a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i (x x i ) 3 (33) 3 S (x) erfüllt die Interpolationsbedingungen S (x i ) = y i für alle i von [1 n] im Gebiet [a b] 4 Je nach Gestaltung der Anschlussbedingungen unterscheidet man verschiedene Arten von Spline-Funtionen So erhält man folgende spezielle kubische Spline-Funktionen Anschlussbedingung Bezeichnung Bemerkung S (x 0 ) = S (x 0 ) = 0 S (x S (x n ) = S natürlich 0 ) und S (x n ) ist die Tangente (x n ) = 0 an den Graphen von S (x) S (x 0 ) = αs (x n ) = β verallgemeinert S (x 0 ) = αs (x n ) = β vorgegeben erste Ableitung am Rand S (x 0 ) = αs (x n ) = β vorgegeben dritte Ableitung am Rand S (x 0 ) = S (x n ) S (x 0 ) = S (x n ) periodisch S (x 0 ) = S (x n ) p 0 (x) = p l (x) p n (x) = p n 1 (x) not-a-knot S (x l ) und S (x n ) sind stetig Bei n Segmenten ergeben sich 4n Koeffizienten Entscheidend ist, dass 4n Bedingungen für die 4n Koeffizienten erwartet werden Es gibt 4 Bedingungen an jedem Knoten (x i y i ) für i = 1 n 1 (y-wert und Übereinstimmung der Ableitungen) Dieses liefert 4n 4 Bedingungen An den Endpunkten muss der y-wert angenommen werden, und damit sind 4n Bedingungen gefunden, dh die Spline-Kurve ist nicht vollständig definiert; zwei Freiheitsgrade bleiben p i (x i ) = y i i = 0; 1; n Interpolationsbedingungen p i (x i ) = p i 1 (x i ) p i (x i) = p i 1 (x i) p i (x i) = p i 1 (x i = 1; n 1 Anschlussbedingungen (34) der Polynome p i an p i 1 i) Man kann die zweite Ableitung an den Endpunkten Null setzen und erhält so eine natürliche Splinekurve p n (x n ) = a n S (x 0 ) und S (x n ) ist die Tangente p (35) n(x n ) = c n an den Graphen von S (x) Alternativ kann die erste Ableitung an den Endpunkten vorgegeben werden, um eine Funktion zu approximieren So ergibt sich ein Gleichungssystem mit 4n Gleichungen für 4n + Unbekannte Die fehlenden beiden Gleichungen werden durch Vorgabe der Randbedingen abgedeckt p 0 (x 0) = 0 p n(x n ) = 0 Randbedingungen (36) 80

21 3 INTERPOLIERENDE POLYNOMTEILSTÜCKE (SPLINE) Dieses Gleichungssystem kann nach den bekannten Methoden gelöst werden In der Regel ist die Lösung dieses Gleichungssystems aufwendig, so dass nicht nur Gesamtschritt- sondern auch iterative Verfahren (siehe Abschnitt 13 Lösungsmethoden von Gleichungssystemen, Seite ) angewandt werden müssen Wie unten gezeigt wird, kann aber bei Benutzung eines bestimmten Schemas ein tridiagonales Gleichungssystem erzeugt werden, welches mit wenig Aufwand gelöst werden kann Rechenschema Sind n + 1 Stützstellen x i mit i = 0; 1; n mit den Schrittweiten h i = x i+1 x i und den n + 1 Stützwerten y i mit i = 0; 1; n gegeben (zb als Messwertreihe), so kann zur Interpolation mittels kubischer Spline-Funktionen n 1 S(x) p i (x) i=0 p i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i (x x i ) 3 (37) mit n Teilfunktionen für die Geltungsbereichen x i x x i+1 folgendes Berechnungsschema (siehe Gleichungen 34 bis 36) verwendet werden Schritt Berechnung Gültigkeitsbereich 1 a i = y i i = 0 1 n c 0 = c n = 0 3 h i 1 c i 1 +(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 h i (a i1 a i ) 3 h i1 (a i a i 1 ) i = 1 n Bemerkung Aus Gleichung 34 Interpolationsbedingung p i (x i ) = y i, für alle Stützstellen Für natürliche Splines gilt S (x 0 ) = S (x n ) = 0 p (x) = c i + 6d i (x x i ) p (x 0 ) = c 0 = 0 p (x n ) = c n = 0 Aus Gleichung 34 Anschlussbedingungen p i+1 (x i+1 ) = p i (x i+1 ) 4 b i = 1 h i (a i1 a i ) h i 3 (c i1 c i ) i = 0 1 n p i+1 (x i+1) = p i (x i+1) 5 d i = 1 3h i (c i+1 c i ) i = 0 1 n p i+1 (x i+1) = p i (x i+1) Die Gleichung im 3 Schritt der Tabelle stellt ein lineares Gleichungssystem von n 1 Gleichungen für die Unbekannten c 1 ; c ; c n 1 dar In der Matrixschreibweise besitzt es die Form: A C = R (38) 81

