Spline-Räume - B-Spline-Basen

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1 Spline-Räume - B-Spline-Basen René Janssens 4. November 2009 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

2 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Räume von Splinefunktionen Grundlegende Eigenschaften Eine erste Basis 2 Zweiter Abschnitt: B-Splines Rekursionsformeln für B-Splines Linearkombinationen von B-Splines Reproduktion von Polynomen René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

3 Einige Grundbegriffe Splines sind stückweise Polynome, die eine Kurve anhand gegebener Daten approximieren oder interpolieren sollen und gewisse Glattheitsbedingungen erfüllen. Die Bruchstellen ξ = (ξ 0,..., ξ l ) sind die Punkte, anhand derer der Spline bestimmt werden soll. Der Glattheitsvektor µ = (µ 0,..., µ l ) T regelt, wie glatt ein Stück der Kurve in das nächste übergehen muss, wobei ein höherer Wert eine niedrigere Glattheit bedeutet mit 1 µ j k 1, j = 1,..., l und µ 0 = µ l = 0. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

4 Definition: Spline-Raum (1.1) Definition: Spline-Raum Der Raum der Splines der Ordnung k mit Bruchstellen ξ = (ξ 0,..., ξ l+1 ) und Glattheit µ ist folgendermaßen definiert: Π k,µ,ξ := {f : [a, b] R f (ξj,ξ j+1 ) Π k 1, j = 0,..., l, f C k 1 µ j (ξ j 1, ξ j+1 ), j = 1,..., l} René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

5 Definition: Abgebrochene Potenz (1.2)Definition: Abgebrochene Potenz Eine abgebrochene Potenz ist definiert durch { ( ) m + : R R ; x+ m x = m, wenn x 0, 0, sonst. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

6 Grundlegende Eigenschaften (1.3)Bemerkung: Grundlegende Eigenschaften (i) Π k,µ,ξ ist ein linearer Raum. (ii) Π k 1 Π k,µ,ξ (iii) (x ξ j ) m + Π k,µ,ξ für k µ j m k 1 (iv) dim Π k,µ,ξ = k + l j=1 µ j René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

7 Eine erste Basis (1.4)Satz: Eine erste Basis Die Monome und abgebrochenenen Potenzen bilden eine Basis des Splineraums Π k,µ,ξ mit Koeffizienten a j und c jm aus R. Jedes S Π k,µ,ξ besitzt die eindeutige Darstellung k 1 S(x) = a j x j + j=0 l j=1 k 1 m=k µ j c jm (x ξ j ) m + René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

8 Veranschaulichung: B-Splines als Basis Abbildung: S(x) = 1 + x + 4 j=1 ( 1)j (x j) + und S(x) = 1 + 2x + 4 j=1 ( 1)j (x j) + René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

9 Veranschaulichung: B-Splines als Basis Abbildung: S(x) = 1 + x (x 0.5) + + (x 0.501) + und S(x) = 1 + x 10(x 0.5) (x 0.501) + René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

10 Die dividierten Differenzen (2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen Die dividierten Differenzen zu den Stützstellen x 0 x n zu einer Funktion f C n (R) besitzen folgende Eigenschaften: (i) [x 0,..., x n ]P = 0 für alle P Π n 1. (ii) Sei π : {0,..., n} {0,..., n} eine beliebige Permutation. Dann gilt [x 0,..., x n ]f = [x π(0),..., x π(n) ]f für alle f C n (R). (iii) Für x i x j gilt folgende Rekursionsformel [x 0,..., x n ]f = [x 0,..., x i 1, x i+1,..., x n ]f [x 0,..., x j 1, x j+1,..., x n ]f x j xi René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

11 Die dividierten Differenzen (2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen (Forts.) (iv) Für jedes f C n (R) gilt [x 0,..., x n ]f = f (n) (λ 0 x λ n x n )dλ 1... dλ n Σ n wobei Σ n := {(λ 0,..., λ n ) T : n j=0 λ j = 1, λ j 0 für j = 0,..., n} der n-dimensionale Standardsimplex ist. (v) [x 0,..., x }{{} 0 ]f = f (n) (x 0 ) n! n+1 (vi) [x 0,..., x n ]f = f (n) (x) n! für ein x [x 0,..., x n ] (konvexe Hülle der x i ) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

