Triangulierung von einfachen Polygonen

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1 Triangulierung von einfachen Polygonen - Seminarvortrag von Tobias Kyrion - Inhalt: 1.1 Die Problemstellung Quellenangabe

2 1.1 Die Problemstellung Definition Polygon: endlich viele paarweise verschiedene Eckpunkte P 1,..., P n R 2, n N Seiten: Verbindungsstrecken P i P i+1, i = 1,..., n 1 und P n P 1 einfach: Die Seiten schneiden sich paarweise nicht. Sinnvoll: eine Orientierung der Seiten Im Folgenden seien diese immer im Uhrzeigersinn angeordnet.

3 Beispiel 1.1: kein einfaches Polygon Beispiel 1.2: einfaches orientiertes Polygon

4 Definition Diagonale: Verbindungsstrecke von zwei Eckpunkten P k, P l, k, l {1,..., n}, k l, die selbst keine Seite ist, keine andere Seite schneidet und vollständig im Inneren des Polygons verläuft Letzteres bedeutet: Durch Einfügen der Diagonale wird das Polygon in zwei kleinere disjunkte Teilpolygone zerlegt. Die Diagonale ist dann jeweils eine Seite dieser Teilpolygone, welche beide auch einfach sind.

5 Für einfache Polygone existiert mindestens eine Diagonale. Dreiecke sind offenbar Polygone mit kleinstmöglicher Eckenanzahl, die einfach sind und in die man keine Diagonale mehr einsetzen kann. Induktiv beweist man somit, dass für jedes einfache Polygon eine Zerlegung in Dreiecke konstruierbar ist.

6 Solch eine Zerlegung nennt man Triangulation. Problemstellung: Bestimme Triangulation nur durch Hinzunahme von Diagonalen. Beachte: Neue Diagonalen dürfen die bereits eingefügten nicht schneiden, denn es sollen keine inneren (Schnitt-)Punkte generiert werden. Außerdem: Eine Triangulation eines einfachen Polygons mit n N Eckpunkten besteht immer aus n 2 Dreiecken.

7 Wie erzeugt man nun algorithmisch eine Triangulation? Eine mögliche Realisierung bietet der sogenannte ear-clipping-algorithmus.

8 Definition Ecke: zwei (bzgl. der Orientierung) aufeinanderfolgende Seiten, also P i 1 P i P i+1, i = 2,.., n 1 und P n P 1 P 2, P n 1 P n P 1 Innenwinkel: Die Seiten einer Ecke P i 1 P i P i+1 umschließen am mittleren Punkt P i jeweils zwei Winkel (i = 2,.., n 1). In Durchlaufrichtung rechts von den Seiten P i 1 P i und P i P i+1 liegt der Innenwinkel. konvex: Ein konvexer Eckpunkt P i hat einen Innenwinkel kleiner als 180.

9 Definition Ohr: Ecke P i 1 P i P i+1, deren mittlerer Punkt P i konvex ist und bei der das Dreieck P i 1 P i P i+1 keinen von den übrigen Eckpunkten enthält (Entsprechendes definieren wir auch für die beiden Ecken P n P 1 P 2 und P n 1 P n P 1.) P i α P i 1 P i+1 Beispiel 2.1: einfaches Polygon mit Ohr P i 1 P i P i+1 und α < 180

10 Prinzip des ear-clipping-algorithmus: Bei einem Ohr P i 1 P i P i+1 ist die Strecke P i 1 P i+1 eine Diagonale. Durchlaufe solange die Eckpunkte, bis einer dieser als mittlerer Punkt eines Ohres identifiziert wird. Füge die zum gefundenen Ohr gehörende Diagonale ein - das Ohr wird dadurch vom Polygon abgetrennt. Das verbleibende Restpolygon besitzt nun einen Eckpunkt weniger als das Gesamtpolygon. Führe die vorigen Schritte iterativ für die jeweiligen Restpolygone aus, bis das letzte von denen nur noch drei Ecken besitzt.

11 0 P P 2 P 2 P 1 P 4 P 1 P 3 P 1 P 2 P 5 P 4 P 3 P 7 P 6 P 5 P 6 P 5 P P 1 P 1 P 4 P 2 P 3 P 3 Beispiel 2.2: ein Durchlauf des ear-clipping-algorithmus P 2

12 Zur Korrektheit: Alle einfachen Polygone besitzen mindestens ein Ohr. Nach Abtrennen eines Ohres ist das verbleibende Teilpolygon einfach - dieses besitzt somit auch ein Ohr. Bei jedem Abtrennen eines Ohres wird die Eckenanzahl n um 1 verkleinert, d.h. der Algorithmus terminiert nach n gesamt 3 Iterationen.

