Die komplexe Halbebene faktorisiert nach einer Fuchsschen Gruppe

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1 Die komplexe Halbebene faktorisiert nach einer Fuchsschen Gruppe Matthias Nagel Riemannsche Flächen Stets sei X eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit (Fläche). Definition. ) Eine komplexe Karte auf X ist ein Homöomorphismus ϕ : U V, U X offen, V C offen. ϕ i : U i V i (i =, 2) heißen holomorph verträglich ϕ 2 ϕ : ϕ (U U 2 ) ϕ 2 (U U 2 ) ist konform. 2) Ein komplexer Atlas auf X ist ein System A = {ϕ i : U i V i } i I mit ϕ i paarweise holomorph verträglich und i I U i = X. A, A heißen analytisch äquivalent ϕ A, ψ A : ϕ und ψ sind verträglich. Bemerkung.2 Analytische Äquivalenz von Atlanten ist eine Äquivalenzrelation. Definition.3 ) Σ := [A] heißt eine komplexe Struktur auf X. A Σ sei der maximale Atlas, d. h. A := A Σ A. Schreibweise: An Stelle von Σ wird im Allgemeinen A oder auch nur A für die Struktur geschrieben. 2) Sei X zusammenhängend, A ein Atlas und Σ eine komplexe Struktur. Das Paar (X, Σ) bzw. (X, A) heißt Riemannsche Fläche (RF). Beispiel.4 2) Gebiete in C sind RF. ) (C, {id C }) ist eine RF. 3) Die Vollebene Ĉ := C { } mit folgender Topologie: U Ĉ ist offen U C ist offen, oder U = V { } mit V C und V kompakt. Definiere folgende Karten: U := C ϕ (z) = z U 2 := C { } ϕ 2 (z) = { z, z C 0, z =

2 Klar: ϕ, ϕ 2 sind homöomorph und ϕ 2 ϕ : C C, z z ist holomorph. ϕ, ϕ 2 bilden einen Atlas Ĉ ist RF Riemannsche Zahlenkugel ist RF. 4) Tori sind RF. Seien ω, ω 2 C linear unabhängig über R, Γ := Zω + Zω 2, π : C C/Γ die kanonische Projektion. Definiere folgende Topologie auf C/Γ: U C/Γ offen : π (U) C offen. Dann ist C/Γ hausdorffsch und π stetig nach Konstruktion. C/Γ ist kompakt, da mit P := {λω + µω 2 : λ, µ [0, ]} gilt: π (P ) = C/Γ und P C kompakt. C/Γ ist zusammenhängend, da C zusammenhängend ist. π ist offen. Sei V C offen. π (V ) offen ˆV := π (π (V )) C offen. ˆV = (ω + V ) ist offen. ω Γ Wir defnieren die Struktur auf C/Γ wie folgt: Sei V i C offen, sodass π Vi injektiv und U i := π (V i ). Dann ist ϕ i := π V i : U i V i eine Karte auf C/Γ. Sei A die Menge aller so erzeugbaren ϕ i. Noch zu zeigen: A ist ein Atlas, d. h. ϕ, ϕ 2 A sind holomorph verträglich. V ϕ ψ := ϕ 2 ϕ V 2 π C/Γ U U 2 C ϕ 2 Betrachte die Abbildung ψ := ϕ 2 ϕ : ϕ (U U 2 ) ϕ 2 (U U 2 ). Zu zeigen: ψ holomorph. Sei z ϕ (U U 2 ) π (ψ (z)) = π ( ( ϕ 2 ϕ (z) )) = ϕ (z) = π (z) π (ψ (z)) π (z) = 0 ψ (z) z Kern π = Γ. ψ id ist stetig, Γ diskret ψ (z) = z + c mit c C konstant auf jeder Zusammenhangskomponente ψ holomorph. 2 H/Γ als Riemansche Fläsche In diesem Kapitel sei Γ stets eine Fuchssche Gruppe. 2