12 Die dividierten Differenzen (2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen (Forts.) (vii) [x 0,..., x n ](fg) = n j=0 ([x 0,..., x j ]f )[x j,..., x n ]g (Leibniz-Regel) (viii) Für x 0 < < x n gilt [x 0,..., x n ]f = n ni=0 j=0 i j f (x j ) x i x j (ix) Es existieren stets Konstanten α j = α j (x 0,..., x n ) mit d j = max{r; x j = x j+r }, so dass gilt [x 0,..., x n ]f = n α j f (d j ) (x j ) j=0 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

13 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (iv) Beweis per vollständiger Induktion: (IA): n=1: [x 0, x 1 ]f = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 1 x1 = f (ξ)dξ x 1 x 0 = 1 0 x 0 f (x 0 + t 1 (x 1 x 0 ))dt 1 (IV) Sei n N beliebig aber fest und es gelte die Beh. für dieses. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

14 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (Fortsetzung) (IS) n n + 1 [x 0,..., x n+1 ]f = [x 1,..., x n+1 ]f [x 0,..., x n ]f x n+1 x 0 = [x n+1, x 1,..., x n ]f [x 0,..., x n ]f x n+1 x 0 1 = x n+1 x 0 t tn 1 0 (f (n) (t 0 x n+1 + t 1 x t n x n ) f (n) (t 0 x t n x n ))dt 1... dt n René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

15 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (Fortsetzung) = = 1 x n+1 x 0 t tn 1 t0 x n+1 + +t nx n 0 t 0 x 0 + +t nx n (f (n+1) )(ξ)dξdt 1... dt n Σ n+1 (f (n+1) (t 0 x t n+1 x n+1 )dt 1... dt n+1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

16 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (Fortsetzung) (vii) Beweis per vollständiger Induktion: (IA): n=1: [x 0, x 1 ](fg) = (fg)(x 1) (fg)(x 0 ) x 1 x 0 = f (x 1)g(x 1 ) f (x 0 )g(x 1 ) + f (x 0 )g(x 1 ) f (x 0 )g(x 0 ) x 1 x 0 = [x 0 ]f [x 0, x 1 ]g + [x 0, x 1 ]f [x 1 ]g (IV) Sei n N beliebig aber fest und es gelte die Beh. für dieses. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

17 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (Fortsetzung) (IS) n n + 1 [x 0,..., x n+1 ](fg) = [x 1,..., x n+1 ](fg) [x 0,..., x n ](fg) x n+1 x 0 n+1 j=1 = [x 1,..., x j ]f [x j,..., x n+1 ]g x n+1 x 0 n j=0 [x 0,..., x j ]f [x j,..., x n ]g x n+1 x 0 n ([x 1,..., x j+1 ]f [x 0,..., x j ]f ) = x n+1 x 0 j=0 [x j+1,..., x n+1 ]g + + [x 0,..., x j ]f ([x j+1,..., x n+1 ]g [x j,..., x n ]g) x n+1 x 0 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

18 Die dividierten Differenzen Beweis zu (2.1) (Fortsetzung) = = n j=0 (x j+1 x 0 )[x 0,..., x j+1 ]f [x j+1,..., x n+1 ]g x n+1 x [x 0,..., x j ]f (x n+1 x j )[x j,..., x n+1 ]g x n+1 x 0 n+1 [x 0,..., x j ]f [x j,..., x n+1 ]g, j=0 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

19 Definition: B-Splines (2.2) Definition B-Splines Teilfolgen der Folge (a n ) n N sind Sei x i,..., x i+k mit x i < x i+k eine Anordnung von Knoten, dann definiere N i,k (t) := (x i+k x i )[x i,..., x i+k ]( t) k 1 + als den B-Spline k-ter Ordnung bezüglich x i,..., x i+k. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

20 Veranschaulichung: B-Splines Abbildung: B-Splines der Ordnung 1-3 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

21 Eigenschaften der B-Splines (2.3) Bemerkung: B-Spline Eigenschaften Die B-Splines besitzen folgende Eigenschaften: (i) supp N i,k [x i, x i+k ], d.h. N i,k (t) = 0 für t / [x i, x i+k ]. (ii) N i,k ist ein stückweises Polynome vom Grad höchstens k 1. Genauer: ist x i 1 < x i = = x i+d < x i+d+1, so gilt N i,k C k 2 d (x i 1, x i+d+1 ). Speziell ist N i,k C k 2 (x i 1, x i+1 ), falls x i 1 < x i < x i+1. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

