Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Vorbereitung zur Diplomprüfung Theoretische Physik

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1 Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Vorbereitung zur Diplomprüfung Theoretische Physik begleitend zur Vorlesung Statistische Mechanik und Thermodynamik WS 2006/2007 Prof. Dr. Dieter W. Heermann erstellt von Martin Wolf Datum: c Copyright Martin Wolf, 2007.

2 1 Zusammenfassung 1.1 Ensembles Mikrokanonisches Ensemble Der Wert der Energie E = E 0 und der Teilchenzahl N = N 0 sind fest vorgegeben. (f Anzahl der Freiheitsgrade des Systems) Zustandssumme: Z mik (E, x) = Trδ(Ĥ E 0)δ( N N 0 ) (1) Z mik (E) E f (2) Entropie S: S = k B lnz mik (3) Kanonisches Ensemble Das kanonische Ensemble beschreibt den Gleichgewichtszustand eines Systems bei vorgegebener Temperatur T. Aus ihm können alle Mittelwerte berechnet werden. Im thermodynamischen Limes sind die Energiefluktuationen im kanonischen Ensemble verschwindend gering. Zustandssumme (β = 1 k B T ): Z k (T, x) = e βer(x) (4) r Thermodynamische Energie E und ihre Abweichung ( E) 2 : ( ) lnzk E(T, x) = (5) β x ( ) ( E) 2 = E 2 E 2 E = k B T 2 = k B T 2 C x (6) T x Spezifische Wärme C V : C V = ( ) E T V,N (7) Freie Energie F : F (T, x) = k B T lnz k (T, x) = E(T, x) T S (8) 2

3 1.1.3 Großkanonisches Ensemble Das großkanonische Ensemble beschreibt den Gleichgewichtszustand eines Systems bei vorgegebener Temperatur T und vorgegebenen chemischen Potental µ. Aus ihm können alle Mittelwerte berechnet werden. Im thermodynamischen Limes sind die Energie- und Teilchenfluktuationen im großkanonischen Ensemble (außerhalb von Phasenübergängen) verschwindend gering. Zustandssumme (β = 1 k B T, z = eβµ ): Z gk (T, µ, x) = r,s e β(er(ns) µns) (9) = z N Z k (T, N, x) (10) N=1 Thermodynamische Energie E und mittlere Teilchenzahl N: ( ) lnzgk E(T, µ, x) = β z,x N(T, µ, x) = 1 ( ) lnzgk β µ T,x (11) (12) Großkanonische Potental J: J(T, µ, x) = E T S µn (13) = F µn (14) 1.2 Thermodynamische Beziehungen Temperatur T T 1 = ( S E ) V = k B lnz mik E 0 (15) Druck P P = T ( ) S E,N (16) 3

4 1.2.3 chemisches Potential µ µ = T ( ) S N E,V (17) innere Energie E E = F + T S (18) Guggenberg Schema Merksatz: Gute Physiker haben stets eine Vorliebe für Thermodynamik S E V H F + P G T (19) Aus diesem Schema lassen sich sie Maxwell-Relationen ablesen, indem man immer die gegenüberliegenden Ecken miteinander differenziert. Folgende Maxwell-Relationen existieren: S = P T = 2 F T S = T P = + 2 H S P S P = T = + 2 G P T P S = T = + 2 E S Außerdem lässt sich aus dem Guggenberg-Schema die Ableitungen der verschiedenen Energien ablesen, indem man die jeweilige Energie nach der jeweiligen danebenstehenden Größe ableitet. Deren gegenüberliegende Größe ist dann das Ergebnis. Folgende Ableitungen existieren: E S = +T H S = +T G P = +V F T = S (20) (21) (22) (23) E = P (24) H = +V P (25) G = S T (26) F = P (27) 4

5 1.2.6 Von der Hamiltonfunktion zu thermodynamischen Relationen H(x) E r (x) Z mik (E, N, x) S(E, N, x) Z k (T, N, x) F (T, N, x) Z gk (T, µ, x) J(T, µ, x) thermodynamische Relationen (28) 1.3 Fluktuations-Dissipations-Theorem Zusammenhänge der spezifischen Wärme c V, der Suzeptibilität χ und der Kompressibilität k T mit Fluktuationen und der kritischen Temperatur T c : c V < E 2 > < E > 2 (T T c ) α (29) χ < m 2 > < m > 2 (T T c ) γ (30) k T < m 2 > < m > 2 (T T c ) γ (31) 1.4 Kritische Exponenten α + 2β + γ = 2 (32) 1.5 Minimum- und Maximumprinzipien Gesetz der maximalen Entropie Sei x eine extensive makroskopische, von der Energie E unabhängige Größe. Dann bestimmt sich sein Wert x für ein abgeschlossenes Gleichgewichtssystem aus der Maximalbedingung S(E, x) = maximal S x = 0 (33) x=x 1.6 Bose Gas Beim Bose-Gas steigt die speziefische Wärme in Abhängigkeit T 3/2 mit der Temperatur C V T 3/2 bis zu einem Maximum bei der kritischen Temperatur. Bei der kritischen Temperatur existiert ein Phasenübergang 2. Ordnung (stetig in der spezifischen Wärme aber unstetig in dessen Ableitung) und die spezifische Wärme verläuft asymptotisch zum Idealwert C V = (3/2)Nk B. ɛ = p2 2m 5

6 Großkanonische Zustandssumme: Mittlere Besetzungszahl: Z gk = Π k (1 ze βɛ k ) 1 (34) n k = Zustandsgleichung (nicht-relativistisches Bose UND Fermi-Gas): ( ) 1 1 z eβɛ k 1 (35) P V = 2 3 E (36) Mittlere Energie (Bose UND Fermi-Gas): ( ) lnzgk E(T, µ, V ) = β z,v = k n k ɛ k (37) Mittlere Teilchenzahl (Bose UND Fermi-Gas): N(T, µ, V ) = 1 ( ) lnzgk β µ T,V = k n k (38) 1.7 Fermi-Gas Großkanonische Zustandssumme: Z gk = Π k (1 + ze βɛ k ) (39) Mittlere Besetzungszahl: n k = ( ) 1 1 z eβɛ k + 1 (40) 1.8 Phononen im flüssigen Helium Innere Energie: E = 3F (41) Spezifische Wärme: C V = E T T 3 (42) 6

7 1.9 ISING-Modell s i (i = 1,.., N) N-Spins, h Magnetfeld Hamilton-Funktion: H = J <i,j> s i s j µh i s i (43) Kanonische Zustandsgleichung: Z k = {s i } e βh {s i } (44) = Tr(M N ) = λ N + (45) Magnetisierung: < m >= F h h 0 = 0 (46) 1.10 Virial- und Äquipartitionstheorem (klassisches N-Teilchensystem) Der Mittelwert der kinetischen Energie E kin ist nach dem Virial-Theorem: E kin = 3 2 Nk BT (47) Der Mittelwert der inneren Energie ist nach dem Äquipartitionstheorem: E = 3d + 6 2d Nk BT (48) 7