3 Erinnerung (Vortrag 9) Γ operiert auf H eigentlich diskontinuierlich, d.h. es existiert eine Umgebung U um p H, für die gilt: T (U) U für nur endlich viele T Γ. Spezieller: p H ε > 0 : T Γ p : T ist Isomorphismus von U ε (p), insb. T (U ε (p)) = U ε (p); außerdem q U ε (p) : T (q) q T / Γ p : T (U ε (p)) U ε (p) = Dabei ist U ε (p) die Kreisscheibe um p mit Radius ε bzgl. der Poincaré-Metrik. Sei p H bel. aber fest. Γ p ist endlich zyklisch und T Γ p \ {id} : T ist elliptisch. Die Fixpunkte der elliptischen Elemente T Γ liegen diskret. Satz 2. H/Γ ist eine Riemannsche Fläche. Beweis Sei π : H H/Γ die kanonische Projektion. Definiere folgende Topologie auf H/Γ: U H/Γ offen : π (U) C offen. Dann ist H/Γ hausdorffsch und π stetig nach Konstruktion. π ist offen. Sei V H offen. π (V ) offen ˆV := π (π (V )) C offen. ˆV = T Γ (T (V )) ist offen. Um die Struktur auf H/Γ zu definieren, machen wir für p H eine Fallunterscheidung nach seinem Stabilisator Γ p. Fall : Sei Γ p = {id}. Wähle Umgebung V H um p mit T (V ) V = T Γ\{id}. Dann ist π V injektiv. Mit U := π (V ) ist ϕ := π V : U V eine Karte um π (p) auf H/Γ. Fall 2: Sei Γ p {id} p ist Fixpunkt und Γ p ist endlich, zyklisch und elliptisch. Sei V H die Kreisscheibe um p wie in der Erinnerung V/Γ p wohldef. Sei π V die kanonische Projektion V V/Γ p Behauptung: π faktorisiert über V/Γ p, d.h.! Homöomorphismus g : V/Γ p H/Γ mit g π V = π. Beweis: Sei u, v V, u v. π V (u) = π V (v) T Γ p : u = T v Wahl T Γ : u = T v π V (u) = π V (v). von V Behauptung: π V hat außerhalb von π V (p) n := Γ p Urbilder. Annahme: z V/Γ p mit weniger Urbilder T, T Γ p : T (z) = T (z) ( T T ) (z) = z, d.h. T T Γ p und hat Fixpunkt z. Wid. zur Wahl von V. Setze nun: τ : V τ (V ) C, z z p h : V U := h (V ) C, z τ T (z) T Γ p h ist Γ p -invariant, d.h. h T = h T Γ p. Sei ξ U, ξ τ (p) = 0. Behauptung: h (ξ) = n. : Sei z ein Urbild von ξ. Dann ist auch T (z) T Γ p ein Urbild 3

4 und diese sind alle verschieden, da z p. : Betrachte ξ = h (z) = (z p) ( ) ai z + b i p = (z p) c i z + d i ( ) (ai pc i ) z + b i pd i c i z + d i für geeignete a i, b i, c i, d i R. T i Γ p elliptisch c i 0; a i pc i 0, da sonst T i ( ) = p. Also ist der Zähler ein Polynom vom Grad n und der Nenner ein Polynom vom Grad n ξ (c i z + d i ) }{{} Polymom in z vom Grad n = (z p) ((a i pc i ) z + b i pd i ) } {{ } Polymom in z vom Grad n d.h. z durchläuft die Nullstellen eines Polynoms vom Grad n. Das sind höchstens n verschiedene. h ist Γ p -invariant h faktorisiert über V/Γ p, d.h. h steigt ab zu h : V/Γ p U mit h π V = h. Weiter ist h nicht kostant, stetig und offen, da h dies auch ist. Behauptung: h ist injektiv. Annahme: u, w V/Γ p mit u w und h (u) = h (w). u, w haben jeweils n Urbilder unter π V in V h (u) hat 2n Urbilder in V unter h, Wid. Also ist h ein Homöomorphismus. ( π (V ), ϕ := h g ) ist eine Karte um π (p) auf H/Γ. Sei A die Menge aller nach und 2 erzeugbaren Karten. Noch zu zeigen: A ist ein Atlas, d. h. ϕ, ψ A sind holomorph verträglich. ( ) Fall ϕ, ψ sind vom Typ : Nach Konstruktion gilt ψ ϕ = π U ψ π U ϕ = π U ψ π Γ und damit biholomorph. Fall ϕ ist vom Typ, ψ ist vom Typ 2: Sei ϕ Karte um π (q) und ψ Karte um π (p) für q, p H. Seien V ϕ, V ψ H die jeweiligen Umgebungen und π (V ϕ ) π (V ψ ). O.B.d.A. V ϕ V ψ. (Andernfalls kann V ϕ mit einem geeigneten T Γ verschoben werden.) Dann ist aber ψ ϕ = h, wobei h die gleichnamige Abbildung aus der Konstruktion von ψ ist. h ist bijektiv und holomorph. Bemerkung 2.2 H/Γ erbt die Poincaré-Metrik von H vermöge der obigen Projektionen. 3 Der Satz von Siegel (ohne Beweis) In diesem und dem folgenden Kapitel sei Γ stets eine Fuchssche Gruppe und F := F p := D p (Γ) eine Dirichlet-Fundamentalbereich zu Γ für ein p H. Erinnerung (Vortrag 0) F Abschluss von F bzgl. der durch die Poincaré- Metrik induzierten Topologie; es gilt F = F F Abschluss von F bzgl. der durch die euklidischen Metrik induzierten Topologie; insb. H = H R { }. F = F \ F hyberpolische Rand von F 4