22 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN (h 0 + h 1 ) h 1 h 1 (h 1 + h ) h h (h + h 3 ) h 3 A = h n 3 (h n 3 + h n ) h n h n (h n + h n 1 ) (39) 3 (a a 1 ) 3 (a 1 a 0 ) h 1 h 0 3 (a 3 a ) 3 (a a 1 ) h h 1 3 (a R = 4 a 3 ) 3 (a 3 a ) h 3 h 3 (a n 1 a n ) 3 (a n a n 3 ) h n h n 3 3 (a n a n 1 ) 3 (a n 1 a n ) h n 1 h n C = c 1 c c 3 c n c n 1 (330) (331) Die Matrix A ist tridiagonal, symmetrisch, diagonaldominant, positiv definit und besitzt nur positive Elemente Damit ist diese Matrix stets invertierbar und stets eindeutig lösbar Als Lösungsmethode kann vorteilhafter Weise der GAUSSsche Algorithmus für tridiagonale Matrizen (siehe Abschnitt 131 Lösungen von Gleichungssystemen, GAUSSscher Algorithmus, Seite 4) benutzt werden 8

23 3 INTERPOLIERENDE POLYNOMTEILSTÜCKE (SPLINE) Beispiel zur Anwendung der Splinefunktion: Folgende Messwerte sind als Stützstellen und -werte gegeben i x i y i Für diese 5 Wertepaare soll eine natürliche kubische Spline-Funktion gefunden werden Nach der Definition der Spline-Funktionen werden durch die 5 Wertepaare 4 Teilfunktionen i = 1; ; 3; 4 p i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i (x x i ) 3 mit einem jeweiligen Geltungsbereich von x i x x i+1 gesucht Entsprechend des Rechenschemas werden folgende fünf Schritte ausgeführt Schritt Berechnung Ergebnis 1 a i = y i c 0 = c 4 = 0 (h 0 + h 1 ) h 1 0 c 1 h 1 (h 1 + h ) h c 0 h (h + h 3 ) c 3 3 (a a 1 ) 3 (a 1 a 0 ) h 1 h 0 3 = (a 3 a ) 3 (a a 1 ) h h 1 3 (a 4 a 3 ) 3 (a 3 a ) 3 h 3 h ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) b i = 1 h i (a i+1 a i ) h i 3 (c i+1 c i ) 5 d i = 1 3h i (c i+1 c i ) c 1 c c 3 a 0 = 0 5 a 1 = 0 8 a = 1 0 a 3 = 0 8 a 4 = 0 5 c 0 = 0 c 4 = 0 c 1 = c = 1 09 c 3 = b 0 = b 1 = b = b 3 = d 0 = d 1 = d = d 3 =

24 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Damit ergeben sich nach Gleichung 33 folgende Teil-Spline-Funktionen: p i (x) := a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) + d i (x x i ) 3 Teil-Spline-Funktion p 0 (x) = (x + 1) (x + 1) 3 p 1 (x) = (x + 0 5) 0 043(x + 0 5) (x + 0 5) 3 p (x) = x 1 09x x 3 p 3 (x) = (x 0 5) 0 043(x 0 5) (x 0 5) 3 Die Teil-Spline-Funktionen gelten jeweils auf dem Intervall x i x x i+1 Die grafische Darstellung des Splines zeigt Abbildung 36: Abbildung 36: Interpolierte Spline-Funktion Man erkennt, dass der Spline die ursprüngliche analytische Funktion y = 1 x + 1 sehr gut nachbildet Die maximale Abweichung zur analytischen Lösung beträgt ; dies entspricht 1 68% 84