13 Zur Laufzeit: Prüfen, ob Punkt x in Dreieck abc liegt: O(1) Prüfen, ob aktuelle Ecke P i 1 P i P i+1 ein Ohr ist (liegt einer von den n 3 anderen Eckpunkten in P i 1 P i P i+1?): O(n 3) Die Laufzeitsumme aller Iterationen - also die Gesamtlaufzeit - beträgt höchstens: O( n k=4 (k 3)) = O(n2 ) Der ear-clipping-algorithmus besitzt folglich quadratische Laufzeit.

14 Frage: Gibt es schnellere Algorithmen zur Triangulation? Strategie, um die Laufzeit zu verbessern: 1. Zerlege das einfache Polygon in monotone Polygone, welche in diesem Abschnitt behandelt werden. 2. Trianguliere diese in Linearzeit, was im nächsten Abschnitt gezeigt wird.

15 Definition monoton: Sei g R 2 eine Gerade. Ein einfaches Polygon ist monoton bzgl. g, wenn die Schnittmenge aller Geraden, die orthogonal zu g verlaufen, mit der vom Polygon begrenzten Fläche entweder die leere Menge, ein Punkt, oder eine Strecke ist. Man nennt g dann auch die Monotonieachse. Beispiel 3.1: monotones Polygon mit Monotonieachse g g

16 Definition x-monoton bzw. y-monoton: Ein monotones Polygon ist x-monoton bzw. y-monoton, falls die x-achse bzw. die y-achse des kartesischen Koordinatensystems im R 2 seine Monotonieachse ist. Der nachfolgende Algorithmus zerlegt ein einfaches Polygon in x-monotone Teilpolygone.

17 Er funktioniert nach dem scan-line-prinzip: Lasse eine imaginäre zur y-achse parallele Gerade - die scan-line - von links nach rechts über das gesamte Polygon wandern. Verarbeite stets nur Punkte, die bereits links von der scan-line liegen. Speichere diese Punkte in einer priority-queue. Punkte mit größerer x-koordinate haben dabei höhere Priorität. Suchen, Einfügen oder Löschen von Punkten in der priority-queue ist in O(log(n)) Zeit möglich.

18 Wir stellen fest: Das Polygon besitzt: einen Eckpunkt P l, der von allen Eckpunkten am weitesten links liegt einen Eckpunkt P r, der von allen Eckpunkten am weitesten rechts liegt eine obere Kette (d.h. ein Streckenzug bestehend aus Seiten), die bei P l beginnt und bei P r endet eine untere Kette, die ebenfalls bei P l beginnt und bei P r endet

19 (Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass es keine zwei Eckpunkte mit gleichen y-koordinaten gibt.) Alle Eckpunkte der oberen Kette, außer natürlich P l und P r, liegen oberhalb der unteren Kette.

20 Wir wandern nun gleichzeitig entlang der oberen und unteren Kette von links nach rechts. Es kann dabei passieren, dass sich dabei die Durchlaufrichtung von rechts nach links oder links nach rechts ändert. Definition turn-vertex: Eckpunkt, an dem sich die Durchlaufrichtung ändert (d.h. sein Vorgänger und sein Nachfolger haben beide größere bzw. kleinere x-koordinaten als der turn-vertex)

21 Um den Algorithmus zu bewerkstelligen, unterteilen wir die Eckpunkte in 5 Typen - die ersten 4 davon sind turn-vertices: Definition start-vertex: Innenwinkel kleiner als 180, Nachbarn beide rechts end-vertex: Innenwinkel kleiner als 180, Nachbarn beide links split-vertex: Innenwinkel größer als 180, Nachbarn beide rechts merge-vertex: Innenwinkel größer als 180, Nachbarn beide links regular vertex: alle übrigen Eckpunkte

22 start end split merge regular Beispiel 3.2: die 5 Eckpunkttypen

23 Grundidee des Algorithmus: Ein einfaches Polygon ist x-monoton, falls es weder split- noch merge-vertices besitzt. Eliminiere also jeden split- oder merge-vertex durch Einfügen einer geeigneten Diagonale. Dadurch zerfällt das Polygon in zwei Teilpolygone. In beiden Teilpolygonen ist der ursprüngliche split- oder merge-vertex kein split- oder merge-vertex mehr.

