Computergraphik. Kurze Wiederholung in Geometrie. G. Zachmann University of Bremen, Germany cgvr.cs.uni-bremen.de

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1 Computergraphik Kurze Wiederholung in Geometrie G. Zachmann University of Bremen, Germany cgvr.cs.uni-bremen.de

2 Vektoren Notation: in dieser VL schreiben wir Vektoren mit kleinen fetten Buchstaben: Betrag / Länge: Beweis: 2

3 Unterschied zwischen Punkten und Vektoren Notation: Punkte mit normalen Großbuchstaben Achtung: Punkt Vektor! Unterschiedliche Bedeutung: Punkt = Ort im Raum Vektor = Richtung + Länge = Verschiebungsoperator (wirkt auf Punkte) Merkregeln: Punkt + Vektor = Vektor + Vektor = Punkt - Punkt = Punkt + Punkt = Punkt Vektor Vektor (Notation: ) Nonsense! Korrespondenz zwischen Punkt und Vektor mittels Ursprungspunkt O : Q p heißt Ortsvektor P - Q P 3

4 Das erste (?) Koordinatensystem Alberti hat um 1450 Polarkoordinaten beschrieben und eine Karte von Rom in Form einer Tabelle der wichtigen Punkten der Stadt in seinem Buch Descriptio Urbis Romae veröffentlicht. Alberti hat auch Zylinder-Koordinaten beschrieben (in seinem Buch De Statua), und eine Vorrichtung, das finitorium, mit dem man Statuen "einscannen" und kopieren könnte. 4

5 Geometrische Interpretation der Vektor-Addition und Vektor-Subtraktion: Addition Subtraktion 5

6 Terminologie Orthogonal = senkrecht zueinander Drei Vektoren sind koplanar es gibt eine Ebene, die alle drei Vektoren enthält 6

7 Das Skalarprodukt (dot product) Definition: Eine geometrische Bedeutung: Beweis (2D): Sei θ a = Winkel zwischen a und x-achse Damit ist 7

8 <latexit sha1_base64="5cv+7enxwcx/iqtu2liiij2h66e=">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</latexit> <latexit 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1 Rb =(a T R T )(Rb) =(Ra) T (Rb) =a 0 b 0 = a 0 x a 0 y 0 0 b 0 x

9 Weitere geometrische Bedeutung des Skalarproduktes Die senkrechte Projektion: Mit anderen Worten: das Skalarprodukt mit einem Einheitsvektor lässt sich als senkrechte Projektion auf diesen Einheitsvektor interpretieren; d.h., falls dann ist 9

10 Darstellung eines Vektors bzgl. einer orthogonalen Basis Wähle eine Basis Berechne die Projektionen von a auf die Achsen: Rückgewinnung von a aus den Koordinaten (a 1, a 2, a 3 ): 10

11 Eine Konvention bei 3D-Koordinatensystemen x y z left handed system (Linkssystem) right handed system (Rechtssystem) Achtung: wir verwenden immer das rechtshändige Koordinatensystem! (außer, es steht etwas anderes da) 11

12 Ungleichungen Dreiecksungleichung: Schwarz'sche Ungleichung: 12

13 Das Kreuzprodukt (cross product) Definition in 3D: Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht Länge des Vektors = Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: α Nützlich zur Erstellung von Koordinatensystemen (dazu spä 13

14 Eselsbrücke: Rechte-Hand-Regeln a b c 14

15 Demo 15

16 Konstruktion eines Koordinatensystems Häufige Aufgabe: Ein Vektor a ist gegeben (z.b. Blickrichtung) Erstelle dazu eine Orthonormalbasis Nicht eindeutig, aber oft genügt irgendeine Orthonormalbasis Algorithmus: 1. Setze 2. Für u und v benötigen wir irgend einen Vektor t, der nicht kollinear zu w ist; z.b. setze t := w, und ersetze die betragsmäßig kleinste Komponente durch 1 3. Setze 16

17 Eigenschaften: (antikommutativ / schiefsymmetrisch) (distributiv) Es gilt die Jacobi-Identität: 17

18 Es gilt nicht die Assoziativität! Es gilt nicht das Auslöschungsgesetz! Zusammenhang zwischen den Beträgen von Kreuz- und Skalarprodukt: 18