25 33 Kriging-Verfahren Mit Kriging wird eine Familie spezieller Interpolationsverfahren bezeichnet, die auf folgendes Problem zielt: Die Probenahme an einem Ort liefert Informationen für bestimmte raumbezogene Punkte Es ist aber dadurch nicht bekannt, welche Werte für die zumessenden Variablen zwischen diesen Punkten vorliegen Kriging ist ein Verfahren, das ermöglicht, die Werte an Zwischenpunkten oder den Durchschnitt über einen gesamten Block zu berechnen Die verschiedenen Spezialverfahren basieren dabei alle auf der Bildung gewichteter Mittelwerte der raumbezogenen Variablen Blockschätzungen sind vorwiegend im Bergbau notwendig, während Punktschätzungen für Kartendarstellungen eingesetzt werden, was im Folgenden erläutert wird Die einzelnen Kriging-Verfahren unterscheiden sich entweder in der Art der zu schätzenden Zielgrößen oder in ihrer methodischen Erweiterung zur Einbeziehung zusätzlicher Informationen Zusätzliche Informationen über das räumliche Verhalten einer ortsabhängigen Variablen bestehen in der Kenntnis andere Messgrößen, die in Beziehung zu der betrachtenden Variablen stehen Bekannt in der hydrogeologischen Praxis sind zb korrelierende Wasserinhaltsstoffe oder zeitliche Wiederholungsmessungen von Grundwasserdruckhöhen Gemeinsam sind allen Kriging-Verfahren die folgenden Vorteile gegenüber anderen Interpolationsverfahren: Kriging liefert den besten Schätzwert Kriging bezieht die Kenntnis der räumlichen Struktur der Variablen, das Variogramm, in die Schätzung mit ein Die individuelle räumliche Anordnung des Messstellennetzes im Bezug auf das Interpolationsgitter wird berücksichtigt Die Zuverlässigkeit der Ergebnisse wird für jeden Schätzpunkt in Form des Kriging-Fehlers angegeben Beachte: Auch bei den Kriging-Verfahren muss beachtet werden, dass durch die mathematischen Verfahren keine Informationensgewinn erreicht werden kann Es wird nur der Informationsgehalt der Messwerte (Stützwerte) verarbeitet Dabei können durchaus Interpolationsergebnisse entstehen, die physikalischen Gesetzen widersprechen (z B Grundwasserisohypsen durch Vorfluter) Will man physikalisch korrekte Interpolationen erhalten, so ist eine feinquantisierte Simulation mittels physikalischer Modelle (z B Grundwasserströmungsmodelle) notwendig und sinnvoll Deshalb bieten derartige Simulationsprogramme interne Grafikroutinen zur Isolinienerzeugung an Peter-Wolfgang Gräber Systemanalyse in der Wasserwirtschaft

26 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN Abbildung 37: Darstellung des Kriging-Problems Um die Kriging-Verfahren zu verstehen, müssen folgende Begriffe aus der Geostatistik bekannt sein: 1 n Mittelwert m = Z a n a=1 z p (z) dz = m, Erwartungswert E [Z] = wobei p (z) die Dichtefunktion ist Varianz var (Z) = σ = E (Z E [Z]) = E (Z m) Kovarianz zweier Zufallsvariablen cov (Z i Z j ) = E [(Z i m i ) (Z j m j )] = σ ij Z i Z j Korrelationskoeffizient Variogramm ρ ij = h γ = σ ij 1 E σ i σ j Z x + h Z ( x ) Z ist eine ortsabhängige Zufallsvariable mit n bekannten Messwerten Z a Die Dichtefunktion p (z) ist ein Maß dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit Z den Wert z i annimmt Das Variogramm ist ein Maß für die Variabilität einer Zufallsfunktion, durch Berechnung der Ungleichheit zweier Werte, die Punkten mit Abstand den Vektor h entsprechen Dann kann das Kriging-Problem entsprechend Abbildung 37 dargestellt werden: Wir haben eine Anzahl von Messwerten Z ( x a ), wobei Z eine Zufallsvariable und x a die Messstellen eines Bereiches D sind Wir nehmen dann an, dass Z ( x a ) eine Untermenge der Zufallsfunktion Z ( x ) ist, die folgende Eigenschaften hat: 86

