Computer-Graphik I Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten

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1 lausthal omputer-raphik I Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Verallgemeinerungen der baryzentr. Koord. 1. Was macht man im 2D bei (konvexen) Polygon mit k > 3 Ecken? 2. Analog: was macht man im nd bei k > n+1 Ecken 3. Was macht man bei nicht konvexen ebieten? 4. Was macht man, falls das ebiet nicht durch Polygonzug (stückweise lineare Kurve) beschränkt ist, sondern durch ine glatte, geschlossene (konvexe) Kurve?. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 2 1

2 Literatur Siehe die Papers auf der Vorlesungs-Homepage! Unter "Online-Literatur". Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 3 Verallg. baryzentrische Koord. für k>3 im 2D Definition: Sei ein konvexes Polygon im, gegeben durch n Punkte, in W Anordnung ( counter-clockwise ). Eine Menge von Funktionen heißt baryzentrische Koordinaten, wenn für alle folgende Bedingungen gelten: 1. Teilung der Eins (partition of unity): 2. Lineare Präzision (linear precision): 3. Konvexe Kombination:. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 4 2

3 Weitere wünschenswerte Eigenschaften: Schönes Verhalten außerhalb von lattheit: soll aus sein Affine Invarianz. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 5 Interpolationseigenschaft Satz: Solche verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten haben die Interpolationseigenschaft. D.h.: seien in den Datenwerte f i gegeben, so ist die Funktion tatsächlich interpolierend (und nicht etwa approximierend), d.h.. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 6 3

4 Beweis Zu zeigen ist: 1. Wegen Eigenschaften 1 & 2 kann man alle linearen Funktionen reproduzieren. Denn: Sei f(p) solch eine lineare Funktion. Dann ist: Eig. 2 (lin. prec.) Eig. 1 (Teilung der Eins). Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 7 2. Definiere Ebene l(p) so, daß l(p) Das geht, da Ω ein konvexes Polygon. P 1 3. Aus (1.) folgt l wurde speziell gewählt, so daß l( ) > 0 l(p 1 ) = 0 4. Wegen Eigenschaft 1 ist. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 8 (3.) 4

5 Triviale Lösungen Trianguliere das Polygon (irgendwie) Bestimme baryzentrische Koordinaten bzgl. des Dreiecks, in dem liegt Probleme: Die Triangulierung ist nicht eindeutig - Die verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten sind nicht eindeutig Die baryzentrischen Koordinaten sind nur -stetig Fortsetzung für außerhalb des Polygons ist nicht klar. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 9 Konstruktion verallg. baryzentr. Koordinaten Ziel: baryzentrische Koord. für beliebige, konvexe Polygone in 2D Beobachtung: wegen gilt Hat man Funktionen w i = w i (), für die gilt, so kann man daraus leicht echte baryzentrische Koordinaten machen, indem man setzt Suche also im Folgenden w i, die die Bedingungen (1) & (2) erfüllen.. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 10 5

6 Notation +1 Flächeninhalte: r i+1 A i α i α i-1 r i A i-1 r i Achtung: setze Vorzeichen von B i negativ, falls außerhalb +1 B i +1 α i + α i-1 i Indizes: im Folgenden sind alle Indizes "modulo n" gemeint, d.h. B i -1 und somit -1. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 11 Erinnerung: Im Dreieck sind A i, B i, A i-1 baryzentrische Koordinaten, d.h. A i +1 Ai-1 B i -1 Also: Homogene baryzentrische Koordinaten. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 12 6

7 wi 11/21/07 Betrachte jetzt der Reihe nach alle Dreiecke Ansatz: bilde ein gewichtetes Mittel der (homogenen) baryzentrischen Koordinaten bzgl. jedes dieser Dreiecke: wobei die beliebige Funktionen sein dürfen (zunächst). Jeder Vertex ist also an 3 baryzentrischen Koordinaten "beteiligt" A i-2 B i A i+1. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 13 Behauptung 1: Diese erfüllen die Bedingung (1) aus der Definition für baryzentrische Koordinaten A i+1 A i-2 B i Beweis:. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 14 7

