Chern-Simons Theorie. Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Theorie der kondensierten Materie. Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt

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Gisela Buchholz
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1 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Theorie der kondensierten Materie Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt

2 Seite 2 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Inhaltsverzeichnis Grundlagen des Hall-Effekts Grundlegender Hamiltonian und unitäre Transformation Die 2. Quantisierung Mean-Field Näherung Berechnung Ladungsstrom und Hall Widerstand

3 Seite 3 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Experimentelle Anordnung des Hall-Effekts Abbildung: Experimentelle Anordnung des Hall-Effekts

4 Seite 4 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Grundlegende Parameter des Quanten-Hall-Effekts Variiert wird magnetisches Feld B = B e z bzw. Füllfaktor ν ν = Anzahl Elektronen Anzahl Zustände = 2π ρ 0 eb = N e φ/φ 0 Abbildung: Bedeutung des Füllfaktors ν

5 Seite 5 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Experimentelle Ergebnisse des Quanten-Hall-Effekts

6 Seite 6 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Grundlegender Hamiltonian H = i 1 [ p i + e A 2m c ] 2 + V ( r i r j ) i>j Ψ antisymmetrische Funktion (Fermionen) HΨ( r 1,..., r Ne ) = EΨ( r 1,..., r Ne ) Transformation durch unitäre Trafo U auf symmetrische Funktion Φ( r 1,..., r N ) (Bosonen) U = e i i>j Θ π α ij Wobei gilt Θ = (2k + 1)π und α ij = arccos ( r i r j ) e x r i r j

7 Seite 7 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Unitäre Transformation Weiter folgt aus der unitären Transformation U für den neuen Hamiltonian H = U 1 HU Die symmetrische Funktion Φ folgt aus Ψ Φ = U 1 Ψ Durch Betrachtung der einzelnen Komponenten des ursprünglichen Hamiltonians kann der neue Hamiltonian bestimmt werden.

8 Seite 8 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Transformierter Hamiltonian Es ergibt sich: H = i 1 2m [ p i + e A c + e ] 2 a c i + V ( r i r j ) i>j Mit dem Chern-Simons Feld a( r i ) a β ( r i ) = Φ 0Θ 2π 2 β α ij j i

9 Seite 9 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Quantisierung Nach der 2. Quantisierung erhält man H = d 2 rφ + ( r)[ 1 ( 2m i + e A( r) c + e ) 2 c a( r) ea 0 ]Φ( r) + 1 d 2 rd 2 r [ρ( r) ρ]v ( r r 2 )[ρ( r ) ρ] Es ergibt sich mit ρ( r) = Φ + ( r)φ( r) = N e i δ( r r i ) für a β ( r) a β ( r) = Φ 0θ 2π 2 d 2 r β α r r ρ( r )

10 Seite 10 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Betrachtung der auftretenden Größen Das Chern-Simons Feld a β ( r) ist nach ɛ αβ α β α r r = 2πδ( r) bestimmt durch b = ɛ αβ α a β ( r) = Φ 0 θ π ρ( r) = Φ 0 θ π Es gelten folgende Zusammenhänge N e [ Φ( r), Φ + ( r ) ] = δ( r r ) (...aber Φ( r)φ( r) = 0) i δ( r r i ) ρ uniforme Hintergrundladung um stabiles System zu erhalten (thermodynamischer Limes) ea 0 zusätzliches elektrisches Feld E α = α A 0 Reduziertes effektives Magnetfeld B eff ( r) = ɛ αβ α ( A β ( r) + a β ( r) ) = B (2k + 1)Φ 0 ρ( r)

11 Seite 11 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Das Composite-Boson Abbildung: Aufteilung der Flussquanten auf Elektronen bei ν = 1 3 Abbildung: Übergang von Elektron zu Composite-Boson

12 Seite 12 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Einfache Lösung der Chern-Simons Theorie

13 Seite 13 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Einschub: Zustandssumme und Pfadintegral ( Z = sp e βh) = dx < x e βh x >= dx < x Π N β i=1 e N H x > = dx dx 1... dx N 1 < x e β N H x 1 >< x 1 e β N H x 2 >... < x N 1 e β N H x > = D[x]e S E Mit der euklidischen Wirkung (Funktional) S E S E [x] = β 0 dτ d 2 r L e (x, τ) Integriert wird über alle möglichen Pfade des Phasenraums unter periodischen Randbedingungen

14 Seite 14 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Einschub: Zustandssumme und Pfadintegral Abbildung: Unterschiedliche Pfade. Periodische Randbedingungen wurden nicht beachtet.

