Der Kern des Dirac-Operators

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1 Der Kern des Dirac-Operators Bernd Ammann Universität Regensburg Antrittsvorlesung, Regensburg,

2 1. Motivation Dirac-Gleichung Witten-Spinor Weierstraß-Darstellung 2. Dirac-Operatoren in höheren Dimensionen Einführung Index in Dimensionen 1, 2 mod 8 Index in Dimension n = 4k 3. Generische Metriken sind D-minimal D-minimale Metriken D-Minimalitaets-Satz Chirurgie

3 1. Motivation Thema der Vorlesung Untersuche harmonische Spinoren, d.h. Lösungen ϕ von Hierbei ist Dϕ = 0. ϕ ein Spinor, ein Schnitt des Spinor-Bündels über einer riemannschen Mannigfaltigkeit, ϕ Γ(ΣM). D ist der Dirac-Operator. D : Γ(ΣM) Γ(ΣM). Es ist ein Differentialoperator 1. Ordnung.

4 Wieso interessiert man sich dafür? Quantenmechanik Dirac (1928) Positive Masse in der Allgemeinen Relativitätstheorie: Witten (1981) Minimalflächen Weierstraß (um 1860) und Abresch-Kusner-Schmitt (um 1993) Indexsatz von Atiyah-Singer (um 1963), Obstruktionen gegen positive Skalarkrümmung, Existenz und Eindeutigkeit von partiellen Differentialgleichungen,...

5 Dirac-Gleichung (1928), Quantenmechanik Wellenfunktion für masselose Fermionen (z.b. Neutrinos) Hierbei ist ϕ : R 4 C 4. Dϕ = 0 D = 4 i=1 γ i x i γ i C 4 4 mit γ i γ j + γ j γ i = ±2δ ij Es folgt D 2 = d 2 dt 2.

6 Witten-Spinor, Allgemeine Relativitätstheorie Statische Materie-Ansammlung, umgeben von Vakuum Mathematisches Modell: Asymptotisch flache Riemannsche Mannigfaltigkeit Arnowitt-Deser-Misner haben für solche Räume eine Masse definiert. Der flache R n hat Masse 0. Satz (Schoen-Yau (1979)) Für alle anderen erlaubten Räume ist die Masse immer positiv. Einfacher Beweis, Witten (1981): Löse Dϕ = 0.

7 Weierstraß-Darstellung von Minimalflächen Pythagoräische Tripel: a 2 + b 2 = c 2 a, b, c Z ( ) ( a Äquivalent: Löse c, b ) } {v Q 2 v = 1 c stereogr. Proj. rationale Punkte auf R { } R 1 ( a c, b c) 1 m n R

8 R 1 ( a c, b c) 1 m n R ( a c, b ) c ( ) m n = ( 2mn m 2 + n 2, m2 n 2 ) m 2 + n 2 a = 2mn b = m 2 n 2 c = m 2 + n 2 Z Z Lösungen von (*) in Z Z Z

9 Komplexifizierung a Quadrik Q = b C 3 a 2 + b 2 + c 2 = 0 c ( m n ) C 2 2:1 CP 1 1:1 Q [Q] m 2 n 2 i(m 2 +n 2 ) 2mn

10 Parametrisierte Flächen U C offen, (x, y) U. F : U R 3 Parametrisierung eines Flächenstücks F z = 1 2 ( df dx i df dy ) F ist konform (=winkeltreu) df dx = df dy and df dx df dy F z Q

11 Weierstraß-Darstellung (1866) F : U R 3 F konform. Finde ϕ 1, ϕ 2 : U C, so dass ϕ F 2 z = 1 ϕ2 2 i(ϕ ϕ2 2 ) 2ϕ 1 ϕ 2

12 Weierstraß-Darstellung (1866) F : U R 3 F konform. Finde ϕ 1, ϕ 2 : U C, so dass ϕ F 2 z = 1 ϕ2 2 i(ϕ ϕ2 2 ) 2ϕ 1 ϕ 2 F(U) ist Minimalfläche ϕ 1 und ϕ 2 sind holomorphe Funktionen.