24 Einfügen von Diagonalen bei split-vertices: Die scan-line erreiche nun einen split-vertex v i. Wir versuchen an v i eine Diagonale so einzufügen, dass ihr anderer Endpunkt ein Eckpunkt links von v i ist. Die scan-line schneidet das Polygon an zwei Seiten e k, e j unmittelbar oberhalb bzw. unterhalb von v i.

25 Definition helper(e j ): derjenige Eckpunkt in der priority-queue (d.h. links von der scan-line) mit maximaler x-koordinate, dessen Lot auf die Seite e j vollständig im Inneren des Polygons liegt Schließlich muss man nur noch die Diagonale zwischen v i und helper(e j ) einsetzen, um v i zu eliminieren.

26 helper(e j ) e k v i e j Beispiel 3.3: neue Diagonale bei einem split-vertex

27 Einfügen von Diagonalen bei merge-vertices: Der Endpunkt der Diagonale, die wir an einem merge-vertex v i einsetzen, muss rechts von v i liegen. Wir wählen ihn so, dass seine x-koordinate minimal ist. Problem: Wenn die scan-line v i erreicht, sind die Eckpunkte rechts von v i noch unbekannt.

28 Das Problem ist jedoch leichter, als es dem ersten Anschein nach ist: Die scan-line schneidet das Polygon wiederum an zwei Seiten e k, e j unmittelbar oberhalb bzw. unterhalb von v i und v i ist zudem der aktuelle helper(e j ). Die scan-line schreitet weiter nach rechts. Sobald ein neuer helper(e j ) gefunden wird, ist dieser der gesuchte rechte Endpunkt für die neue Diagonale.

29 Falls kein neuer helper(e j ) gefunden wird, so verbinde v i mit dem rechten Endpunkt von helper(e j ). Jedesmal, wenn der helper einer Seite aktualisiert wird, überprüfen wir, ob der alte helper ein merge-vertex war. Falls ja, wird die Verbindungsdiagonale eingesetzt.

30 Beispiel 3.4: vollständige Zerlegung in x-monotone Teilpolygone

31 Zur Korrektheit: Das Eliminieren von split- und merge-vertices durch Hinzufügen von Diagonalen liefert nur x-monotone Teilpolygone. Die helper-eigenschaft wird benutzt, damit sich die Diagonalen nicht schneiden.

32 Zur Laufzeit: Priority-queue-Operationen: O(log(n)) nötige Anzahl an priority-queue-operationen: O(n) Damit ergibt sich die Gesamtlaufzeit: O(n log(n))

33 Wir betrachten nun ein x-monotones Polygon. Es seien P l und P r wiederum die beiden Eckpunkte, die am weitesten links bzw. rechts liegen. Es besitzt auch eine obere und untere Kette, die beide bei P l beginnen und bei P r enden.

34 Wir stellen fest: Da das Polygon keine split- oder merge-vertices besitzt, sind die Ketten geordnet: Eckpunkte auf den Ketten haben stets kleinere x-koordinaten als ihre Nachfolger in den Ketten, wenn man von links nach rechts wandert.

35 Definition monotoner Berg: x-monotones Polygon, dessen obere oder untere Kette nur aus den Eckpunkten P l und P r besteht Definition monotoner Streifen: x-monotones Polygon, dessen Eckpunkte abwechselnd zur oberen oder unteren Kette gehören, wenn man sie nach der Größe ihrer x-koordinaten ordnet

36 Beispiel 3.5: monotone Berge Beispiel 3.6: monotoner Streifen, trianguliert

37 Monotone Berge kann man auf diese Weise triangulieren: Bestimme zunächst alle konvexen Eckpunkte in der längeren Kette und speichere sie in einem Stapel L. Jeder dieser konvexen Eckpunkte ist schon automatisch ein mittlerer Punkt eines Ohres. Entferne den obersten Eckpunkt P i aus dem Stapel und füge die zu seinem Ohr gehörende Diagonale ein. Aktualisiere entsprechend die Innenwinkel des linken und rechten Nachbarpunktes von P i.

38 Falls einer oder beide Nachbarpunkte nun konvex sind und sie nicht mit P l oder P r übereinstimmen, lege sie auf dem Stapel ab. Wiederhole diese Prozedur so lange, bis der Stapel leer ist.