15 Seite 15 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Einschub: Lösung des Pfadintegrals Wesentlicher Beitrag liefert der Pfad x cl mit der Bedingung δ x S E = 0 (Mean-Field Näherung) Entwicklung um Pfad minimalster Wirkung bis zur zweiten Ordnung in Fluktuationen η (Sattelpunkt-Methode) x(τ) = x cl (τ) + η(τ) mit η( β) = η(0) = 0 Entwicklung des euklidischen Funktionals S E [x] = S E [x cl ]+ 1 2 [ δ 2 ] S E [x] dτ 1 dτ 2 η(τ 1 )η(τ 2 ) δx(τ 1 )δx(τ 2 ) x=x cl

16 Seite 16 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Zustandsumme der Chern-Simons Theory Z [A 0, A] = D[Φ]D[Φ ]D[a 0 ]D[ a]e β 0 dτ d 2 r L E [Φ,Φ,a 0, a] Mit der euklidischen Lagrange-Dichte L E = L Φ + L a [ ] = Φ τ + ea 0 + ea 0 Φ + 1 [ 2m φ i + e A c + e ] c a Φ eπ 2Φ 0 θ ɛ µνρa µ ν a ρ..

17 Seite 17 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Chern-Simons Feld als weiterer Freiheitsgrad Bis jetzt war das Chern-Simons Feld festgelegt durch ɛ αβ α a β ( r) = Φ 0 θ π ρ( r) Mit Hilfe des Chern-Simons Term L a = eπ 2Φ 0 θ ɛ µνρa µ ν a ρ Wird a ν zu weiterem Freiheitsgrad. a 0 sichert Eichinvarianz (bzgl. δa ν = ν Λ) und spielt die Rolle eines Lagrange-Multiplikators (Zwangsbedingung).

18 Seite 18 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Mean-Field Näherung Betrachtung eines äußeren elektromagnetischen Feldes mit den Eigenschaften: A 0 0 E µ = µ A 0 ɛ αβ α A β = B z = konst. Weiter gilt nach dem Prinzip der minimalen Wirkung für die dominante Konfiguration δ Φ S E = 0 δ Φ S E = 0 δ a S E = 0 und δ a0 S E = 0

19 Seite 19 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Mean-field Lösung Man erhält als Lösungen Φ = ρ = konst. a = A ; a 0 = A 0 b = B = θ π Φ 0 ρ Für den Füllfaktor erhält man mit θ = (2k + 1)π ν = N e Φ/Φ 0 = 1 2k + 1 Lösung ist homogene Dichte von Bosonen, welche ein Magnetfeld tragen, welche das Externe gerade kompensiert.

20 Seite 20 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Darstellung der Mean-Field Lösung Abbildung: Das Composite Boson in Mean-Field Näherung

21 Seite 21 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Betrachtung der Stromdichte < j α ( r) >=< δs E δa α > c Wobei der Erwartungswert auch durch das Pfadintegral berechnet werden kann: < A >= 1 ) D[ ]Ae (e Z sp βh S E A = Z Weiter gilt für den Erwartungswert (Mean-Field Näherung) < δs E δa α > [ ] δse δa α Sattelpunkt

22 Seite 22 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Betrachtung der Stromdichte in Mean-Field-Näherung Und durch das hamiltonsche Prinzip gilt: [ ] δse δa α Sattelpunkt = δsφ E δa α = δsφ E δa α = δsa E δa α Durch Berechnung der Ableitung erhält man: δs a E δa α ( r) = eπ 2θΦ 0 ɛ αβ 2 β a 0

23 Seite 23 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Quantisierung des Hall-Widerstandes Und es folgt für den Erwartungswert des Stroms mit a 0 = A 0 und E α = α A 0 : < j α ( r) >= e2 h 1 q ɛαβ E β q = (2k + 1) und für den Füllfaktor ν = 1 2k+1 Daraus folgt für den Leitfähigkeitstensor σ xx = 0 σ xy = e2 h 1 q

24 Seite 24 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Zusammenfassung keine Verunreinigungen Betrachtungen basieren auf einem unendlich ausgedehntem 2-D System Spin wurde vernachlässigt (Zeeman Aufspaltung sei riesig) Mean-Field Lösung kann Quantisierung des Hall-Widerstandes erklären

25 Seite 25 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Ausblick Beachtung von quadratischen Fluktuationen und kollektiven Anregungen Laughlin-Wellenfunktion Störungsbasierende Anregungen (Dichtefluktuationen) Vortex Anregungen Quasiteilchen mit fraktionaler Statistik und fraktionaler Ladung... Alle Anregungen, welche aus dem Kondensat(Mean-Field Lösung) heraus entstehen sind energetisch Lücken-behaftet. Das Kondensat ist inkompressibel.

26 Seite 26 Chern-Simons Theorie Thomas Unden, Sabrina Kröner 01. Feb Chern-Simons Ginzburg-Landau Theorie, Vorlesungsmitschrift, Prof. Joachim Ankerhold Chern-Simons Ginzburg-Landau Theorie, Präsentation, Nikolai Hlubek, Chern-Simons Theory of Fractional Quantum Hall Effect, Kalin Vetsigian, The Chern-Simons-Landau-Ginzburg Theory Of The Fractional-Quantum Hall Effect, Shou Cheng Zhang, Quantum Hall Effects, Zyun F. Ezawa, World Scientific 2008 Field Theory A Path Integral Approach, Ashok Das, World Scientific 2006

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