22 Alternative Charakterisierung der B-Splines (2.4) Gleichung Es gilt 1 (k 1)! für alle f C k (R). N i,k (ξ)f (ξ)dξ = (x i+k x i ) f (λ 0 x i + + λ k x i+k )dλ 1... dλ k Σ n René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

23 Alternative Charakterisierung der B-Splines Herleitung zu 2.4 f (x) = k 1 j=0 (x x i ) j f (j) (x i ) + j! 1 (k 1)! x i (x ξ) k 1 + f (k) (ξ)dξ [x i,..., x i+k ]f (x) = = 1 [x i,..., x i+k ]( ξ) k 1 + (k 1)! f (k) (ξ)dξ x i 1 N i,k (ξ)f (k) (ξ)dξ (k 1)!(x i+k x i ) x i René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

24 Alternative Charakterisierung der B-Splines Herleitung zu 2.4 (Fortsetzung) (x i+k x i )[x i,..., x i+k ]f (x) = 1 (k 1)! 1 N i,k (ξ)f (k) (ξ)dξ (k 1)! N i,k (ξ)f (k) (ξ)dξ = (x i+k x i ) f (k) (λ 0 x i + + Σ n +λ k x i+k )dλ 1... dλ k René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

25 Nicht-Negativität der B-Splines (2.5) Bemerkung: Nicht-Negativität der B-Splines Die B-Splines sind nicht-negativ, d.h. N i,k (x) 0 für alle x R. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

26 Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines (2.6) Gleichung: Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines Für die erste Ableitung des B-Splines k-ter Ordnung zu den Knoten x i,..., x i+k gilt ( Ni,k 1 (x) Ṅ i,k (x) = (k 1) N ) i+1,k 1(x). x i+k 1 x i x i+k x i+1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

27 Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines Beweis zu (2.6) Ṅ i,k (x) = (k 1)(x i+k x i )[x ( i,..., x i+k ]( x) + k 2 [x = (k 1)(x i+k x i ) i+1,...,x i+k ]( x) k 2 ( ) Ni,k 1 (x) = (k 1) N i+1,k 1(x) x i+k x i+1 x i+k 1 x i ) + [x i,...,x i+k 1 ]( x) + k 2 x i+k x i René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

28 Rekursionsformel zur Auswertug eines B-Splines (2.7) Gleichung: Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines Für den B-Spline k-ter Ordnung zu den Knoten x i,..., x i+k gilt N i,k (x) = x x i N i,k 1 (x) + x i+k x N i+1,k 1 (x). x i+k 1 x i x i+k x i+1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

29 Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines Beweis zu (2.7) N i,k (x) = (x i+k x i )[x i,..., x i+k ]( x) k 1 + = (x i+k x i )[x i,..., x i+k ](( x) k 2 + ( x)) = (x i+k x i )((x i x)[x i,..., x i+k ]( x) k [x i, x i+1 ]( x)[x i+1,..., x i+k ]( x) k 2 + ) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

30 Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines Beweis zu (2.7) (Fortsetzung) N i,k (x) = (x i+k x i ) ( (x i x) [x i,..., x i+k 1 ]( x) k 2 + x i x i+k [x i+1,..., x i+k ]( x) k N i+1,k 1 (x) x i x i+k x i+k x i+1 ) = N i,k (x) = x x i N i,k 1 (x) + x i x + x i+k x i N i+1,k 1 (x) x i+k 1 x i x i+k x i+1 x x i N i,k 1 (x) + x i+k x N i+1,k 1 (x) x i+k 1 x i x i+k x i+1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

31 Rekursionsformeln für B-Splines (2.8) Beispiel Sei x i = 0, x i+1 = 0, x i+2 = 2. Bestimme N i,2 (1) und Ṅ i,2 (1) zu diesen Knoten. N i,2 (1) = N i,1(1) N i+1,1(1) = 1 2 χ [0,2)(1) = 1 2 Ṅ i,2 (1) = (2 1) N i+1,k 1(1) 2 0 = 1 2 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

