Pfadintegraldarstellung des freien Dirac-Feldes Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder

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1 Pfadintegraldarstellung des freien Dirac-Feldes Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder Kevin Mitas 20. Januar

2 1 Einleitung Aus den vorherigen Vorträgen ist die Pfadintegraldarstellung bekannt. Um das Pfadintegral des freien Skalaren-Feldes darzustellen, wird die Klein-Gordon-Gleichung benutzt. Für die Pfadintegraldarstellung des Dirac-Feldes wird als Ausgangspunkt die Dirac- Gleichung verwendet. Kenntnis und Herleitung dieser Gleichung wird vorausgesetzt und können in [MSred16] oder [LRyd96] nachgeschlagen werden. Das Dirac-Feld kann nur durch anti-kommutierende Erzeuger- und Vernichteroperatoren beschrieben werden und lässt sich somit durch herkömmlichen Zahlen nicht lösen. Zur Lösung des Problems werden die Grassman-Zahlen eingeführt, die exakt die anti-kommutierende Eigenschaft besitzen. Weiterhin wird am Ende der Feynman-Propagator für das Dirac-Feld hergeleitet und mit dem bereits bekannten Propagator des freien Skalar-Feldes verglichen. In der gesamten Ausarbeitung ist die Notation = c = 1 verwendet worden. Weiterhin entsprechen die verwendeten Darstellungen denen Lehrbücher [MSred16] und [LRyd96] zur der Quantenfeldtheorie. 2 Dirac-Gleichung Voraussetzung der Pfadintegraldarstellung des freien Dirac-Feldes ist die Dirac-Gleichung mit (iγ µ µ mψ = 0. (1 Gleichung (1 wird durch die übliche Notation γ µ µ = / vereinfacht zu (i/ mψ = 0. (2 Die Lagrange-Dichte der Dirac-Gleichung lässt sich direkt ablesen. Äquivalent zum Skalaren-Feld ergibt sich L = Ψ(i/ mψ. (3 Um die Einteilchen-Wellenfunktionen auf Felder zu erweitern, wird die kanonische Quantisierung durchgeführt. Dabei werden die Wellenfunktionen, die durch Ψ beschrieben werden, bei der Quantisierung als Feldoperatoren aufgefasst. Weiterhin wird von klassischen Feldern ausgegangen. Da die fermionischen Erzeuger und Vernichter einen anti-kommutierenden Charakter besitzen, kann das freie Dirac-Feld nicht durch Objekte vergleichbar mit gewöhnlichen kommutierenden Zahlen dargestellt werden. 3 Grassmann-Zahlen Die Grassmann-Zahlen besitzen gerade die Eigenschaft, die die fermionischen Erzeuger und Vernichter des Dirac-Feldes voraussetzen. Zunächst werden einige Relationen der Grassmann-Zahlen aufgelistet: 2

3 Antikommutator zweier Grassmann-Zahlen Produkt zweier Grassmannzahlen Θη + ηθ = 0 Θ 2 = η 2 = 0 (4 (Θ 1 η 1 (Θ 2 η 2 = Θ 1 Θ 2 η 1 η 2 = (Θ 2 η 2 (Θ 1 η 1 (5 Multiplikation und Addition mit reellen Zahlen Komplex Konjugation a(θ + bη = aθ + abη (6 (Θη = η Θ = Θ η (7 Weiterhin lässt sich eine Taylor-Entwicklung von grassmannwertigen Funktionen bilden: f(η = f 0 + f 1 η (8 f(η 1, η 2 = f 00 + f 10 η 1 + f 01 η 2 + f 11 η 1 η 2. (9 Dadurch wird ersichtlich, dass diese Funktionen nur linear sein können, aufgrund der anti-kommutierenden Eigenschaft (4. Die Integration der Grassmann-Zahlen folgt über das sogenannte Berezin-Integral: dη = 0 (10 dηη = 1 (11 dη(η + Θ = dηη Θ dη = dηη Θ 0 = 1. (12 Daraus ergibt sich für ein Gaußintegral mit Grassmann-Zahlen dη d ηe ηaη = dη d η(1 + ηaη [ ] = dη dη 1 + d η ηaη [ ] = dη 0 + aη d η η = dηaη = a dηη = e ln a = a. (13 Weiterhin wird die Auswirkung, die die Transformation auf ein Maß eines Pfadintegral durch Grassmann-Zahlen hat, berechnet: Dη = η i = 1 N! ɛi 1...i N η i1...η in U i1 j 1...U i N j N. (14 3

4 Daraufhin wird eine unitäre Transformation durchgeführt mit η i η i = j U ij η j mit UU = 1. (15 Es folgt Zusätzlich wurde verwendet, dass η i = 1 N! ɛi 1...i N U i1 j 1...U i N j N η i 1...η i N (16 }{{} =detu = detu η i. (17 η i 1...η i N = ɛ i 1...iN A mit A = η i (18 gilt. Damit ist gezeigt, dass das Maß invariant bzgl. unitären Transformationen ist. Durch diesen Ansatz kann eine hermitisch und reelle Matrix B berechnet werden. d η i dη i exp η k Bη j (19 i kj Da die Matrix B reell als auch hermitisch ist, kann diese mithilfe der unitären Transformation U 1 DU diagonalisiert werden, sodass folgt d η i dη i exp η k Ukr 1 D rju j lη l (20 krjl d η idη idetu 1 detu exp η kd rj η l (21 krjl d η idη i exp η kb j η l. (22 krjl Im letzten Schritt wurde D ij = 0 i j D rj = b j δ rj benutzt. Es ergibt sich b i = detb. (23 Zusammenfassend wurde gefunden: d η i dη i exp i kj η k B kj η j = detb. (24 4