39 0 P 2 P 3 1 P 2 P 3 P 1 P 4 P 1 2 P 2 3 P 1 P 1

40 4 5 P 1 P 1 6 Beispiel 3.7: Triangulierung eines monotonen Berges

41 Zur Korrektheit: Die Verbindungsstrecke vom linken und rechten Nachbarn eines konvexen Eckpunkts in der längeren Kette eines monotonen Berges ist eine Diagonale. Jeder monotone Berg besitzt in der längeren Kette mindestens einen konvexen Eckpunkt. Jedes Restpolygon ist auch ein monotoner Berg und besitzt somit auch mindestens einen konvexen Eckpunkt in seiner längeren Kette. In jeder Iteration wird demnach genau ein Ohr abgeschnitten.

42 Zur Laufzeit: Höchstens n 2 Eckpunkte befinden sich im Stapel. Initialisierung, d.h. prüfen jedes Eckpunktes auf Konvexität und belegen des Stapels: O(n) Entfernen eines Punktes und Einfügen der Diagonale: O(1) Gesamtlaufzeit (d.h. Initialisierung plus Zeit, bis der Stapel leer ist): O(n) Der Algorithmus besitzt also lineare Laufzeit.

43 Die Triangulierung eines monotonen Streifens ist trivial: Verbinde aufsteigend nach der x-koordinate abwechselnd die Eckpunkte aus der oberen und unteren Kette mit Diagonalen. Dieser Algorithmus ist offensichtlich korrekt und hat lineare Laufzeit.

44 Nun zu beliebigen monotonen Polygonen: Jedes monotone Polygon lässt sich in monotone Berge und Streifen zerlegen. Diese sind in Linearzeit triangulierbar. Man kann mit Hilfe dieser Zerlegung beliebige monotone Polygone in linearer Laufzeit triangulieren!

45 Beispiel 3.8: Zerlegung eines monotonen Polygons in Berge und Streifen

46 Initialisiere einen Stapel mit dem Eckpunkt P l. Verwende ferner die beiden Zählvariablen UpCntr und DownCntr vom Typ Integer, die mit dem Wert 0 initialisiert werden. Wandere gleichzeitig auf der oberen und unteren Kette von links nach rechts. Im Folgenden lege jeweils denjenigen nächsten Eckpunkt aus der oberen oder unteren Kette auf den Stapel, welcher die kleinere x-koordinate hat.

47 Ist dieser aus der oberen Kette, so erhöhe UpCntr um 1 und setze DownCntr gleich Null, andernfalls erhöhe DownCntr um 1 und setze UpCntr gleich Null Bevor UpCntr oder DownCntr gleich Null gesetzt werden, können folgende drei Fälle auftauchen: 1. UpCntr bzw. DownCntr = 0 (Initialisierung) 2. UpCntr bzw. DownCntr = 1 3. UpCntr bzw. DownCntr > 1

48 1. Fall: Nichts zu tun. 2. Fall: Die Verbindungsstrecke vom aktuellen Punkt und dem obersten Punkt auf dem Stapel ist eine Diagonale, die zu einem monotonen Streifen gehört. Füge diese ein und ersetze den obersten Punkt auf dem Stapel mit dem aktuellen. 3. Fall: Der aktuelle Punkt ist der rechte Endpunkt P r eines monotonen Berges, der aus den Punkten im Stapel besteht. Trianguliere diesen und leere anschließend den Stapel, bevor dort der aktuelle Punkt abgelegt wird.

49 Zur Korrektheit: Es ist klar, dass die monotonen Streifen direkt trianguliert werden. Der Algorithmus für die monotonen Berge ist korrekt, somit ist die Triangulierung jedes Teilberges ein korrekter Schritt.

50 Zur Laufzeit: Da die monotonen Streifen direkt trianguliert werden, ist die Triangulation aller Streifen insgesamt beschränkt durch: O(n) Das Polygon besitze j N Teilberge. Die Teilberge besitzen n 1,..., n j N Eckpunkte. Es gilt auf jeden Fall: j k=1 n k < 2n Laufzeit zur Triangulierung aller Berge: j k=1 O(n k) = O(n) Gesamtlaufzeit: O(n) Linear!

51 Quellenangabe M. de Berg, O. Cheong, M. van Krefeld, M. Overmars: Computational Geometry, Algorithms and Applications, p webpage/lec/24_triang_ii.pdf