19 Exkurs Das Kreuzprodukt lässt sich auch als Matrix-Vektor-Produkt schreiben Definiere dazu die zum Vektor a duale (schiefsymmetrische) Matrix a : 19

20 Die Darstellung mit schiefsymmetrischer Matrix hat viele Vorteile, u.a.: aber aber Fazit: bei der Schreibweise mit schief-symmetrischer Matrix a x gilt die Assoziativität! 20

21 Warum ist, aber trotzdem? Weil äquivalent zum Ausdruck ist, aber die Matrix verschieden ist von der Matrix Hintergrund: Beim Ausdruck wird die Matrix als konstant betrachtet und ist eine lineare Abbildung, die auf den (variablen) Vektor c wirkt Dasselbe gilt für den Ausdruck Ausdruck in den Koordinaten von c : wenn a konstant ist, ist das ein linearer Lineare Abbildungen, die hintereinander ausgeführt werden, ergeben wieder eine lineare Abbildung 21

22 Das Tripel-Kreuzprodukt FYI Zusammenhang zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt: Heißt auch "triple product expansion", "triple cross product identity" oder Graßmann-Identität oder Graßmannscher Entwicklungssatz Eselsbrücke: "ABC = BAC- CAB" ("erst backen, dann kappen") Oder: alle zyklischen Permutationen von A,B,C 22

23 Flächeninhalte Flächeninhalt eines Dreiecks: R b P Erweiterung: Flächeninhalt mit Vorzeichen a Q Achtung: dies ist eine reine Konvention / Definition sie ist in keiner Weise der Geometrie inhärent! (aber eine sehr praktische Konvention, macht aber so nur in 2D Sinn!) 23

24 Satz: Sei PQR ein Dreieck und S ein beliebiger Punkt in derselben Ebene. Dann gilt: Bezeichnung: = Viereck ( quadrangle, quadrilateral) 24

25 Beweis: Fall: S liegt im Inneren des Dreiecks Behauptung ist klar Also: S liege außerhalb des Dreiecks Annahme: Klar ist: Behauptung Plausibilitäts-Check: 25

26 Annahme: Dann ist und und Behauptung Falls S in einer der anderen Regionen liegt, folgt die selbe Behauptung durch Umbenennen der Ecken des Dreiecks 26

27 Der Flächeninhalt als Determinante: Beweisskizze: P, Q, R in einbetten mit jew. z = 0 Determinante vergleichen mit der z-komponente von 27

28 Definition (Ohr): Sei ein überschneidungsfreies Polygon in einer Ebene. Eine Ecke heißt "Ohr" gdw. die Strecke komplett im Inneren des Polygons liegt. Satz (ohne Beweis): Jedes überschneidungsfreie Polygon in einer Ebene hat mindestens 2 Ohren. Satz (Fläche eines Polygons): Für jedes geschlossene, überschneidungsfreie Polygon beliebigen Punkt P in der Ebene gilt: und einen 28

29 Beweis: Teil 1 Induktionsanfang: n = 3 Aus Satz auf Folie 27 29

30 Induktionschritt: n > 3 o.b.d.a. ist = Ohr (sonst die umnummerieren) Nun gilt: Induktionsvoraussetzung = Behauptung 30

31 Beweis Teil 2: betrachte alle Punkte als 3D-Punkte in der xy-ebene Wähle P = 0 Behauptung 31

32 Geometrische Prädikate (Tests) Ein geometrisches Prädikat ist eine Formel / ein Algorithmus, die erfüllt ist / "wahr" liefert, wenn eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllt ist. Beispiel: sind zwei Kanten und parallel? Lösungen: Beachte die numerische Robustheit! 32

33 Weiteres Beispiel: schneiden sich zwei koplanare Kanten? Das Prädikat: " und schneiden sich" kann man mathematisch so fassen: P S R Q und P Q S R 33