32 Definition: S k (T ) (2.9) Definition: S k (T ) Sei T := {x i } n+k i=1, x i < x i+k für i = 1,..., n x 1 = = x k = a < x k+1 x n < b = x n+1 = = x n+k. Wir definieren den Raum S k (T ) als das lineare Erzeugnis der B-Splines k-ter Ordnung auf T: S k (T ) := span {N i,k : i = 1,..., n} René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

33 Gleichungen (2.10) Gleichung Es gilt für S S k (T ) n S(x) = c i N i,k (x) i=1 und insbesondere wegen der Lokalität der B-Splines j S(x) = c i N i,k (x), x [x j, x j+1 ). i=j k+1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

34 Gleichungen (2.11) Gleichung Es gilt für die l-te Ableitung von S S (l) (x) = (k 1)... (k l) n i=l+1 c (l) i N i,k l (x) mit c (l) i = { ci für l = 0 c (l 1) i c (l 1) i x i+k l x i für l > 0 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

35 Gleichungen Herleitung zu (2.11) S (l) (x) = (k 1)... (k l + 1) = (k 1)... (k l) = (k 1)... (k l) = (k 1)... (k l) n i=l n i=l+1 n i=l+1 n i=l c (l 1) i c (l 1) i Ṅ i,k l+1 (x) c (l 1) i ( Ni,k l (x) x i+k l x i c (l 1) i 1 x i+k l x i c (l) i N i,k l (x) N i,k l (x) N i+1,k l(x) x i+k l+1 x i+1 ) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

36 Gleichungen (2.12) Gleichung Es gilt für l k 1 S(x) = n i=1+l c [l] i N i,k l (x) mit c [l] i = c i für l = 0 x x i x i+k l x i c [l 1] i (x) + x i+k l x x i+k l x i c [l 1] i 1 (x) für l > 0 0 für x i+k l = x i René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

37 Gleichungen Herleitung zu (2.12) S(x) = = = = n i=l n i=l n i=l+1 n i=l+1 c [l 1] i N i,k l+1 (x) ( c [l 1] x xi i x ) i+k l+1 x N i+1,k l (x) x i+k l+1 x i+1 N i,k l (x) + x i+k l x i ( x xi c [l 1] i (x) + x ) i+k l x c [l 1] i 1 x i+k l x i x i+k l x (x) N i,k l i c [l] i N i,k l (x) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

38 Gleichungen (2.13) Gleichung Für l = k 1 in der letzten Rekursionsformel gilt wegen der Lokalität der B-Splines S(x) = c [k 1] i (x). René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

39 Ein N-A-artiges Schema (2.14) Ein N-A-artiges Schema Zur Berechnung der c [k 1] i (x) bietet sich also an: c j k+1 c j k+2 c [1] j k+2 (x) c j k+3 c [1] j k+3 (x) c[2] j k+3 (x) c j c [1] j (x) c [2] j (x)... c [k 1] j (x) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

40 Ein N-A-artiges Schema (2.15) Beispiel Sei k = 5 und T := {x i } 13 i=1 mit x 1 = = x 5 = 0, x 6 = 0, 2, x 7 = 0, 6, x 8 = 0, 9, 1 = x 9 = = x 13. Weiter sei S(x) = N 4,5 (x) + 4N 5,5 (x) + 3N 6,5 (x) + N 7,5 (x) + 8N 8,5 (x) Bestimme S(0, 95). René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

41 Ein N-A-artiges Schema (2.15) Beispiel (Fortsetzung) 1 4 0, ,95 1 = 3, , , , 25 1, 477 1, , 5 2, 875 2, 176 1, 929 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

42 Marsden-Identität (2.16) Marsden-Identität Es gilt für alle x [a, b), σ R (x σ) k 1 = = n k 1 (x i+j σ)n i,k (x) i=1 j=1 n ϕ i,k (σ)n i,k (x) i=1 mit k 1 ϕ i,k (x) := (x i+j σ). j=1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

