T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 3 Lösungsvorschlag

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1 T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 3 Lösungsvorschlag 1. Extremwerte unter Nebenbedingungen In der Vorlesung wurden die mittleren Besetzungszahlen für verschiedene Verteilungen mit Hilfe der jeweiligen Zustandssumme, der Maximierung der Entropie im Gleichgewicht und sogenannter Lagrange-Multiplikatoren berechnet. Letztere dienen dazu, in Optimierungsaufgaben jeweils die Nebenbedinungen im Fall der Vorlesung die korrekte Teilchenzahl und Gesamtenergie) zu berücksichtigen. Mathematisch gesehen entspricht das Problem demjenigen, einen Extremwert einer Funktion fx 1,..., x n ) zu finden, wobei die Menge der zulässigen Punkte x durch die Nebenbedingung gx 1,..., x n ) = 0 eingeschränkt ist. Dazu geht man wie folgt vor: 1. Man bildet die Lagrange-Funktion Lx 1,..., x n, λ) := fx 1,..., x n ) + λgx 1,..., x n ), wobei λ der sogenannte Lagrange-Multiplikator eine zu bestimmende Zahl) ist.. Man berechnet gradlx 1,..., x n, λ), wobei grad := x, λ). 3. Man bestimmt die Lösungen x 1,..., x n, λ) des Gleichungssystems gradlx 1,..., x n, λ) = 0 und überprüft, ob es sich dabei wirklich um ein Extremum handelt. a) Aus dem Einheitskreis soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt herausgeschnitten werden. Zeigen Sie mit Hilfe eines Lagrange- Multiplikators, dass es sich dabei um ein Quadrat handelt. Welche Seitenlänge hat dieses Quadrat? Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch fx 1, x ) = x 1 x,

2 wobei x 1 die Breite und x die Höhe des Rechtecks ist. Die Nebenbedingung lautet dabei gx 1, x ) = x 1 + x 1 = 0. Daraus ergibt sich L = x 1 x + λx 1 + x 1). Das zu lösende Gleichungssystem ist dann gegeben durch gradl = 0, also x + λx 1 = 0 x 1 + λx = 0 x 1 + x = 1 Aus der ersten Gleichung folgt x = λx 1 und somit x 1 = λ) x 1, woraus entweder x 1 = 0 und somit x = 0 oder λ = ± 1 folgt. x 1 = x = 0 verletzt aber x 1 + x = 1, kann demnach keine Lösung sein. Für λ = ± 1 folgt dann x 1 = ±x und wir erhalten aus der dritten Gleichung x 1 ) = 1 und somit die vier Lösungen a = 1 1 ) b = 1 1 ) c = 1 1 ) d = 1 1 wobei a und b einem Maximimum mit x 1 x = 1 und c und d einem Minimum mit x 1 x = 1 entsprechen. Die Lösung der Extremwertaufgabe ist daher ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. ), b) Berechnen Sie das maximale Volumen eines Quaders mit einer Oberfläche von 6 die Einheiten dürfen Sie sich selbst aussuchen). Das Volumen eines Quaders ist fx 1, x, x 3 ) = x 1 x x 3 und die Nebenbedinung lautet gx 1, x, x 3 ) = x 1 x + x x 3 + x 1 x 3 ) 6 = 0. Damit ergibt sich L = x 1 x x 3 + λx 1 x + x x 3 + x 1 x 3 3). Das zu lösende Gleichungssystem ist dann x x 3 + λx + x 3 ) = 0 x 1 x 3 + λx 1 + x 3 ) = 0 x 1 x + λx 1 + x 3 ) = 0 x 1 x + x x 3 + x 1 x 3 3 = 0 Zunächst muss x 1 0 gelten, da sonst aus der vierten Gleichung x x 3 = 3 und aus der zweiten Gleichung λx 3 = 0 folgen würde. Da x x 3 0, gilt