5 Zusätzlich für weitere Vorgehensweisen kann d η i dη i η n η l exp i kj η k B kj η j = Bnl 1 detb (25 analog bestimmt werden. Dabei muss nur die Relation η n η l = ( Θ exp η l Θ l + n Θ l l n Θ n η n Θ=Θ=0 (26 verwendet werden. 4 Pfadintegraldarstellung Aus den Kenntnissen der bisherigen Rechnung kann die Pfadintegraldarstellung des freien Dirac-Feldes bestimmt werden. Dazu sei erwähnt, dass die Feldoperatoren ψ ψ nun Grassmannwertig sind. Weiterhin kommen noch zwei Spinorquellen η, η hinzu. Dadurch ergibt sich die Pfadintegraldarstellung zu: Z[ η, η] = 1 Z 0 D ΨDΨ ( exp i d 4 x Ψ(i/ mψ + ηψ + Ψη (27 für die Normierung Z 0 erhält man Z 0 = D ΨDΨ ( exp i d 4 x Ψ(i/ mψ = det(is 1 (28 substituiert mit S 1 = (i/ m. Im Folgendem wird Gleichung (27 vereinfacht: Zunächst wird der Ausdruck im Exponenten verkürtzt mit Q(Ψ, Ψ = ΨS 1 Ψ + ηψ + Ψη. (29 Es wird nun das Minimum für Q bestimmt. Diese Vorgehensweise ist equivalent zu einer quadratischen Ergänzung, da es sich um Grassmann-Zahlen handelt. Es ergibt sich: Nun werden die Ausdrücke eingesetzt: Ψ m = Sη und Ψm = ηs. (30 Q m (Ψ m, Ψ m = ( ηss 1 ( Sη + η( Sη + ( ηsη (31 = ηsη 2 ηsη (32 = ηsη. (33 5

6 Daraus folgt für Gleichung (27: Z[ η, η] = 1 D Z ΨDΨ ( exp i 0 = ( det(is 1 ( 1 det(is 1 exp i d 4 xq m + ( Ψ Ψ m S 1 (Ψ Ψ m d 4 xd 4 y η(xsη(y (34 (35 Es wurde ausgenutzt, dass exp(iq m nicht von Ψ und Ψ abhängt und aus dem Integranden gezogen werden kann. Damit vereinfacht sich der Ausdruck zu ( Z[ η, η] = exp i sodass sich der Propagator einfacher bestimmen lässt. d 4 xd 4 y η(xsη(y, (36 5 Propagator Um den Propagator zu berechnen, wird die Zweipunkt-Funktion eingeführt mit 0 T Ψ α (xψ β (y 0 is(x y αβ. (37 Dabei soll der Operator T für eine Zeitordnung innerhalb der Produkte sorgen. Die beiden Felder werden in ihrem Grundzustand berechnet 0 Ψ α (x Ψ β (y 0 =... = dpe ip(x y ( /p + m αβ (38 0 Ψ β (yψ α (x 0 =... = dpe ip(x y ( /p m αβ. (39 Zusammenführen der Felder und deren Fourier-Transformation ergibt sich 0 T Ψ α (xψ β (y 0 = i Daraus folgt trivial mit Gleichung (37 d 4 p (2π 4 eip(x y ( /p + m αβ p 2 + m 2 iɛ. (40 S(x y αβ = d 4 p (2π 4 eip(x y ( /p + m αβ p 2 + m 2 iɛ. (41 Die ausführlichen Rechnungen können in [MSred16] nachgeschlagen werden. Anschließend wird der freie Propagator des Dirac-Feldes berechnet: 0 T Ψ α (xψ β (y 0 = δ2 Z[η, η] (42 δ( η(xδ(η(y η= η=0 6

7 = δ ( δ δ η(x δη(y exp i d 4 xd 4 y η(xs(x yη(y (43 η= η=0 = δ ( ( exp i d 4 xd 4 y η(xs(x yη(y ( i η(xs(x y (44 δ η(x η= η=0 ( = exp i d 4 xd 4 y η(xs(x yη(y (is(x y (45 ( exp i d 4 xd 4 y η(xs(x yη(y ( i η(xs(x y( is(x yη(y η= η=0 (46 = is(x y. Damit wurde gezeigt, dass der Propagator (47 0 T Ψ α (xψ β (y 0 = is(x y αβ (48 ist. Weiter soll vorausgesetzt werden, dass S existiert mit Gleichung (49 wird mit der Dirac-Gleichung multipliziert: S(x = (iγ µ µ + m F (x. (49 S 1 S = (iγ µ µ m(iγ µ µ + m F (x = ( m 2 F (x Vergleicht man den Propagator des skalaren-feldes mit dem des Dirac-Feldes = δ 4 (x. (50 0 T Ψ(xΨ(y 0 = i F (x y (51 0 T Ψ(xΨ(y 0 = is(x y (52 wird ersichtlich, dass der Propagator S(x y eine Green s Funktion für den Dirac- Wellenoperator ist. 6 Quellen Literatur [MSred16] M. Srednicki: Quantum Field Theory Univerity of Carlifornia, Santa Barbara, [LRyd96] L. Ryder: Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge,