Das Atiyah-Singer-Index-Theorem in SU(2)-Yang-Mills-Theorie

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1 Das Atiyah-Singer-Index-Theorem in SU(2)-Yang-Mills-Theorie Marc Wagner mcwagner 13. November 2006

2 Das Atiyah-Singer-Index-Theorem in... Atiyah-Singer-Index-Theorem in SU(2)-Yang-Mills-Theorie ( zweifarbige QCD mit unendlich schweren Quarks ): Q = n R n L (1) (Q: Topologische Ladung der vorliegenden Eichfeldkonfiguration; n R : Anzahl der rechtshändigen Nullmoden des Dirac-Operators; n L : Anzahl der linkshändigen Nullmoden des Dirac-Operators). M. F. Atiyah and I. M. Singer, The Index Of Elliptic Operators. 5, Annals Math. 93, 139 (1971).

3 Gliederung Topologische Ladung. Nullmoden des Dirac-Operators. Beweis des Atiyah-Singer-Index-Theorems. Mögliche Anwendung des Atiyah-Singer-Index-Theorems. Anzahl der Instanton-Nullmoden. Mögliche Anwendungen. Zusammenfassung.

4 Topologische Ladung (1) Maxwell-Theorie (U(1)-Eichtheorie), 1+1 Raumzeitdimensionen (1) Betrachtet werden ausschließlich Eichfelder ohne Singularitäten, die im Unendlichen, d.h. auf dem Rand der 1+1-dimensionalen Raumzeit, einer Eichtransformation angewendet auf A µ = 0 entsprechen ( Eichfelder mit endlicher Wirkung ). Eichtransformation: A µ A µ = ga µ g 1 i( µ g)g 1, g U(1). (2) Eichfelder auf dem Rand der 1+1-dimensionalen Raumzeit: A µ = i( µ g)g 1, g U(1). (3)

5 Topologische Ladung (2) Maxwell-Theorie (U(1)-Eichtheorie), 1+1 Raumzeitdimensionen (2) Der Rand der 1+1-dimensionalen Raumzeit entspricht einem Kreis, genau wie die Eichgruppe U(1). Diese müssen gemäß (3) aufeinander abgebildet werden. Ein Umlauf auf dem Rand der Raumzeit entspricht einer ganzzahligen Anzahl von Umläufen Q auf dem Kreis der Eichgruppe. Q wird als topologische Ladung bezeichnet. topologische Ladung Q = 0 topologische Ladung Q = 1 Raumzeit Raumzeit

6 Topologische Ladung (3) SU(2)-Yang-Mills-Theorie, 3+1 Raumzeitdimensionen Der Rand der 3+1-dimensionalen Raumzeit entspricht der S 3. Die Eichgruppe SU(2) kann ebenfalls durch die S 3 parametrisiert werden, d.h. jedes g SU(2) kann wie folgt geschrieben werden: g = h 0 + ih i σ i, h h h h 2 3 = 1. (4) Jede Eichfeldkonfiguration ohne Singularitäten, die auf dem Rand der 3+1-dimensionalen Raumzeit einer Eichtransformation angewendet auf A µ = 0 entspricht, besitzt eine ganzzahlige topologische Ladung Q. Diese entspricht der Anzahl der Überdeckungen der S 3 der Eichgruppe bei einem Umlauf auf dem Rand der Raumzeit. Es gilt (im Euklidischen) 1 Q = d 4 x F a 32π F 2 µν µν a a, F µν = 1 2 ǫ µναβfαβ a, ǫ 0123 = 1. (5)

7 Nullmoden des Dirac-Operators ψ ist eine Nullmode des (Euklidischen) Dirac-Operators wenn γ µ D µ ψ = 0, D µ = µ ia µ (6) gilt und ψ normierbar ist. Chirale Darstellung der γ-matrizen: ( ) 0 iσµ γ µ =, σ +i σ µ 0 µ = (+i, σ), σ µ = ( i, σ). (7) Mit ψ = (φ L, φ R ) vereinfacht sich (6) zu σ µ D µ φ L = /Dφ L = 0, σ µ D µ φ R = /Dφ R = 0. (8) Folglich können die Nullmoden des Dirac-Operators entweder linkshändig, d.h. ψ = (φ L, 0), oder rechtshändig, d.h. ψ = (0, φ R ), gewählt werden.

8 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (1) S. Vandoren and P. van Nieuwenhuizen, Lectures on instantons in (super) Yang-Mills theory, unpublished (2005). Es gilt (ker bezeichnet die Anzahl der Nullmoden) ker( /D /D) = ker( /D) = n R = # rechtshändige Nullmoden (9) ker( /D /D) = ker( /D) = n L = # linkshändige Nullmoden. (10) (9) ist richtig wenn /Dφ R 0 und /D /Dφ R = 0 nicht gleichzeitig erfüllt sein kann. Die Annahme es wäre so führt zum Widerspruch: 0 ( /Dφ R ) /Dφ R = φ R ( σ µ ( µ ia µ )) /DφR = = φ R σ µ( µ + ia µ ) /Dφ R = φ R /D /Dφ R = 0. (11) Beweis von (10) analog.