27 33 KRIGING-VERFAHREN Sie ist eine stationäre Funktion Ordnung, dh 1 der Erwartungwert ist konstant über dem Bereich D E Z x + h = E [Z ( x )] die Kovarianz zwischen zwei Punkten ist nur vom Vektor h abhängig, der diese Punkte verbindet: cov Z x + h Z ( h x ) = C Auf Grund dieser Annahmen wollen wir ein gewichtetes Mittel berechnen, um einen Schätzwert für die Stelle x 0 zu bekommen Der Kriging-Schätzer Z ( x 0 ) stellt eine Linearkombination gewichteter Probenwerte Z i und n benachbarter Punkte dar: Z ( n x 0 ) = λ i Z ( x i ) (33) i=1 Die Gewichte λ i sind so zu bestimmen, dass der Schätzwert Z ( x 0 ) des unbekannten wahren Wertes die folgenden Bedingungen erfüllt: 1 Z ( x 0 ) sei erwartungstreu, dh E [Z ( x 0 ) Z ( x 0 )] = 0 Der mittlere quadratische Fehler E [Z ( x 0 ) Z ( x 0 )] sei ein Minimum Unter der Annahme der Stationarität ist der Erwartungswert E [Z ( x i )] = m und Z ( x 0 ) = m Die Bedingung 1 (Erwartungstreue) liefert somit: n E λ i Z ( x i ) Z ( n n x 0 ) = λ i m m = m λ i 1 = 0 (333) i=1 i=1 Hieraus folgt, dass die Summe der Gewichte 1 sein muss Mit Hilfe des Variogramms kann der Erwartungswert des quadratischen Fehlers ausgedrückt werden: E [Z ( x 0 ) Z ( x 0 )] = var (Z ( x 0 ) Z ( x 0 )) (334) n = λ i γ ( x i n n x 0 ) λ i λ j ( x i x j ) γ ( x 0 x 0 ) i=1 i=1 j=1 n Um die Fehlervarianz unter der Nebenbedingung 1 λ i = 1 zu minimieren, wird ein LAGRANi=1 GE-Multiplikator µ eingeführt Dann wird folgende Funktion minimiert: n ϕ = var (Z ( x 0 ) Z ( x 0 )) µ λ i 1 Das Minimum erhält man durch Null-Setzen der partiellen Ableitungen φ (i = 1 n) und φ λ i µ Dies führt zu dem linearen Kriging-Gleichungssystem (KGS) mit n + 1 Gleichungen: n λ j γ ( x i x j ) + µ = γ ( x i x 0 ) für i = 1 n j=1 n λ j = 1 j=1 i=1 i=1 87

28 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN In Matrixform wird das KGS wie folgt geschrieben: γ ( x 1 x 1 ) γ ( x 1 x ) γ ( x 1 x n ) 1 γ ( x x 1 ) γ ( x x ) γ ( x x n ) 1 γ ( xn x 1 ) γ ( x n x ) γ ( x n x n ) λ 1 λ λ n µ = γ ( x 1 x 0 ) γ ( x x 0 ) γ ( x n x 0 ) 1 Dabei ist im Fall von Punktschätzungen γ ( x i x i ) = γ (0) = 0, dh die Diagonale ist mit Null besetzt h h h Da im stationären Fall die Beziehung γ = C (0) C gilt, kann γ im KGS durch die h Kovarianz C ersetzt werden Dadurch erhält die Diagonale der Matrix die größten Elemente In numerischer Hinsicht ist sie vorzuziehen und daher in den meisten Programmen verwirklicht Die Kriging-Schätzvarianz σk für Punktschätzungen ergibt sich aus obigen Gleichungen: σ K = var (Z ( x 0 ) Z ( x 0 )) = µ + n λ i γ ( x i x 0 ) (335) In einem Sonderfall, bei dem keine räumliche Abhängigkeit der Daten existiert, erhält man für die Gewichte λ i = 1 Der Kriging-Schätzer ist jetzt das einfache arithmetische Mittel der benachbarten n Proben Folgende Eigenschaften zeichnen den Kriging-Schätzer aus: Das KGS ist nur lösbar, wenn die Determinante der Matrix (γ ij ) = 0 ist Praktisch bedeutet dies, dass eine Probe nicht doppelt auftreten darf (dh mit identischen Koordinaten) Kriging liefert einen exakten Interpolator h h Das KGS hängt nur von γ bzw C ab, nicht jedoch von den Werten der Variablen Z in den Probenpunkten x i Bei identischer Datenkonfiguration braucht das KGS nur ein Mal gelöst zu werden Mit Hilfe des Schätzfehlers σ K können Vertauungsgrenzen der Schätzung angegeben werden In der Praxis ist eine Reihe von Kriging-Verfahren entwickelt und angewandt worden, die komplexere Situationen betrachten, zb instationäre Variablen, Raum-Zeit-Abhängigkeit usw i=1 88

29 34 Aufgaben Aufgaben zu 3: Interpolieren Sie die Aufgaben 1 und mittels der Verfahren: a) analytische Potenzfunktion b) LAGRANGEsche Interpolationsformel c) NEWTONsche Interpolationsformel d) Spline-Funktion 1 Für die Funktion der Normalverteilung y(x) = ex π, die auszugsweise tabelliert ist: x y(x) = ex π wird der Wert y(x) für x = 1 5 gesucht Interpolieren Sie die Funktion y= x für die Werte x = 1 03 und x = 1 6 an Hand der Tabelle x y = x Durch die drei Stützpunkte (1 ), ( 3), (3 1), ist eine ganze rationale Funktion möglichst niedrigen Grades zu legen Wie ändert sich diese Interpolationsfunktion, wenn man auch noch den Stützpunkt (4 4) dazunimmt? Peter-Wolfgang Gräber Systemanalyse in der Wasserwirtschaft

30 KAPITEL 3 INTERPOLATIONSVERFAHREN 90