43 Marsden-Identität Beweis zu (2.16) per Induktion nach k: Für k = 1 ist (x σ) 0 = 1 = n i=1 1 N i,1(x) wahr nach Definition. Annahme: Die Behauptung gilt bereits für l k 1 und wir zeigen, dass sie dann auch für l = k gilt n ϕ i,k (σ)n i,k (x) = i=1 = n ( x xi ϕ i,k (σ)+ x i+k 1 x i i=2 + x ) i+k 1 x ϕ i 1,k (σ) N i,k 1 (x) x i+k 1 x i n x x k 1 i (x i+j σ)+ x i+k 1 x i i=2 j=1 + x k 1 i+k 1 x (x i 1+j σ) N i,k 1 (x) x i+k 1 x i j=1 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

44 Marsden-Identität Beweis zu (2.16) n k 2 ( x xi = (x i+j σ) (x i+k 1 σ)+ x i+k 1 x i i=2 j=1 + x ) i+k 1 x (x i σ) N i,k 1 (x) x i+k 1 x i n = (x σ) ϕ i,k 1 (σ)n i,k 1 (x) i=2 = (x σ)(x σ) k 2 = (x σ) k 1 nach Induktionsannahme. Also ergibt sich die Behauptung. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

45 B-Splines und Polynome (2.17) Korollar Der Raum der Polynome vom Grad k 1 auf [a, b] ist in dem von den B-Splines aufgespannten Raum enthalten Π k 1 [a, b] S k (T ). René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

46 B-Splines und Polynome Beweis zu (2.17) Mit der Marsden-Identität gilt n i=1 ( ) ϕ (l) d l i,k (0)N i,k(x) = (x σ) k 1 σ=0 = (k 1)... (k l)x k l 1 ( 1) l dσ (k 1)... (k l)x k l 1 ( 1) l = n i=1 n i=1 ( 1) k m 1 (k 1)... (m + 1) ϕ(k m 1) i,k (0)N i,k (x) = x m für m = k l 1 mit l k 1, also 0 m k 1. ϕ (l) i,k (0)N i,k(x) René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

47 Zerlegung der Eins (2.18) Korollar: Zerlegung der Eins Mit x R bilden die B-Splines eine Zerlegung der Eins Beweis zu (2.18) Mit n N i,k (x) = 1. i=1 ( 1) k 1 (k 1)! ϕ(k 1) i,k (0) = ( 1)k 1 (k 1)! (( 1)k 1 σ k ) (k 1) = 1 eingesetzt in die Darstellung der Monome aus dem Beweis zu Korollar (2.17) für m = 0 folgt die Behauptung. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

48 B-Splines und Polynome (2.19) Satz Die N i,k sind lokal linear unabhängig, d.h gilt n c i N i,k (x) = 0 für x (c, d) [a, b], i=1 dann folgt c i = 0 falls (c, d) (x i, x i+k ). René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

49 B-Splines und Polynome Beweis zu (2.19) (c, d) enthalte keine Knoten. Polynome vom Grad kleiner k lassen sich durch B-Splines darstellen auf (c, d). Es verschwinden alle B-Splines auf (c, d) bis auf k Stück. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

50 B-Splines als Basis (2.20) Satz Betrachte a = ξ 0 < < ξ l+1 = b mit Glattheitsvektor µ = (µ 1,..., µ l ) T, µ j k 1 und erweiterter Knotenfolge T gemäß x 1 = = x k = ξ 0, x k+1 = = x k+µ1 = = ξ 1,..., x k+µ1 + +µ l +1 = = x 2k+µ1 + +µ l = ξ l+1 Dann gilt Π k,µ,ξ = S k (T ), d.h. die B-Splines der Ordnung k spannen den Raum der Splines Π k,µ,ξ auf. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

51 Grundlegende Eigenschaften (Wiederholung) (1.3)Bemerkung: Grundlegende Eigenschaften Für den Raum der Splines der k-ten Ordnung gilt (iv) dim Π k.µ,ξ = k + l j=1 µ j. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

52 B-Splines als Basis Beweis zu (2.20) Die B-Splines sind im Raum der Splines enthalten. dim S k (T ) =dim Π k,µ,ξ. René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

53 Veranschaulichung: B-Splines als Basis Abbildung: Veränderung der Kurven bei Veränderung der Koeffizienten in der B-Spline-Basis René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56

54 Veranschaulichung: B-Splines als Basis Abbildung: Die eingebaute Glattheit René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November / 56