9 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (2) Es folgt n R n L = ker( /D /D) ker( /D /D). (12) /D /D und /D /D haben das gleiche Spektrum für Nicht-Nullmoden: /D /Dφ = λφ /D /D( /Dφ) = λ( /Dφ) (13) /D /D φ = λ φ /D /D( /D φ) = λ( /D φ), (14) d.h. Eigenfunktionen zu /D /D und /D /D mit Eigenwert λ 0 treten paarweise auf, wobei mit /D bzw. /D hin und her gesprungen werden kann. Damit gilt für beliebige M n R n L = ker( /D /D) ker( /D /D) = ( M 2 = Tr /D /D + M M 2 ) 2 /D /D. (15) + M 2

10 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (3) Nebenrechnung: (γ µ D µ ) 2 = ( /D /D 0 0 /D /D ). (16) Nebenrechnung: γ 5 = γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = ( ). (17) (15) lässt sich damit umformen: n R n L ( = Tr M 2 (γ µ D µ ) 2 + M 2γ 5 ). (18)

11 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (4) Das Ausrechnen der Spur in (18) ist in jeder beliebigen Basis möglich. Es bieten sich ebene Wellen an (Tr(...) bezieht sich im Folgenden nur noch auf Spin- und Farbindizes): ( n R n L = Tr d 4 M 2 ) k k (γ µ D µ ) 2 + M 2γ 5 k = ( = Tr d 4 k d 4 x e ikx M 2 e ikx ) (2π) 2 (γ µ D µ ) 2 + M 2γ 5 = (2π) ( 2 1 = (2π) 4Tr d 4 k d 4 M 2 ) x (γ µ (D µ + ik µ )) 2 + M 2γ 5. (19)

12 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (5) Nebenrechnung: (γ µ (D µ + ik µ )) 2 = γ µ γ ν (D µ + ik µ )(D ν + ik ν ) = ( 1 = γ µ γ ν 2 {D µ, D ν } + 1 ) 2 [D µ, D ν ] + id µ k ν + id ν k µ k µ k ν = 1 ( ) 1 2 {γ µ, γ ν } 2 {D µ, D ν } + id µ k ν + id ν k µ k µ k ν 1 γ µ γ ν 2 [D µ, D ν ] = = D 2 2iD µ k µ + k 2 + i 2 γ µγ ν F µν. (20) =

13 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (6) Fortsetzung von (19): n R n L = 1 = (2π) ( 4Tr d 4 k d 4 x ) M 2 k 2 + M 2 2iD µ k µ D 2 + i 2 γ γ 5 µγ ν F µν = = M4 (2π) 4Tr ( d 4 κ ) d 4 1 x κ i M D µκ µ 1 D M 2 + i γ 5. (21) γ 2 2M 2 µ γ ν F µν

14 Beweis des Atiyah-Singer-Index-... (7) Nebenrechnungen: Tr(γ 5 ) = 0 (22) Tr(γ µ γ ν γ 5 ) = 0 (23) Tr(γ µ γ ν γ α γ β γ 5 ) = 4ǫ µναβ. (24) Fortsetzung von (21), Limes M (1/(1 + ǫ) 1 ǫ + ǫ 2 ): n R n L = ( ( ) ) 2 1 = (2π) 4Tr d 4 κ d 4 1 i x κ (κ 2 + 1) γ µγ ν F µν γ 5 = = 1 ( ) 64π 4Tr(γ µγ ν γ α γ β γ 5 ) d 4 1 κ Tr d 4 x F (κ 2 + 1) }{{ 3 µν F αβ = } = 1 32π 2 d 4 x Fµν a 1 2 ǫ µναβfαβ a = =π 2 /2 1 32π 2 d 4 x F a µν F a µν = Q. (25)

15 Mögliche Anwendung des Atiyah-... Bestimmen der topologischen Ladung bei Gitterrechnungen: Bestimmen der topologischen Ladung über die Gitterversion von 1 Q = d 4 x F a 32π F 2 µν µν a (26) scheitert auf Grund von UV-Fluktuationen, die das Ergebnis stark verfälschen. Spezielle Techniken (z.b. Cooling-Techniques ) sind nötig um die tatsächliche topologische Ladung zu bestimmen. Alternatives Vorgehen: Bestimmen der topologischen Ladung über die Anzahl der Nullmoden des Dirac-Operators (Atiyah-Singer-Index- Theorem). C. Gattringer, M. Göckeler, P. E. L. Rakow, S. Schaefer and A. Schäfer, A comprehensive picture of topological excitations in finite temperature lattice QCD, Nucl. Phys. B 618, 205 (2001) [arxiv:hep-lat/ ].