3 somit x 3 0 und somit folgt λ = 0, was aber im Widerspruch zur ersten Gleichung stehen würde. Analog zeigt man, dass x 0, x 3 0, x 1 + x 0, x + x 3 0 und x 1 + x 3 0 gelten muss. Wenn man aus den beiden ersten Gleichungen λ eliminiert, erhält man x x 3 = x 1x 3, x + x 3 x 1 + x 3 woraus x 1 = x folgt. Analog erhält man dann x = x 3. Damit reduziert sich die vierte Gleichung zu 3x 1 ) = 3 und man erhält als Maximum der Funktion fx 1, x, x 3 ) die Werte x 1 = x = x 3 = 1.. Homogene Funktionen vom Grad n Unter einer homogenen Funktion fx 1,..., x k ) vom Grad n versteht man eine Funktion mit folgender Skalierungseigenschaft: fλx 1, λx,..., λx k ) = λ n fx 1, x,..., x k ), wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist. a) Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen homogen sind und gegeben Sie gegebenenfalls den Grad n an: 1. fx 1, x, x 3 ) = x 5 1x x 3 3. fx) = ln x 3. SE, V, N) = k B N ln V N 4πm 3h E N ) ) 3/ fλx 1, λx, λx 3 ) = λx 1 ) 5 λx ) λx 3 ) 3 = λ 10 fx 1, x, x 3 ), also ist f homogen vom Grad 10.. fλx) = ln λx = ln x + ln λ λ n ln x, also ist ln x keine homogene Funktion. λv 3. SλE, λv, λn) = k B λn ln 4πm ) ) λe 3/ λn 3h λn + 5 = λse, V, N). Somit ist die Entropie des idealen Gases Sackur-Tetrode-Gleichung) ho- mogen vom Grad 1.

4 3. Erzeuger- und Vernichter-Operatoren Zur mathematischen Beschreibung von Viel-Teilchen-Systemen mit variabler Teilchen-Zahl betrachtet man einen erweiterten Hilbertraum, den sogenannten Fock-Raum. Die Basis-Elemente dieses Fock-Raums sind dabei Zustände mit fester Teilchenzahl, genannt Fock-Zustände. Dieser Fock-Raum enthält also Zustände der Form α 1 Ein-Teilchen-Zustand), α 1, α Zwei-Teilchen- Zustand), α 1, α, α 3 Drei-Teilchen-Zustand) usw. Hierbei labeln die α i die Energie-Eigenzustände des Ein-Teilchen-Hamilton-Operators. Ein N-Teilchenzustand ist definiert durch Anwendung des sogenannten Erzeuger- Operators a α auf den Grundzustand 0, das Vakuum: α 1, α,..., α N = â α 1 â α â α 3... â α N 0. 1) Weiterhin gibt es sogenannte Vernichter-Operatoren â α, wobei Erzeuger und Vernichter für die hier betrachteten Bosonen) die Kommutator-Relation [â α, â β ] = δ αβ ) erfüllen. Zusätzlich gilt â 0 = 0 und 0 0 = 1. Generell lässt sich für die hier betrachteten nicht wechselwirkenden) Systeme der Hamilton-Operator stets in der Form Ĥ = α ω α â αâ α 3) schreiben. Da man in der Quantenmechanik nicht zwischen identischen Teilchen unterscheiden kann, kann man die alternative äquivalente) Beschreibung wählen, indem man den Gesamt-Zustand dadurch charakterisiert, wieviele Teilchen sich in den jeweiligen Zuständen befinden: Ψ = n 1, n,..., n i,... 4) Hierbei befinden sich n 1 Teilchen im Grundzustand, n Teilchen im ersten Zustand und n i Teilchen im i 1)ten Zustand. 1. Betrachten Sie nun ein System von 3 Bosonen, welche sich alle im Grundzustand befinden. Der entsprechende Zustand ist dann definiert als Ψ GZ = 1 3! â 1) )

5 Zeigen Sie explizit, dass Ψ GZ korrekt auf eins normiert ist. Wir wissen: Daraus folgt: â 1 â 1 = 1 + â 1â = 1 0 â 1 = 0 â 1 0 = 0. 0 â 1 â 1 0 = â 1â 1 0 = 1 0 â 1 â 1â 1 â 1 0 = 0 â 1 â â 1â 1 â 1 â 1 0 = 1 0 â 1 â 1 â 1â 1 0 = 0 â 1 â â 1 â 1â 1 â 1 0 =. Die Norm des Zustandes ist dann gegeben durch: 6 Ψ GZ = 0 â 1 â 1 â 1 â 1â 1â 1 0 = 0 â 1 â 1 â 1â 1 â 1â â 1 â 1 â 1â 1 0 = 0 â â 1â 1 )1 + â 1â 1 )â = 0 â 1 â â 1 â 1â 1 â â 1 â 1â 1 â â 1 â 1â 1 â 1â 1 â = 6 Ψ GZ = 1.. Für fermionische Systeme erfüllen die Erzeuger- und Vernichter-Operatoren folgende Anti-Kommutator-Relation: {ˆbα, ˆb } β = ˆbαˆb β + ˆb ) βˆb α = δ αβ Wie lautet der energetisch niedrigste Zustand von N Fermionen ausgedrückt durch Erzeuger-Operatoren? Da nicht alle Fermionen im Grundzustand sein dürfen Pauli-Prinzip), werden die ersten drei Energie-Niveaus besetzt und der Zustand ist dann: Ψ Fermion GZ = ˆb 1ˆb ˆb 3 0.

