Computergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!

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1 Coputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2! Historie, Überblick, Beispiele Begriffe und Grundlagen Objekttransforationen Objektrepräsentation und -Modellierung Sichttransforationen Kurven und Flächen Rendering und Visibilität Radiosity Mapping-Techniken Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.1

2 5.4.1 Tensorprodukt-Flächen Definition Tensorprodukt-Flächen sind paraetrische Flächen, d.h. Abbildungen von eine Bereich des (Paraetergebiet) in den : Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.2

3 5.4.1 Tensorprodukt-Flächen Definition (Forts.) Zwei unabhängige Folgen von Basisfunktionen zur Darstellung von paraetrischen Kurven: n { φi} i=, { ψ j} j= Raukurven dargestellt it Basis { φ } i i = c j = i= ( s) c φ( s) Kontrollpunkte für Darstellung it Basis { } n von eine Paraeter s abhängen. ij ψ j j =, die n n = j j ij i j j= i= j= f ( s, t) c ( s) ψ ( t) = c φ ( s) ψ ( t) Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.3

4 5.4.1 Tensorprodukt-Flächen Definition (Forts.) Tensorprodukt-Fläche n = i= j= f ( s, t) c φ ( s) ψ ( t) it Koeffizientenatrix c ij. ij i j Konstruktion entspricht 1. Auswerten einer Kurvenschar nach s: c j = ij i i= ( s) c φ ( s) 2. Flächenkurve it Koeffizienten c j (s) nach t auswerten: n = j= f ( s, t) c ( s) ψ ( t) j j Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.4

5 5.4.1 Tensorprodukt-Flächen Definition (Forts.) Reihenfolge von s und t kann vertauscht werden: 1. Kurvenschar nach t auswerten und dann 2. eine Flächenkurve nach s auswerten. Produkte ϕ i und ψ j bilden eine Basis vo Bi-Grad (,n). Der totale Grad ist + n. Für = n bezeichnet an die Fläche als bilinear, biquadratisch, bikubisch, etc. Die Monobasis einer bilinearen Fläche besteht aus den Polynoen {1,s,t,st}. I biquadratischen Fall besteht die Monobasis aus {1,s,s²,t,st,s²t,t²,st²,s²t²} Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.5

6 5.4.2 Lagrange-Flächen Lagrange-Flächen Interpolierende Fläche zu gegebener von Kontrollpunkten: Tensorprodukt aus den Lagrangepolynoen Die Kurvenscharen n = i= j= n f ( s, t) c L ( s) L ( t) liegen exakt auf der Fläche. ij i j = n n j ij i ( s), c i( t) = cij j i= j= n-matrix c ( s) c L L ( t) Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.6

7 5.4.2 Lagrange-Flächen Beispiel: = 3, n = 2: Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.7

8 5.4.3 Bézier-Flächen Bézier-Tensorprodukt-Flächen Das Tensorprodukt zweier Bézierkurvendarstellungen liefert eine Bézier-Tensorprodukt-Flächendarstellung. 1. Kurvenschar X j, definiert durch die Kontrollpunkte b ij : X j b ij i i= ( s) = B ( s), j =,..., n 2. Diese Kurvenschar liefert Kontrollpunkte n j := X j (s) für eine weitere Bézier-Kurve (Flächenkurve) it eine zweiten Paraeter t: n n n n j j t bij Bi ( ) j j= j= i= X ( s, t) = b B ( ) = s B ( t) Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.8

9 5.4.3 Bézier-Kurven Beispiel: = 3, n = 2: Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.9

10 5.4.3 Bézier-Kurven Beispiel: = 3, n = 2: Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG 5.4.1

11 5.4.3 Bézier-Kurven Eigenschaften von Bézier-Tensorprodukt-Flächen Konvexe Hülle Das Flächensegent liegt in der konvexen Hülle des definierenden Netzes (aufgrund sukzessiver Konvex- Kobinationen des de Casteljau-Algorithus). Affine Invarianz Pseudo-lokale Kontrolle Der Bézier-Punkt b ij hat den größten Einfluss auf das Segent bei i j ( s, t ) = (, ) n Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