16 Anzahl der Instanton-Nullmoden (1) Instantone Instantone sind Eichfeldkonfigurationen minimaler (Euklidischer) Wirkung mit topologischer Ladung Q = 1 (selbstduale Lösungen der Euklidischen Yang-Mills-Bewegungsgleichungen): A a µ = C ab2ηa µν(x ν z ν ) (x z) 2 + λ 2, η a µν = ǫ aµν + δ aµ δ 0ν δ aν δ 0µ. (27) Ein Instanton hat acht Parameter: Farborientierung C ab SO(3) (drei Parameter), Position z µ R 4 (vier Parameter), Größe λ R (ein Parameter). Instantone sind ein Standardwerkzeug der nicht-perturbativen QCD. A a µ Marc Wagner, Das Atiyah-Singer-Index-Theoremx in SU(2)-Yang-Mills-Theorie, 13. November µ 2 4 4

17 Anzahl der Instanton-Nullmoden (2) Ziel: Bestimmen der Anzahl der Nullmoden des Dirac-Operators in Anwesenheit eines Instantons. Atiyah-Singer-Index-Theorem: Q = 1 n R = n L + 1. Im Folgenden wird gezeigt, dass keine linkshändigen Nullmoden existieren (Beweis durch Widerspruch). Annahme: φ L ist eine Nullmode von /D. Dann gilt offensichtlich /D /Dφ L = 0. (28)

18 Anzahl der Instanton-Nullmoden (3) Definition: σ µν = 1 2 (σ µ σ ν σ ν σ µ ). (29) σ µν ist antisymmetrisch und antiselbstdual, d.h. σ µν = 1 2 ǫ µναβσ αβ. (30) Nebenrechnung: σ µ σ ν = δ µν + σ µν. (31)

19 Anzahl der Instanton-Nullmoden (4) /D /D kann berechnet werden: /D /D = σ µ σ ν D µ D ν = (δ µν + σ µν ) ( 1 2 {D µ, D ν } + 1 ) 2 [D µ, D ν ] = = D σ µν[d µ, D ν ] = D 2 i 2 σ µνf µν. (32) Da σ µν antiselbstdual und F µν selbstdual ist, folgt /D /D = D 2. (33) φ L erfüllt damit D 2 φ L = 0. (34)

20 Anzahl der Instanton-Nullmoden (5) Es folgt 0 = φ L D2 φ L = φ L ( µ ia µ )D µ φ L = φ L ( µ + ia µ ) D µ φ L = = φ L D µd µ φ L = D µ φ L 2 (35) und daraus D µ φ L = 0. (36)

21 Anzahl der Instanton-Nullmoden (6) Nebenrechnungen: η a µν ηb µν = 4δ ab (37) ǫ abc η b µνη c αβ = δ µα η a νβ + δ νβ η a µα δ µβ η a να δ να η a µβ. (38) Nebenrechnung: Fµν a = 2ηνα a x α µ x 2 + λ 2 2ηa µα ν x 2 + λ + 2 4ǫabc ηµαη b νβ c x α x β = (x 2 + λ 2 ) 2 λ 2 x α =... = 4ηµν a (x 2 + λ 2 ) 2. (39)

22 Anzahl der Instanton-Nullmoden (7) Aus (36) folgt 0 = i[d µ, D ν ]φ L = F µν φ L (40) und daraus 0 = ηµν a F µνφ L = ηµν a F µν b σ b 2 φ L ηµν a σ b ηb µν 2 φ L = 2σ a φ L (41) und daraus φ L = 0. (42) Dies ist im Widerspruch zur Annahme dass φ L eine Nullmode ist. Folglich besitzt der Dirac-Operator in Anwesenheit eines Instantons keine linkshändigen Nullmoden. Aus dem Atiyah-Singer-Index-Theorem folgt dass der Dirac-Operator in Anwesenheit eines Instantons eine rechtshändige Nullmode besitzt.

23 Mögliche Anwendungen Diplomarbeit von Christian Szasz ( Chirale Symmetrie im Pseudoteilchen- Formalismus ): Ziel: Numerische Berechnung der Nullmoden des Dirac-Operators für vorgegebene Pseudoteilchen-Eichfeldkonfigurationen. Test des Programms an Hand eines einzelnen Instantons. Lässt sich die Instanton-Lösung verallgemeinern, d.h. kann man eine selbstduale Eichfeldkonfiguration mit topologischer Ladung Q = 1 finden, die mehr als acht Parameter besitzt? Man kann zeigen: Ein Instanton hat doppelt so viele Parameter wie der Dirac-Operator Nullmoden in adjungierter Darstellung. Vier Nullmoden in adjungierter Darstellung Instanton-Lösung hat acht Parameter Instanton-Lösung (27) ist die allgemeinste mögliche.

24 Zusammenfassung Atiyah-Singer-Index-Theorem in SU(2)-Yang-Mills-Theorie: Q = n R n L (43) (Q: Topologische Ladung der vorliegenden Eichfeldkonfiguration; n R : Anzahl der rechtshändigen Nullmoden des Dirac-Operators; n L : Anzahl der linkshändigen Nullmoden des Dirac-Operators).