8 Behauptung 2: Falls das Polygon konvex ist und dann ist für alle aus dem Inneren des Polygons. Beweis:. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 15 Bemerkung: Damit klappt dann auch die Normierung von w i auf. Achtung: garantiert noch nicht w i > 0! Erinnerung: w i > 0 benötigt man für Bedingung (2) aus der Definition Ziel: suche nun nach geeigneten, so daß w i > 0 und. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 16 8

9 Einige Kandidaten Naiver Ansatz: wähle +1 Damit wäre i Leider ist nicht garantiert Folge: die Interpolationseigenschaft gilt nicht -1 Wachspress-Koordinaten: wähle Damit ist Nachteil: sie verhalten sich in einem nicht-konvexen Polygon unschön, da werden kann, d.h. die haben dort eine Polstelle. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 17 Der beste Kandidat (zur Zeit) [ca. 2000] Mean Value oordinates (MVs): +1 Wähle A i Damit ist r i A i-1 Mit einigen trigonometrischen Umformungen: +1-1 Behauptung: die MVs sind baryzentrische Koordinaten für alle aus dem Inneren des Polygons Klar, denn: wenn im Inneren alle und alle w i > 0 r i α i α i-1-1. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 18 9

10 Erweiterung auf nicht-konvexe ebiete Lemma (ohne Beweis): Sei ein konvexes Polygon gegeben. Bezeichne die baryzentr. Koord. eines Punktes bzgl. mit w i, i=1 n. werde nun durch Einfügen eines Punktes verfeinert. Bezeichne dieses verfeinerte Polygon mit. Bezeichne die baryzentr. Koord. von bzgl. mit, i=1 n+1. Es gilt: Konsequenz: damit sind auch die für wohl definiert. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 20 Satz: Sei ein beliebiges, einfaches Polygon. Für alle, die nicht auf dem Rand des Polygons ist liegen, Beweis: Annahme: im Inneren von Zeichne Strahlen von durch die Ecken von Verfeinerung von Nenne die Verfeinerung wieder, und dessen Ecken P 1,,P n. +1 P j P j+1. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 21 10

11 Klassifiziere Kanten in "Entry-Kante" (rot) oder "Exit-Kante" (grün) - Entweder gemäß Umlaufsinn; oder gemäß Strahl von aus Beobachtung: Zu jeder Entry-Kante gibt es eine (näher gelegene) Exit-Kante +1 P j P j+1 Definiere für jede Kante +1 den Wert wobei die Winkel α i mit Vorzeichen gemäß Umlaufsinn behaftet sind.. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 22 Man sieht sofort: (Die Summanden sind nur etwas anders zusammengefasst, und es fehlt der Faktor 1/2 bei den r i. ) Klar ist: falls Kante +1 Exit-Kante k i > 0 Entry-Kante k i < 0 Sei +1 eine Entry-Kante Dann existiert dazu eine Exit-Kante P j P j+1, die näher an liegt Für deren Winkel gilt Für die Abstände gilt und. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 23 11

12 Damit gilt D.h.: zu jedem k i einer Entry-Kante gibt es ein k j einer Exit-Kante, so dass k i + k j > 0 Also ist und damit auch für alle im Inneren von. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 24 Auch für nicht-konvexe Polygone kann man weiterhin zeigen, daß die mean value coordinates die Eigenschaft haben, daß: auch für auf dem Rand des Polygons wohl-definiert sind; ;, außer an den P j, wo sie nur sind. Achtung: Bei nicht-konvexen Polygonen können die Inneren negativ werden! natürlich auch im. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 25 12

13 Implementierung Praktische Berechnung des : +1 p i+1 p i Also: Falls, dann liegt auf der Kante; Spezialbehandlung: 1. = oder = Sonst: linear zwischen und +1 interpolieren. Zachmann omputer-raphik 1 - WS 07/08 Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten 26 13