13 Wieso ist dies wichtig? Die Gleichung H = 0 ist eine nicht-lineare partielle Differentialgleichung also a priori schwer zu lösen.

14 Wieso ist dies wichtig? Die Gleichung H = 0 ist eine nicht-lineare partielle Differentialgleichung also a priori schwer zu lösen. {Lösungen von H = 0} {Paare (ϕ 1, ϕ 2 ) von holomorphen Funktionen}

15 Wieso ist dies wichtig? Die Gleichung H = 0 ist eine nicht-lineare partielle Differentialgleichung also a priori schwer zu lösen. {Lösungen von H = 0} {Paare (ϕ 1, ϕ 2 ) von holomorphen Funktionen} Holomorphe Funktionen zu studieren, ist vergleichsweise einfach.

16 Globale Beschreibung Unter konformen Kartenwechseln verhalten sich ϕ 1 und ϕ 2 wie Wurzeln aus 1-Formen. Sei nun M eine Riemannsche Fläche, konform eingebettet in R 3. T M = Σ + M C Σ + M Σ M := Σ + M ΣM := Σ + M Σ M ϕ := (ϕ 1, ϕ 2 ) Γ(ΣM) Dirac-Operator D : Γ(ΣM) Γ(ΣM) ( ) ( ) ( ) ϕ1 0 ϕ1 D =. ϕ 2 0 ϕ 2

17 Periodische Minimalflächen mit /Verschiebungen Fundamentalbereich M 1:1 {Paare holomorpher Schnitte von Σ + M} / ± 1 1:1 {Lösungen von Dϕ = 0} / ± 1

18 Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimm n = 2k : ΣM C ΣM = 2k j=0 Λj T M R C

19 Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimm n = 2k : n = 2k + 1 : ΣM C ΣM = 2k j=0 Λj T M R C ΣM C ΣM = k j=0 Λ2j T M R C

20 Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimm n = 2k : n = 2k + 1 : ΣM C ΣM = 2k j=0 Λj T M R C ΣM C ΣM = k j=0 Λ2j T M R C Dirac-Operator D : Γ(ΣM) Γ(ΣM) partieller Differentialoperator 1. Ordnung die Definition nutzt die riemannsche Metik g und die Spin-Struktur von M elliptisch und (formal) selbstadjungiert Ab jetzt: M kompakt. Spektrum ist diskret und reell die Eigenwerte von D hängen stetig von der Metrik ab

21 Index in Dimension n = 8k + 2 Alle Eigenwerte haben gerade Multiplizität Ist λ Eigenwert, dann auch λ Folgerung ind D := dim C ker D 2 mod 2 Z/2Z ist unabhängig von der Wahl der Metrik g. Analog: n = 8k + 1 ind D := dim C ker D mod 2 Z/2Z unabhängig von der Metrik.

22 Index in Dimension n = 4k ΣM = Σ + M Σ M ( ) 0 D D = D + 0

23 Index in Dimension n = 4k ΣM = Σ + M Σ M ( ) 0 D D = D + 0 ind D := dim ker D + codim im D + = dim ker D + dim ker D

24 Index in Dimension n = 4k ΣM = Σ + M Σ M ( ) 0 D D = D + 0 ind D := dim ker D + codim im D + = dim ker D + dim ker D Satz (Atiyah-Singer ) ind D = Abel-Preis 2004 M Â(TM)

25 Folgerungen für n = 4k: Â(TM) Z ind D = Â(TM) M Angenommen es existiere eine Metrik mit positiver Skalarkrümmung. Dann ker D = 0. Dann Â(TM) = 0.

26 Frage 1 (Surjektivität) Gibt es für alle ψ Γ(ΣM) eine Lösung von Frage 2 (Injektivität) Eindeutigkeit? Dϕ = ψ?

27 Frage 1 (Surjektivität) Gibt es für alle ψ Γ(ΣM) eine Lösung von Frage 2 (Injektivität) Eindeutigkeit? Dϕ = ψ? Antwort Ja in Frage 1 Ja in Frage 2 ker D = {0}

28 Frage 1 (Surjektivität) Gibt es für alle ψ Γ(ΣM) eine Lösung von Frage 2 (Injektivität) Eindeutigkeit? Dϕ = ψ? Antwort Ja in Frage 1 Ja in Frage 2 ker D = {0} ind D = 0

29 Frage 1 (Surjektivität) Gibt es für alle ψ Γ(ΣM) eine Lösung von Frage 2 (Injektivität) Eindeutigkeit? Dϕ = ψ? Antwort Ja in Frage 1 Ja in Frage 2 ker D = {0} ind D = 0 Frage 3 Gilt auch ind D = 0 ker D = {0}?