5 0 F = F \ F (sic!) euklidischer Rand von F ; 0 F R { } und 0 F F =. Die größte in F liegende Teilmenge einer Geodätischen heißt geodätische Seite; der Schnitt zweier geodätischer Seiten oder der Fixpunkt eines elliptischen Elements von Γ heißt geodätische Ecke Die größte in 0 F liegende Teilmenge einer euklidischen Gerade heißt freie Seite; ein isolierter Punkt in 0 F heißt freie Ecke Definition 3. ) Γ heißt geometrisch endlich : F hat endlich viele Seiten 2) Γ heißt Gitter : µ (H/Γ) := µ (F ) <. µ (H/Γ) heißt Volumen des Gitters. Bemerkung 3.2 Beachte, dass in obiger Definition die Existenz von freien Ecken und Seiten zugelassen ist. Satz 3.3 (Siegel, ohne Beweis) Γ ist Gitter Γ ist geometrisch endlich 4 Kokompakte Fuchssche Gruppen, parabolische Elemente und Spitzen Definition 4. Γ heißt kokompakt : H/Γ ist kompakt. Satz 4.2 F kompakt T Γ : T nicht parabolisch. Beweis Sei η (z) := inf {ρ (z, T (z)) : T Γ \ {id}, T nicht elliptisch} Γ-Bahn = min {ρ (z, T (z)) : T Γ \ {id}, T nicht elliptisch} diskret T Γ stetig η ( ) stetig. F kompakt z 0 F T 0 Γ \ {id}, T 0 nicht elliptisch: η := inf {η (z) : z F } = η (z 0 ) = ρ (z 0, T 0 (z 0 )) und η > 0. Sei nun z H \ F, S Γ so, dass w = S (z) F, T Γ \ {id}, nicht elliptisch. Es gilt: ρ (z, T (z)) = ρ (S (z), ST (z)) = ρ ( w, ST S (w) ) η und damit inf {ρ (z, T (z)) : z H, T Γ \ {id}, nicht elliptisch} = η > 0 Annahme: Es ex. T Γ, T parabolisch. O.B.d.A. T (z) = z+. Es gilt: ρ (z, z + ) = 0 für Im z, Wid. Im z Satz 4.3 ) F nicht kompakt H/Γ nicht kompakt. 5