6 Für die Erzeuger- und Vernichter-Operatoren bedeutet das Pauli-Prinzip, dass die Anti-Kommutatoren verschwinden: { } {b α, b β } = b α, b β = 0, 6) woraus speziell b α) = 0 folgt. Man kann also keine zwei Fermionen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand erzeugen. 4. Quantenstatistik im Fall hoher Temperaturen und niedriger Teilchendichten In der Vorlesung wurden die mittleren Besetzungszahlen N i,fd = g i e βe i µ) + 1 N i,be = g i e βe i µ) 1 für Fermionen Fermi-Dirac-Statistik) und Bosonen Bose-Einstein-Statistik) hergeleitet, wobei g i den jeweiligen Entartungsgrad des Energie-Niveaus angibt. Zur Vereinfachung setzen wir den Entartungsgrad g 1 = 1 im Folgenden. Wir betrachten nun ein Quanten-)Gas egal ob aus bosonischen oder fermionischen Teilchen) mit fester Teilchenzahl, sodass N i = N gilt. i a) Betrachten Sie den Fall hoher Temperaturen und überlegen Sie sich, was daraus für die Besetzungszahlen N i folgt. Überlegen Sie sich, warum man dies auch den klassischen Grenzfall nennt. In der Summe N i = i i 1 e E i µ)/k BT ± 1 = N sind die Glieder, für die E i µ)/k B T 1 gilt, dominant. Im Fall von hohen Temperaturen können nun aber auch Terme mit höherer Energie E i beitragen. Da die Summe nicht größer als N werden darf, muss für die Besetzungszahlen N i 1 gelten. Und damit N i 1 gilt, muss e E i µ)/k B T 1 und somit E i µ) k B T gelten. Dies sieht nun nach dem Limes kleiner Temperaturen aus, aber auch das chemische Potenzial hängt von der Temperatur ab und es gilt lim T µt ) =. Für ein ideales Gas etwa kann man zeigen, dass

7 das chemische Potenzial gegeben ist durch ) ) 3 N h µt ) = k B T ln V πmkb T. 7) Somit ergibt sich also kein Widerspruch. Physikalisch heißt das, dass nur wenige Einzelzustände überhaupt, und wenn, dann nur mit etwa einem Teilchen, besetzt sind. Für die Besetzungswahrscheinlichkeiten spielt somit das Pauli-Prinzip und die Ununterscheidbarkeit keine Rolle mehr. Die Quantenstatistik findet dabei kaum eine Anwendung, da jeder Energiezustand, so er überhaupt besetzt ist, mit fast ausschließlich einem Teilchen besetzt ist und somit ein Wechsel in ein anderes Energie-Niveau meist einen Wechsel in ein unbesetztes Niveau bedeutet. b) Interpretieren Sie nun die Anwendbarkeit der Sackur-Tetrode-Gleichung für die Entropie eines idealen Gases: ) V S = k B N ln + 5 ) h, λ th = πmkb T Nλ 3 th Damit S nicht negativ und somit unphysikalisch) wird, muss ) 1/3 V h N πmkb T gelten. Somit ist es korrekt, ein ideales Gas im Fall von hohen Temperaturen T klassisch zu beschreiben. Man kann die Ungleichung aber auch erfüllen, indem man geringe Teilchendichten N/V betrachtet. Deshalb bezeichnet man neben dem Fall hoher Temperaturen auch den Fall von verdünnten Gasen als klassischen Grenzfall. 8) c) Zeigen Sie, dass im klassischen Grenzfall, sowohl für die Fermi-Dirac als auch die Bose-Einstein-Statistik, N i = e βei µ) gilt. Verwenden Sie nun N i = N, um zu zeigen, dass in diesem Grenzfall i e µ/k BT = N k e βe k ) 1

8 gilt und man somit die Boltzmann-Statistik mit erhält. Für k B T E i µ) gilt N i = N k e βe i e βe k N i = 1 e E i µ)/k BT ± 1 e E i µ)/k B T. Da i N i = N gelten muss, folgt N = i e E i µ)/k B T = e µ/k BT i e E i/k B T und somit N i = N k e βe i e βe k.