34 Konvexität Definition Konvexität (eine von vielen möglichen): Ein Gebiet ist konvex für alle die gesamte Linie ist. Bemerkung: Das Gebiet muß nicht beschränkt sein Die Aussage "ein Polygon ist konvex" meint eigtl., daß das von dem Polygon umschlossene Gebiet (inkl. Rand) konvex ist Aufgabe: stelle für ein gegebenes Polygon fest, ob es konvex ist z Lösung: berechne an jeder Ecke und teste Vorzeichen der z-komponente Voraussetzung: Polygon muss überschneidungsfrei sein y P i+1 P i-1 P i x 34

35 Das Spatprodukt Definition: w v u Englische Begriffe: scalar triple product, triple product, mixed product, 35

36 Geometrische Interpretation: Beweis: w h v φ u 36

37 Optional Erweiterung des Volumens um ein Vorzeichen: Vol(Spat) > 0 u, v, w bilden ein Rechtsystem Winkel zwischen (u v) und w < 90 w v u Bemerkung: w 37

38 Denksportaufgabe Wenn man einen Würfel in Tetraeder zerschneidet (= partitioniert), wieviele Tetraeder erhält man dann? 38

39 Das Volumen eines Tetraeders Optional Es gilt: D A w v C u B Bemerkung: so bekommen die Punkte A, B, C, D einen "Umlaufsinn"! Achtung: ein Dreieck im 3D hat keinen Umlaufsinn per se! 39

40 Koplanarität & Umlaufsinn im 3D Definition Umlaufsinn im 3D: Drei Punkte A, B, C erscheinen von einem vierten Punkt D aus entgegen dem Uhrzeigersinn C D Your task: check the signs! A B Koplanarität: Drei Vektoren a, b, c sind koplanar 40

41 Test auf Konvexität / Konkavität einer Kante eines Polyeders: 41

42 Wann liegt ein Punkt P im Inneren eines Tetraeders? Genau dann, wenn die Vorzeichen von alle gleich sind! A D P C B 42

43 Parametrische Geraden (parametric line) Definition einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: Interpretation: zu P(t) kommt man, indem man bei P 0 startet, und um t "Einheiten" auf der Geraden in Richtung P 1 geht 43

44 Häufige Aufgabe in CG Punkte, Farben, Höhen, etc., interpolieren Die Gerade ist eine lineare Interpolation im n dim. Raum, P i R n Erweiterung : stückweise lineare Interpolation Wähle Knotenvektor (t 0, t 1,, t n ) [ist evtl. schon gegeben] Zu jedem t i ist P i gegeben Um interpolierten Wert an der Stelle mit t [t i, t i+1 ] t [t 0, t n ], weiter mit P i, P i+1 wie vorhin zu bestimmen, bestimme i 44

45 Variante der stückweise lineare Interpolation im 1D Gegeben und yi könnte z.b. = Höhe, Rot-Kanal, o.ä. sein Gesucht y für Lineare Interpolation: 45

46 Ebenen / Dreiecke Durch 3 Punkte wird eine Ebene aufgespannt Parameterdarstellung: Für Dreiecke gilt zusätzlich: Normale eines Dreiecks / einer Ebene: 46

47 Exkurs: Verallgemeinerung Simplex im Simplex := Polyeder mit genau d+1 affin unabhängige Punkte Verbindung dieser Punkte + "Inneres" Beispiele: 0D Simplex Punkt 1D Simplex Geradenstück ("Linie") 2D Simplex Dreieck 3D Simplex Tetraeder Allgemein: Punkte P 0,, P d Simplex = alle Punkte X mit P 0 P 3 P 2 P 1 47

48 Englische Terminologie: "angle" = Winkel (fig. Blickwinkel) "acute angle" = spitzer Winkel "obtuse angle" = stumpfer Winkel When Two Angles Meet Something about this just ain't right. 48

49 Normalenform der Ebene (implizite Form) Geometrische Interpretation: Betrachte die Gerade durch den Ursprung in Richtung Jeder Punkt X ist ein Punkt der Ebene, gdw. er, auf diese Gerade projiziert, den gleichen Abstand vom Ursprung hat, wie die Projektion von A auf diese Gerade 49

50 Mini-Lemma: Eine Ebene (n,d) im definiert 3 Äquivalenzklassen: "Vorderseite" := "Rückseite" := Ebene selbst := {Rückseite} {Vorderseite} Warum ist die Beschriftung korrekt? Weil 50

51 Die Dualität von Punkten und Geraden in 2D 51