30 Gegenbeispiel ind D = 0 und ker D {0}

31 Gegenbeispiel ind D = 0 und ker D {0} Aber: Ist M zusammenhängend und ind D = 0, dann gilt ker D = {0} für fast alle Metriken.

32 Gegenbeispiel ind D = 0 und ker D {0} Aber: Ist M zusammenhängend und ind D = 0, dann gilt ker D = {0} für fast alle Metriken. Gromov-Lawson/Stolz 1992, falls π 1 (M) = 0 und dim M 5 Maier 1997, falls dim M 4 Ammann-Dahl-Humbert 2009: allgemein.

33 D-minimale Metriken n = dim M Â(TM), falls n = 4k; 1, falls n 1 mod 8 und ind 0; dim ker D 2, falls n 2 mod 8 und ind 0; 0, sonst Eine Metrik heißt D-minimal, falls Gleichheit gilt.

34 D-Minimalitäts-Satz Satz (D-Minimalitäts-Satz, A.-Dahl-Humbert 2009) Sei M zusammenhängend, kompakt, spin. k {1, 2, 3,..., }. Dann ist die Menge aller D-minimalen Metriken offen und dicht in der Menge aller Metriken, versehen mit der C k -Topologie.

35 D-Minimalitäts-Satz Satz (D-Minimalitäts-Satz, A.-Dahl-Humbert 2009) Sei M zusammenhängend, kompakt, spin. k {1, 2, 3,..., }. Dann ist die Menge aller D-minimalen Metriken offen und dicht in der Menge aller Metriken, versehen mit der C k -Topologie. Anwendungen (M zusammenhängend, g D-minimal) Falls ind D = 0, dann ist D : Γ(ΣM) Γ(ΣM) bijektiv Falls n = 4k und ind D 0, dann ist D + surjektiv und D injektiv. Falls n = 4k und ind D 0, dann ist D surjektiv und D + injektiv. Falls n 3, 5, 6, 7 mod 8, dann ist D bijektiv

36 Chirurgie Sei f : S k B n k M eine Einbettung. Wir definieren M # := M \ f (S k B n k ) (B k+1 S n k 1 )/ wobei / Verkleben entlang des Randes bedeutet M f (x, y) (x, y) S k S n k 1. Wir erhalten M # aus M durch k-dimensionale Chirurgie. Beispiel: 0-dimensionale Chirurgie auf einer Fläche

37 Jede Chirurgie entsteht durch einen Bordismus. Jeder Bordismus kann in endlich viele Chirurgie-Bordismen zerteilt werden (Morse-Theorie) Wir fordern ab jetzt immer, dass M, M # und der Bordismus orientiert und mit Spin-Struktur versehen sind. Dann heißen M und M # spin-bordant. ind D auf M = ind D auf M #

38 Beweisskizze des D-Minimalitätssatzes 1.) Gebe D-minimale Metriken auf Erzeugern der Bordismengruppe an. 2.) Durch Chirurgie sehen wir, dass jede zusammenhängende Mannigfaltigkeit eine D-minimale Metrik trägt. 3.) Mit einem Störungsargument folgt dann, dass die D-minimalen Metriken dicht sind. D-Minimalität und Chirurgie Satz (ADH 2009) Sei k n 2. Falls M eine D-minimale Metrik trägt, dann auch M #. Aussage falsch für k = n 1. Satz (wohl-bekannt) Es gebe einen Bordismus von M 1 nach M 2. Ist M 2 nicht-leer und zusammenhängend, so gibt es einen Bordismus von M 1 nach M 2, der nur aus Chirurgien der Dimension k n 2 besteht.