6 2) µ (F ) <, aber nicht kompakt F besitzt eine Ecke in R { }. Beweis Sei F = F p, α S und z α : [0, ) H, z α (0) = p eine Parameterisierung des geodätischen Strahls von p in Richtung α. (Für später: O. B. d. A. sei α = 0 senkrecht nach oben.) Da F konvex ist, schneidet z α F exakt ein Mal oder liegt vollständig in F. Somit kann man die Längenfunktion τ (α) definieren, wobei τ (α) := für den zweiten Fall. Offensichtlich ist τ stetig für alle α mit τ (α) <. Sei τ (α) < α R τ beschränkt F kompakt. Sei nun F nicht kompakt α 0 S : τ (α 0 ) =. Nach Identifikation der kongruenten Punkte von F erhalten wir die Mannigfaltigkeit H/Γ, welche eine unbeschränkte Teilmenge enthält ). Sei s der Schnittpunkt von z α0 mit R { }. Es gilt: s 0 F. Nach Satz 3.3 hat F endlich viele Seiten und Ecken. µ (F ) < F hat keine freie Seite s ist freie Ecke 2). Lemma 4.4 H/Γ kompakt F kompakt Beweis : nach Satz 4.3, Punkt ). : klar Definition 4.5 Sei p H und z α wie im Beweis von Satz 4.3. B t (p) sei der hyperbolische Kreis mit Mittelpunkt z (t) und Berührpunkt p. lim t B t (p) existiert und heißt Horozyklus. Definition u. Bemerkung 4.6 ) lim t B t (p) hängt nur ab von p und α. D. h. ω (p, α) := lim t B t (p) wohldefiniert. 2) ω (p, α) hat eine der folgenden Gestalten: (i) Falls α / 2πZ: ω (p, α) ist ein euklidischer Kreis durch p senkrecht zu α sowie mit Tangente R. (ii) Falls α 2πZ: ω (p, α) ist eine euklidische Gerade durch p parallel zu R. 3) Sei s R { }, p H und α := α (s, p) R so, dass z α (0) = p und lim t z α (t) = s ist. Setze ω (s) := {ω (p, α) : p H}. Satz 4.7 Sei S PSL (2, R) mit Fixpunkt s R. S parabolisch ω ω (s) : S (ω) = ω. Beweis : Sei R PSL (2, R) mit R (s) = S := R S R parabolisch mit S ( ) = S (z) = z+h mit h R. Sei ω := Rω ω ( ). Dann: S (ω ) = h+ω. R winkelerhaltend S (ω) = ω. : Betrachte wieder S := R S R S (z) = az + b mit a, b R und S ( ) =. Vor. ω ω ( ) : S (ω) = ω, d.h. horizontale Geraden werden auf sich abgebildet a = S parabolisch S parabolisch. Satz 4.8 µ (F p ) <, aber nicht kompakt. Dann gilt: 6

7 ) b 0 F (beachte: b ist also freie Ecke): T Γ mit T (b) = b und T parabolisch 2) Sei b H Fixpunkt für ein parabolisches Element von Γ. Dann gilt: S Γ : S (b) 0 F. Beweis Nur ): Sei (S i (F ) : S i Γ, b 0 S i (F )) i N die Folge derjenigen Bilder von F, die b als freie Ecke besitzen. Offensichtlich {S i (F )} =. Seien b (k) F für k = 0,..., n die kongruenten Ecken zu b, also b (k) = T k (b) mit b (0) = b. Nach Satz 3.3 ist n endlich. Setze nun ( ) T j := (S j N i T k ) i N,k=0,...,n. Für jedes S i existiert ein T k, sodass T j (b) = b, d.h. es existieren unendlich viele T j mit b als Fixpunkt. O.B.d.A. T j (b) = b j N. Zu zeigen: T := T j ist parabolisch. Annahme: T nicht parabolisch. Betrachte die Geodätische γ : [0, ) F mit γ (0) = p, lim t γ (t) = b und t = ρ (p, γ (t)). (Beachte: F konvex.) T (p) / F T (p) / Bild (γ ) ρ (p, γ (t)) < ρ (T (p), γ (t)) für 0 t < ( ) Betrachte den Horozyklus ω ω (b) mit p ω. T nicht parabolisch T (p) / ω. O.B.d.A. T (p) liegt im Inneren von ω. Sei γ 2 : [0, ) F die Geodätische durch T (p) und b. Sei q der Schnittpunkt von ω und und Bild (γ 2 ); sei die Parameterisierung von γ 2 so, dass γ 2 (0) = q, lim t γ 2 (t) = b und t = ρ (p, γ 2 (t)). Es gilt: ρ (γ (t), γ 2 (t)) 0 für t. (Nachrechnen!) Es folgt: t = ρ (p, γ (t)) = ρ (q, γ 2 (t)) = ρ (q, T (p)) + ρ (T (p), γ 2 (t)) ρ (q, T (p)) + ρ (T (p), γ (t)) ρ (γ (t), γ 2 (t)) }{{} 0 und damit für hinreichend große t Wid. zu ( ). ρ (p, γ (t)) > ρ (T (p), γ (t)) Lemma 4.9 Γ ist kokompakt µ (H/Γ) < und Γ hat keine parabolischen Elemente. Beweis Folgt aus Satz 3.3, Satz 4.3 und Satz