12 5.4.3 Bézier-Flächen Eigenschaften von Bézier-Tensorprodukt-Flächen Randinterpolation Die Eckpunkte des Bézier-Netzes und die Eckpunkte des Flächensegents stien überein. Die Randpunkte des Netzes sind die Bézier-Punkte der Randkurven des Flächensegents. Die beiden Randkurven der Schar sind Randkurven der Fläche. Die inneren Kurven der Schar sind i.a. keine Flächenkurven Isoparaeterlinien Flächenkurven der Art X(s,t ), X(s,t) it Konstanten s, t heißen Isoparaeterlinien. Sie sind Polynoe vo Grad bzw. n. Gilt nicht für diagonale Flächenkurven X(at+b,ct+d) it Konstanten a, b, c, d, die i.a. vo Grad + n sind. Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

13 5.4.3 Bézier-Flächen Eigenschaften von Bézier-Tensorprodukt-Flächen de Casteljau-Algorithus Zu effizienten Auswerten einer Bézier-Tensorprodukt- Fläche wird der de Casteljau-Algorithus zeilen- und spaltenweise angewendet. Die Schritte nach s und t können beliebig geischt werden: bij = b ij Beliebige Reihenfolge k+ 1, l kl kl bij = (1 s) bij + s bi + 1, j n bis b, 1 erreicht ist k l+ kl kl bij = (1 t) bij + t b i, j+ 1 X ( s, t) = b n Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

14 5.4.3 Bézier-Flächen Beispiel: = n = 2 Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

15 5.4.3 Bézier-Flächen Eigenschaften von Bézier-Tensorprodukt-Flächen Partielle Ableitungen n X X s ( s, t) : = = bij B i, ( s) B j, n( t) s i= j= n X X t ( s, t) : = = b ijbi, ( s) B j, n( t) t i= j= liefert ebenfalls der de Casteljau-Algorithus: 1, n 1, n X = ( b b ) s 1, n 1, n 1 X t = n( b1 b ) Zu Rendern der Flächen wird die Flächennorale benötigt: X s X t N = X X s t Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

16 5.4.4 Interpolation it Bézier-Flächen Interpolation it Bézier-Tensorprodukt-Flächen Gegeben: Interpolationspunkte p ij, i =,,; j =,,n it Paraetern (s i,t j ). Die Paraetrisierung ist also durch zwei Knotenvektoren gegeben, nicht durch eine beliebige Matrix von Stützstellen. Gesucht: Interpolierende Bézier-Tensorprodukt-Fläche Lösung: n f ( s, t) = b B ( s) B ( t) it f ( s, t ) = p i= j= ij i j i j ij Die entsprechenden Kurvenalgorithen verwenden. Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

17 5.4.4 Interpolation it Bézier-Flächen Interpolation it Bézier-Tensorprodukt-Flächen 1. Konstruiere Schar von Interpolationskurven j ( s) ij i j ( i ) ij i= a = a B ( s), a s = p, ( j =,..., n) Die inneren Bézier-Punkte werden über ein lineares Gleichungssyste bestit it derselben Matrix für alle j. Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG

18 5.4.4 Interpolation it Bézier-Flächen Interpolation it Bézier-Tensorprodukt-Flächen 2. Die Punkte a ij spaltenweise interpolieren, u die Bézier-Punkte b ij der Fläche zu berechnen: = n n i ij j i j ) ij j= b ( t) b B ( t), b ( t = a, ( i =,..., ) Die durch b ij beschriebene Fläche interpoliert die Punkte p ij. Beweis: f ( s, t ) b B ( t B n n k l = ij j l ) i ( sk i= j= = a B ( s ) = a ( s ) = i= il i k l k kl ) p Achtung! Kapitel ist relevant für Coputergrafik 2! CG